Bộ 10 đề thi cuối kì 1 Toán 11 Cánh diều có đáp án - Đề 10
29 câu hỏi
Cho \(\cos \alpha = - \frac{2}{3}\) với \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi .\) Khi đó \(\tan \alpha \) bằng
A. \(\frac{5}{4}.\)
B. \( - \frac{5}{4}.\)
C. \( - \frac{{\sqrt 5 }}{2}.\)
D. \(\frac{{\sqrt 5 }}{2}.\)
Đáp án đúng là: C
Ta có \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} \Rightarrow \tan \alpha = \pm \sqrt {\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} - 1} = \pm \sqrt {\frac{1}{{{{\left( { - \frac{2}{3}} \right)}^2}}} - 1} = \pm \frac{{\sqrt 5 }}{2}.\)
Do \(\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi \Rightarrow \tan \alpha < 0 \Rightarrow \tan \alpha = - \frac{{\sqrt 5 }}{2}.\)
Cho \(\cos \alpha = \frac{2}{3}.\) Giá trị của \(B = \cos \frac{{3\alpha }}{2}\cos \frac{\alpha }{2}\) là
\(\frac{5}{{18}}.\)
\( - \frac{{15}}{4}.\)
\( - \frac{3}{2}.\)
\(\frac{{15}}{2}.\)
Đáp án đúng là: A
Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng ta có:
\(B = \cos \frac{{3\alpha }}{2}\cos \frac{\alpha }{2} = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left( {\frac{{3\alpha }}{2} + \frac{\alpha }{2}} \right) + \cos \left( {\frac{{3\alpha }}{2} - \frac{\alpha }{2}} \right)} \right]\)
\( = \frac{1}{2}\left( {\cos 2\alpha + \cos \alpha } \right) = \frac{1}{2}\left( {2{{\cos }^2}\alpha - 1 + \cos \alpha } \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left[ {2{{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2} - 1 + \frac{2}{3}} \right] = \frac{5}{{18}}.\)
Tập xác định của hàm số \(y = \tan \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right)\) là
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{{2\pi }}{3} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {\frac{\pi }{2} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{6} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
\(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ {k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}.\)
Đáp án đúng là: C
Hàm số xác định khi \(\cos \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right) \ne 0\)\( \Leftrightarrow x + \frac{{2\pi }}{3} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi \)\( \Leftrightarrow x \ne - \frac{\pi }{6} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\).
Vậy tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - \frac{\pi }{6} + k\pi |k \in \mathbb{Z}} \right\}\).
Đường cong trong hình dưới đây là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
\(y = 1 + \sin x.\)
\(y = \sin x.\)
\(y = 1 - \sin x.\)
\(y = \cos x.\)
Đáp án đúng là: D
Đồ thị hàm số đi qua điểm \(\left( {0;1} \right)\) nên thay \(x = 0;\,\,y = 1\) vào các hàm số ta loại hàm số ở phương án B vì \(\sin 0 = 1\) (vô lí).
Hàm số không đạt giá trị bằng 2 tại \(x = \frac{\pi }{2}\) hay \(x = - \frac{\pi }{2}\), nên loại phương án A, C.
Do đó, hàm số cần tìm là \(y = \cos x.\)
Phương trình \(\cos x = \cos \frac{\pi }{3}\) có tất cả các nghiệm là
\(x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}.\)
\(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}.\)
Đáp án đúng là: C
Ta có: \(\cos x = \cos \frac{\pi }{3}\)\( \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\).
Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \pm \frac{\pi }{3} + k\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}.\)
Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \sqrt {5n + 2} \). Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số
Dãy số tăng.
Dãy số giảm.
Dãy số không tăng, không giảm.
Dãy số vừa tăng vừa giảm.
Đáp án đúng là: A
Xét dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) biết \({u_n} = \sqrt {5n + 2} \) ta có:
\({u_{n + 1}} - {u_n} = \sqrt {5\left( {n + 1} \right) + 2} - \sqrt {5n + 2} \)\( = \sqrt {5n + 7} - \sqrt {5n + 2} > 0,\forall n \in {\mathbb{N}^*}.\)
\( \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n},\,\,\forall n \in {\mathbb{N}^*}.\)
Vậy dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy số tăng.
