Bộ 19 đề thi Giữa kì 1 Toán 11 Chân trời sáng tạo có đáp án - Đề 3

Hình trên là một minh họa cho trường hợp mặt phẳng \(\left( P \right)\)cắt hình chóp tứ giác theo thiết diện là một ngũ giác.

Chọn A

Dễ thấy \({S_1} = {a^2};\,\,{S_2} = \frac{{{a^2}}}{2};\,\,{S_3} = \frac{{{a^2}}}{4};...;{S_{100}} = \frac{{{a^2}}}{{{2^{99}}}}\).

Như vậy \({S_1},\,{S_2},{S_3},...,\,{S_{100}}\) là cấp số nhân với công bội \(q = \frac{1}{2}\).

\(S = {S_1} + {S_2} + ... + {S_{100}} = {a^2}\left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{{{2^2}}} + ... + \frac{1}{{{2^{99}}}}} \right) = \frac{{{a^2}\left( {{2^{100}} - 1} \right)}}{{{2^{99}}}}\).

Theo giả thiết: \(\frac{{{a^2}\left( {{2^{100}} - 1} \right)}}{{{2^{99}}}} = \frac{{{2^{100}} - 1}}{{{2^{93}}}}\)\( \Leftrightarrow {a^2} = {2^6} = 64 \Leftrightarrow a = 8\)

a)

S

b)

Đ

c)

Đ

d)

S

 

Ta có: \(2\sin x = \sqrt 2  \Leftrightarrow \sin x = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Leftrightarrow \sin x = \sin \frac{\pi }{4}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \pi  - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}).} \right.} \right.\)

Vậy phương trình có nghiệm là: \(x = \frac{\pi }{4} + k2\pi ;x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi (k \in \mathbb{Z})\).

Phương trình có nghiệm dương nhỏ nhất bằng \(\frac{\pi }{4}\)

Số nghiệm của phương trình trong khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) là một nghiệm

a)

S

b)

S

c)

Đ

d)

S

(Sai) \(CG\) và \(AD\) cắt nhau
(Vì): Sai.
Vì \(C \notin (AGD)\) nên hai dường thẳng \(CG\) và \(AD\) không đồng phẳng.
(Đúng) \(GM\parallel (BCD)\)
(Vì): Đúng.
Gọi \(I\) là trung điểm của \(BD\).
Xét tam giác \(ABI\), ta có \(\frac{{AM}}{{AB}} = \frac{{AG}}{{AI}} = \frac{2}{3}\) nên \(GM\parallel BD\).
Mà \(BD \subset (BCD)\) nên \(GM\parallel (BCD)\).
(Sai) \(D \in (GMN)\)
(Vì): Sai.
\(D \notin (GMN)\).
(Sai) \(MN\) và \(AC\) cắt nhau
(Vì): Sai.
Vì \(M \notin (ACN)\) nên hai đường thẳng \(MN\) và \(AC\) không đồng phẳng.

Khi vật ở vị trí cân bằng thì \(x = 0\)\( \Leftrightarrow 3\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow c{\rm{os}}\left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 5t - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k\pi ,\,k \in \mathbb{Z}\\ \Leftrightarrow t = \frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{{k\pi }}{5},k \in \mathbb{Z}\end{array}\)

Mà theo giả thiết \(0 < t < 6 \Leftrightarrow 0 < \frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{{k\pi }}{5} < 6 \Leftrightarrow  - \frac{2}{3} < k < \frac{{30}}{\pi } - \frac{2}{3}\)

\(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k \in \left\{ {0;1;2;3;4;5;6;7;8} \right\}\)

Đáp số: 9

Độ cao nảy ngược lên của người đó ở lần nảy thứ nhất là \({u_1} = 9\)

Độ cao các lần nảy lần lượt tạo thành cấp số nhân có công bội là q = 0,6 \({u_n} = 9.0,{6^{n - 1}}\)

\({S_5} = \frac{{5 \cdot \left[ {1 - 0,{6^5}} \right]}}{{1 - 0,6}} \approx 11,5\)

Gọi \(J = SO \cap MN\), \(K = SA \cap PJ\) thì \(K = SA \cap \left( {MNP} \right)\).

Vì \(M\), \(N\) lần lượt là trung điểm của \(SB\), \(SD\) nên \(J\) là trung điểm của \(SO\).

Áp dụng định lí Menelaus vào tam giác \(SAO\) với cát tuyến là \(KP\), ta có

\(\frac{{SK}}{{KA}} \cdot \frac{{AP}}{{PO}} \cdot \frac{{OJ}}{{JS}} = 1 \Leftrightarrow \frac{{SK}}{{KA}} \cdot 3 \cdot 1 = 1 \Leftrightarrow \frac{{KS}}{{KA}} = \frac{1}{3}.\)

Vậy \(\frac{{KS}}{{KA}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 1}\\{n = 3.}\end{array}} \right.\)

Đây là một bài toán về dãy số cộng, trong đó

Số chỗ ngồi của hàng đầu tiên (hàng thứ nhất) \({a_1} = 15\).

Mỗi hàng ghế sau có thêm \(6\) chỗ so với hàng ghế trước, tức là công sai \(d = 6\).

Tổng số chỗ ngồi trên khán đài là \(S = 3456\).

Công thức tổng quát của dãy số cộng là

\(\begin{array}{*{20}{l}}{{S_n} = \frac{n}{2}\left[ {2{a_1} + (n - 1)d} \right],n > 0 \Leftrightarrow 3456 = \frac{n}{2}(2 \cdot 15 + (n - 1) \cdot 6)}\\{ \Leftrightarrow {n^2} + 4n - 1152 = 0}\\{ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{n = 32}\\{n =  - 36\;{\rm{(kh\^o ng th?a m\~a n)}}.}\end{array}} \right.}\end{array}\)

Kết luận

Khán đài A của sân vận động có \(32\) hàng ghế.