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} = - 3;\,\,{u_6} = 27\). Công sai \(d\) của cấp số cộng là
\(d = 7.\)
\(d = 5.\)
\(d = 8.\)
\(d = 6.\)
Đáp án đúng là: D
Vì \(\left( {{u_n}} \right)\) là cấp số cộng nên \({u_6} = {u_1} + 5d\)\( \Leftrightarrow 27 = - 3 + 5d\)\( \Leftrightarrow d = 6\).
Cho cấp số cộng \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_4} = - 12\) và \({u_{14}} = 18\). Tính tổng 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này.
\[{S_{16}} = - 24.\]
\[{S_{16}} = - 24.\]
\[{S_{16}} = - 25.\]
\[{S_{16}} = 24.\]
Đáp án đúng là: D
Cho cấp số nhân có các số hạng lần lượt là \(3;\,\,9;\,\,27;\,\,81;...\) Số hạng tổng quát \({u_n}\) của cấp số nhân đã cho là
\[{u_n} = {3^{n - 1}}.\]
\[{u_n} = {3^n}.\]
\[{u_n} = {3^{n + 1}}.\]
\[{u_n} = 3 + {3^n}.\]
Đáp án đúng là: B
Vì \(3;\,\,9;\,\,27;\,\,81;...\) là cấp số nhân nên \({u_1} = 3;\,\,q = \frac{{{u_2}}}{{{u_1}}} = \frac{9}{3} = 3\).
Do đó \({u_n} = {u_1}{q^{n - 1}} = 3 \cdot {3^{n - 1}} = {3.3^n}{.3^{ - 1}} = {3^n}.\)
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có \({u_1} \ne 0\) và \(q \ne 0\). Đẳng thức nào sau đây là đúng?
\({u_7} = {u_4}{q^3}.\)
\({u_7} = {u_4}{q^4}.\)
\({u_7} = {u_4}{q^5}.\)
\({u_7} = {u_4}{q^6}.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có \({u_7} = {u_1}{q^6}\)\( = {u_1}{q^3}{q^3}\)\( = {u_4}{q^3}\) (vì \({u_4} = {u_1}{q^3}\)).
Giá trị của \(L = \lim \frac{{{n^2} - n + 1}}{{{n^3} + 3}}\) là
\[L = 1.\]
\[L = 3.\]
\[L = 0.\]
\[L = 2.\]
Đáp án đúng là: C
Phát biểu nào sau đây sai?
\(\lim {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} = 0.\)
\(\lim \frac{4}{{{{(\sqrt 3 )}^n}}} = 0.\)
\(\lim {\left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right)^n} = 0.\)
\(\lim {\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^n} = 0.\)
Đáp án đúng là: C
Nếu \(\left| q \right| < 1\) thì \(\lim {q^n} = 0.\)
Nếu \(q > 1\) thì \(\lim {q^n} = + \infty .\)
Nếu \(\lim {u_n} = a;\,\,\lim \left| {{v_n}} \right| = + \infty \) thì \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = 0.\)
Phát biểu A, B, D đúng:
Vì \(\left| {\frac{2}{3}} \right| = \frac{2}{3} < 1 \Rightarrow \lim {\left( {\frac{2}{3}} \right)^n} = 0;\)
Vì \(\left| { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right| = \frac{{\sqrt 2 }}{2} < 1 \Rightarrow \lim {\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^n} = 0;\)
Vì \(\lim 4 = 4;\,\,\lim {\left( {\sqrt 3 } \right)^n} = + \infty \) (do \(\sqrt 3 > 1\)) nên \(\lim \frac{4}{{{{(\sqrt 3 )}^n}}} = \frac{{\lim 4}}{{\lim {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^n}}} = 0.\)
Phát biểu C sai vì \(\left| {\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right| = \frac{2}{{\sqrt 3 }} > 1\) nên \(\lim {\left( {\frac{2}{{\sqrt 3 }}} \right)^n} = + \infty .\)
Giá trị của \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {2{x^2} - 3x + 1} \right)\) bằng
2.
1.
\( + \infty .\)
0.
Đáp án đúng là: D
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {2{x^2} - 3x + 1} \right) = 2 \cdot {1^2} - 3 \cdot 1 + 1 = 0\).
Tìm giới hạn \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{4x - 3}}{{x - 1}}\].
\( + \infty .\)
2.
\( - \infty .\)
\( - 2.\)
Đáp án đúng là: A
Ta có \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {4x - 3} \right) = 1\]; \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \left( {x - 1} \right) = 0\] mà \(x \to {1^ + }\) nên \(x - 1 > 0\).
Do đó \[\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{4x - 3}}{{x - 1}} = + \infty \].
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left( {a;b} \right)\). Điều kiện cần và đủ để hàm số liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) là
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f\left( x \right) = f\left( b \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right)\).
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ - }} f\left( x \right) = f\left( a \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ + }} f\left( x \right) = f\left( b \right)\).
Đáp án đúng là: C
Theo định nghĩa, ta có hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\left[ {a;b} \right]\) nếu hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục \(\left( {a;b} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {a^ + }} f\left( x \right) = f\left( a \right);\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {b^ - }} f\left( x \right) = f\left( b \right)\).
Trong các hàm số sau, hàm số nào liên tục trên \(\mathbb{R}\)?
\(f\left( x \right) = \tan x + 5.\)
\(f\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 3}}{{5 - x}}.\)
\(f\left( x \right) = \sqrt {x - 6} .\)
\(f\left( x \right) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}.\)
Đáp án đúng là: D
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}.\)
Điều kiện xác định \({x^2} + 4 \ne 0 \Leftrightarrow {x^2} \ne - 4\) (luôn đúng vì \({x^2} \ge 0\)).
Tập xác định của hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}\) là \(D = \mathbb{R}.\)
Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{x + 5}}{{{x^2} + 4}}\) là hàm phân thức nên hàm số liên tục trên tập xác định của nó.
Cho hình chóp \(S.ABCD\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(SD,\,\,J\) là điểm trên \(SC\) và không trùng trung điểm \(SC\). Giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\) và \(\left( {AIJ} \right)\) là
\(AK\) với \(K\) là giao điểm của \(IJ\) và \(BC.\)
\(AH\) với \(H\) là giao điểm của \(IJ\) và \(AB.\)
\(AG\) với \(G\) là giao điểm của \(IJ\) và \(AD.\)
\(AF\) với \(F\) là giao điểm của \(IJ\) và \(CD.\)
Đáp án đúng là: D
Trong mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\), kẻ \[IJ \cap CD = F.\]
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}F \in IJ \subset \left( {AIJ} \right)\\F \in CD \subset \left( {ABCD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow F \in \left( {AIJ} \right) \cap \left( {ABCD} \right).\)
Mặt khác \(A \in \left( {AIJ} \right) \cap \left( {ABCD} \right).\)
Vậy \(\left( {ABCD} \right) \cap \left( {AIJ} \right) = AF.\)
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Hai đường thẳng phân biệt không song song thì chéo nhau.
Hai đường thẳng không có điểm chung thì chéo nhau.
Hai đường thẳng chéo nhau thì không có điểm chung.
Hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì chéo nhau.
Đáp án đúng là: C
Phương án C đúng vì: hai đường thẳng chéo nhau là hai đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nên chúng không có điểm chung.
Phương án A sai vì: hai đường thẳng phân biệt không song song thì có thể trùng nhau hoặc cắt nhau.
Phương án B sai vì: hai đường thẳng không có điểm chung thì có thể song song với nhau.
Phương án D sai vì: hai đường thẳng lần lượt nằm trên hai mặt phẳng phân biệt thì có thể song song với nhau.
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành tâm \(O\). Gọi \(I,\,\,J\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(SC\). Đường thẳng \[IJ\] song song với đường thẳng nào sau đây?
\(BC.\)
\(AC.\)
\(SO.\)
\(BD.\)
Đáp án đúng là: B
Vì \(I,\,\,J\) lần lượt là trung điểm của \(SA\) và \(SC\) nên \(IJ\) là đường trung bình của tam giác \(SAC.\)
Do đó \(IJ{\rm{//}}AC\).
Cho các giả thiết sau đây. Giả thiết nào dưới đây kết luận đường thẳng \(a\) song song với mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\)?
\(a{\rm{//}}b\) và \(b \subset \left( \alpha \right).\)
\(a{\rm{//}}\left( \beta \right)\) và \(\left( \beta \right){\rm{//}}\left( \alpha \right).\)
\(a{\rm{//}}b\) và \(b{\rm{//}}\left( \alpha \right).\)
\(a \cap \left( \alpha \right) = \emptyset .\)
Đáp án đúng là: D
Phương án A, B, C sai vì có thể đường thẳng \(a\) nằm trong \(\left( \alpha \right).\)
Phương án D đúng vì theo định nghĩa thì đường thẳng song song với mặt phẳng nếu chúng không có điểm chung tức là \(a \cap \left( \alpha \right) = \emptyset .\)
Cho tứ diện \(ABCD.\) Gọi ba điểm \(M,\,\,N,\,P\) lần lượt thuộc các cạnh \(AB,\,AC,\,\,AD\) sao cho \(AM = 2BM;\,\,CN = \frac{1}{3}AC;\,\,AP = \frac{2}{3}AD.\) Mặt phẳng \(\left( {MNP} \right)\) song song với mặt phẳng nào sau đây?
\(\left( {ABD} \right).\)
\(\left( {ACD} \right).\)
\(\left( {ABC} \right).\)
\(\left( {BCD} \right).\)
Đáp án đúng là: D
Vì \(M,\,N\) lần lượt là hai điểm thuộc \(AB,\,\,AC\) sao cho \(AM = 2BM;\,\,CN = \frac{1}{3}AC.\)
\( \Rightarrow \frac{{AM}}{{BM}} = \frac{{AN}}{{AC}} = \frac{1}{2}.\)
Nên theo định lí Thalès đảo trong \(\Delta ABC\) ta có \(MN{\rm{//}}BC\) mà \(BC \subset \left( {BCD} \right)\) nên \(MN{\rm{//}}\left( {BCD} \right)\).
Tương tự ta cũng có: \(MP{\rm{//}}BD\) mà \(BD \subset \left( {BCD} \right) \Rightarrow MP{\rm{//}}\left( {BCD} \right).\)
Hơn nữa \(MN \cap MP = M\) trong \(\left( {MNP} \right).\)
Dó đó \(\left( {MNP} \right){\rm{//}}\left( {BCD} \right).\)
Cho hai mặt phẳng phân biệt \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\), đường thẳng \(a \subset \left( P \right)\); \(b \subset \left( Q \right).\) Khẳng định nào sau đây sai?
Nếu \(\left( P \right){\rm{//}}\left( Q \right)\) thì \(a{\rm{//}}b.\)
Nếu \(\left( P \right){\rm{//}}\left( Q \right)\) thì \(b{\rm{//}}\left( P \right).\)
Nếu \[\left( P \right){\rm{//}}\left( Q \right)\] thì \(a\) và \(b\) hoặc song song hoặc chéo nhau.
Nếu \(\left( P \right){\rm{//}}\left( Q \right)\) thì \(a{\rm{//}}\left( Q \right).\)
Đáp án đúng là: A
Phương án B, D đúng vì: Nếu \(\left( P \right){\rm{//}}\left( Q \right)\) thì mọi đường thẳng nằm trên một trong hai mặt phẳng sẽ song song với mặt phẳng còn lại.
Phương án C đúng vì: Nếu \[\left( P \right){\rm{//}}\left( Q \right)\] mà \(a \subset \left( P \right)\); \(b \subset \left( Q \right)\) khi đó hai đường thẳng \[a,\,\,b\] không có điểm chung nên hai đường thẳng \(a,\,\,b\) hoặc song song hoặc chéo nhau.
Phương án A sai vì: Nếu \(\left( P \right){\rm{//}}\left( Q \right)\) thì \(a\) và \(b\) có thể chéo nhau.
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) như hình vẽ.
Mệnh đề nào sau đây sai?
\(\left( {ABCD} \right){\rm{//}}\left( {A'B'C'D'} \right).\)
\(\left( {AAC'A'} \right){\rm{//}}\left( {DBB'D'} \right).\)
\(\left( {AA'D'D} \right){\rm{//}}\left( {BB'C'C} \right).\)
\(\left( {ABB'A'} \right){\rm{//}}\left( {DCC'D'} \right).\)
Đáp án đúng là: B
Phương án A, C, D đúng:
Vì \(ABCD.A'B'C'D'\) là hình hộp nên hai mặt phẳng lần lượt chứa hai mặt đối diện của hình hộp song song với nhau.
\( \Rightarrow \left( {ABCD} \right){\rm{//}}\left( {A'B'C'D'} \right);\,\,\left( {AA'D'D} \right){\rm{//}}\left( {BB'C'C} \right)\) và \(\left( {ABB'A'} \right){\rm{//}}\left( {DCC'D'} \right).\)
Phương án B sai:
Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}O \in AC \subset \left( {ACC'A'} \right)\\O \in BD \subset \left( {DBB'D'} \right)\end{array} \right..\)
\( \Rightarrow O \in \left( {ACC'A'} \right) \cap \left( {DBB'D'} \right).\)
Như vậy, hai mặt phẳng \(\left( {ACC'A'} \right)\) và \(\left( {DBB'D'} \right)\) không song song với nhau.
Hình chiếu của hình thoi không thể là hình nào trong các hình sau
Hình vuông.
Hình thang.
Hình bình hành.
Hình thoi.
Đáp án đúng là: B
Vì phép chiếu song song biến hai đường thẳng song song thành hai đường thẳng song song hoặc trùng nhau.
Vì vậy, hình chiếu của hình thoi không thể là hình thang.
Cho tứ diện \(ABCD.\) Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC.\) Hình chiếu song song của điểm \(G\) trên \(\left( {BCD} \right)\) theo phương chiếu \(AD\) là
Trực tâm tam giác \(BCD.\)
Trung điểm \(BD.\)
Trọng tâm tam giác \(BCD.\)
Trung điểm \(CD.\)
Đáp án đúng là: C
Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC.\)
Trong \[\left( {AED} \right)\] kẻ \[GG'{\rm{//}}AD\] (\(G' \in AD\)).
Khi đó \(G'\) là hình chiếu song song của điểm \(G\) trên \(\left( {BCD} \right).\)
Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(\frac{{AG}}{{AE}} = \frac{2}{3}.\)
Áp dụng định lý Thalès trong tam giác \(EAD\) với \[GG'{\rm{//}}AD\] ta có:
\(\frac{{DG'}}{{DE}} = \frac{{AG}}{{AE}} = \frac{2}{3}.\)
Xét tam giác \(BCD\) có: \(DE\) là đường trung tuyến và \(G' \in DE\) thỏa mãn \(\frac{{DG'}}{{DE}} = \frac{2}{3}.\)
Suy ra \(G'\) là trọng tâm của tam giác \(BCD.\)
Vậy hình chiếu song song của điểm \(G\) trên \(\left( {BCD} \right)\) theo phương chiếu \(AD\) là trọng tâm của tam giác \(BCD.\)
(a) Cho biết \[\cos x = - \frac{1}{4}.\] Tính giá trị của biểu thức \[P = {\sin ^2}2x.\]
(b) Giải phương trình \(\cos 2x - \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0.\)
a) Ta có: \[{\sin ^2}x = 1 - {\cos ^2}x = 1 - {\left( { - \frac{1}{4}} \right)^2} = \frac{{15}}{{16}}.\]
Do đó: \[P = {\sin ^2}2x = 4{\sin ^2}x.{\cos ^2}x = 4.\frac{{15}}{{16}}.{\left( { - \frac{1}{4}} \right)^2} = \frac{{15}}{{64}}.\]
b) \[\cos 2x - \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow \cos 2x = \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \Leftrightarrow \cos 2x = \cos \left( {\frac{\pi }{6} - x} \right)\]
\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{6} - x + k2\pi \\2x = x - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{18}} + \frac{{k2\pi }}{3}\\x = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right).\]
(a) Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\), biết \({u_1} = 2\) và \({u_{n + 1}} = {u_n} - 3\). Chứng minh \(\left( {{u_n}} \right)\)là một cấp số cộng và tìm số hạng thứ 5 của cấp số cộng.
(b) Người ta xếp các hình vuông kề với nhau như trong hình dưới đây, mỗi hình vuông có độ dài cạnh bằng nửa độ dài cạnh của hình vuông trước nó. Nếu hình vuông đầu tiên có cạnh dài 10 cm thì trên tia \[Ax\] cần có một đoạn thẳng dài bao nhiêu centimét để có thể xếp được tất cả các hình vuông đó?
a) Ta có: \({u_{n + 1}} = {u_n} - 3 \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = - 3\) là một số không đổi nên \(\left( {{u_n}} \right)\) là một cấp số cộng với công sai là \(d = - 3.\)
Do đó, \({u_5} = {u_1} + \left( {5 - 1} \right)d = 2 + \left( {5 - 1} \right) \cdot \left( { - 3} \right) = - 10.\)
b) Tổng độ dài các cạnh nằm trên tia \[Ax\] của các hình vuông đó là:
\(S = 10 + 5 + \frac{5}{2} + \frac{5}{{{2^2}}} + ....\)
Dãy số \(10;\,\,5;\,\,\frac{5}{2};\,\,\frac{5}{{{2^2}}};...\,\,\)là một cấp số nhân lùi vô hạn với \({u_1} = 10;\,q = \frac{1}{2}\).
Do đó ta có \(S = 10 + 5 + \frac{5}{2} + \frac{5}{{{2^2}}} + .... = \frac{{10}}{{1 - \frac{1}{2}}} = 20\) (cm).
Vậy trên tia \[Ax\] cần có một đoạn thẳng dài 20 centimét.
Tính các giới hạn sau:
(a) \(\lim \frac{{\sqrt {{n^2} + 2023} }}{{n + 1}}\);
(b) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{2\sqrt {3 + x} - 4x}}{{x - 1}}.\)
Cho chóp \[S.ABCD\] có đáy là hình bình hành. Gọi \(M,\,\,N,\,\,P\) lần lượt là trung điểm của các cạnh \(BC,\,\,CD,\,\,SD.\)
(a) Chứng minh rằng \(NP{\rm{//}}\left( {SBC} \right).\)
(b) Gọi là \(Q\) giao điểm của \(SA\) với \(\left( {MNP} \right).\) Tính tỉ số \(\frac{{SQ}}{{SA}}.\)
a) Xét tam giác \(SDC\) có: \(P,\,\,N\) lần lượt là trung điểm của \(SD,\,\,CD.\)
Suy ra \(NP\) là đường trung bình của tam giác \(SCD\) nên \(NP{\rm{//}}SC.\)
Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}NP \not\subset \left( {SBC} \right)\\NP{\rm{//}}SC\\SC \subset \left( {SBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow NP{\rm{//}}\left( {SBC} \right).\)
b) Gọi \(I = AC \cap MN.\)
\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}I \in AC \subset \left( {SAC} \right)\\I \in MN \subset \left( {MNP} \right)\end{array} \right. \Rightarrow I \in \left( {MNP} \right) \cap \left( {SAC} \right).\)
Mặt khác: \(NP{\rm{//}}SC\) và \(NP \subset \left( {MNP} \right);\,\,SC \subset \left( {SAC} \right).\)
\( \Rightarrow d = \left( {MNP} \right) \cap \left( {SAC} \right)\) với \(d\) đi qua \(I\) và song song với \(SC,\,\,NP.\)
Trong \(\left( {SAC} \right)\) gọi \(Q = d \cap SA.\)
\( \Rightarrow Q \in d \subset \left( {MNP} \right).\)
Suy ra \(Q = SA \cap \left( {MNP} \right).\)
Vì \(d{\rm{//}}SC \Rightarrow QI{\rm{//}}SC\) (do \(d{\rm{//}}SC\)).
Áp dụng định lí Thalès trong tam giác \(SAC\) với \(QI{\rm{//}}SC\) ta có \[\frac{{CI}}{{CA}} = \frac{{SQ}}{{SA}}.\]
Xét tam giác \(BCD\) có: \(N,\,\,M\) lần lượt là trung điểm của \(CD,\,\,BC.\)
Suy ra \(NM\) là đường trung bình của tam giác \(BCD\) nên \(NM{\rm{//}}BD.\)
Xét tam giác \(DOC\) có: \(N\) là trung điểm của \(CD\) và \(NI{\rm{//}}DO\) (do \(NM{\rm{//}}BD\)).
Suy ra \(I\) là trung điểm của \(CO.\)
Suy ra \(CI = \frac{1}{2}CO = \frac{1}{4}CA \Rightarrow \frac{{SQ}}{{SA}} = \frac{{CI}}{{CA}} = \frac{1}{4}\).
