Bài tập Xét tính chia hết của một tổng các lũy thừa cùng cơ số lớp 6 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

A = 3 + 3² = 3(1 + 3).

Đáp án đúng là: D

Ta đưa tổng B thành một tích bằng cách đưa 5² ra ngoài làm thừa số chung:

B = 5² + 5³ = 5² ∙ (1 + 5) = 5² ∙ 6.

Vì 6 ⋮ 2; 6 ⋮ 3; 6 ⋮ 6 nên tích (5² ∙ 6) chia hết cho cả 2, 3, 6.

Vậy B chia hết cho cả 2, 3, 6 nhưng không chia hết cho 7.

Đáp án đúng là: B

Đưa 2³ ra ngoài dấu ngoặc:

C = 2³ ∙ (1 + 2 + 2²) = 2³ ∙ (1 + 2 + 4) = 2³ ∙ 7.

Vì tích này có chứa thừa số 7 nên nó chia hết cho 7.

Vậy C ⋮ 7.

Đáp án đúng là: C

Để chứng minh tổng chia hết cho 5, ta cần ghép cặp các số hạng sao cho mỗi ngoặc xuất hiện tích có chứa thừa số 5.

Ta tính thử tổng hai số hạng đầu tiên: 4¹ + 4² = 4 + 16 = 20. Số 20 ⋮ 5.

Do đó, cách nhóm hợp lí nhất là ghép 2 số hạng liên tiếp với nhau:

D = (4¹ + 4²) + (4³ + 4⁴)

= 4.(1 + 4) + 4³(1 + 4)

= 4 ∙ 5 + 4³ ∙ 5

= 5(4 + 4³).

Biểu thức cuối cùng có chứa thừa số 5 nên chia hết cho 5.

Đáp án đúng là: D

Ta xét từng đáp án bằng cách tính trực tiếp hoặc phân tích thừa số chung:

A = 2 + 2² = 2.(1 + 2) = 2 ∙ 3. Vì 3 : 3 = 2 nên A chia hết cho 3.

B = 5 + 5² = 5.(1 + 5) = 5 ∙ 6. Vì 6 ⋮ 3 nên B chia hết cho 3.

C = 8 + 8² = 8.(1 + 8) = 8 ∙ 9. Vì 9 ⋮ 3 nên C chia hết cho 3.

D = 7 + 7² = 7.(1 + 7) = 7 ∙ 8. Vì cả hai thừa số 7 và 8 đều không chia hết cho 3 nên D không chia hết cho 3.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. M = 2 + 2² + 2³ + ... + 2¹⁰⁰⁰ có 1000 hạng tử là 2¹, 2², ..., 2¹⁰⁰⁰.

b) Đúng. M = 2 + 2² + 2³ + ... + 2¹⁰⁰⁰

= (2 + 2²) + (2³ + 2⁴) + ... + 2⁹⁹⁹ + 2¹⁰⁰⁰

= 2 ∙ (1 + 2) + 2³ ∙ (1 + 2) + ... + 2⁹⁹⁹(1 + 2).

c) Đúng. M = 2 ∙ (1 + 2) + 2³ ∙ (1 + 2) + ... + 2⁹⁹⁹(1 + 2)

= 2 . 3 + 2³ . 3 + ... + 2⁹⁹⁹ . 3

= 3 . (2 + 2³ + ... + 2⁹⁹⁹).

Do đó M ⋮ 3.

d) Sai. M = 3 . (2 + 2³ + ... + 2⁹⁹⁹)

= 3 . 2 . (1 + 2² + ... + 2⁹⁹⁸)

= 6 . (1 + 2² + ... + 2⁹⁹⁸).

Do đó M ⋮ 6.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Tổng N có số mũ từ 1 đến 20 nên có 20 số hạng.

Vì 20 chia hết cho 4 nên có thể chia nhóm 4 số vừa đủ.

b) Sai. N = 3¹ + 3² + 3³ + ... + 3²⁰

= (3¹ + 3² + 3³ + 3⁴) + ... + (3¹⁷ + 3¹⁸ + 3¹⁹ + 3²⁰)

= 3(1 + 3 + 3² + 3³) + ... + 3¹⁷(1 + 3 + 3² + 3³)

= (1 + 3 + 3² + 3³)(3 + 3⁵ + 3⁹ + 3¹³ + 3¹⁷).

c) Đúng. N = (1 + 3 + 3² + 3³)(3 + 3⁵ + 3⁹ + 3¹³ + 3¹⁷)

= (1 + 3 + 9 + 27)(3 + 3⁵ + 3⁹ + 3¹³ + 3¹⁷)

= 40 . (3 + 3⁵ + 3⁹ + 3¹³ + 3¹⁷).

Do đó N ⋮ 40.

d) Sai. N = 40 . (3 + 3⁵ + 3⁹ + 3¹³ + 3¹⁷)

= 40 . 3 . (1 + 3⁴ + 3⁸ + 3¹² + 3¹⁶)

= 120 . (1 + 3⁴ + 3⁸ + 3¹² + 3¹⁶).

Vậy N ⋮ 120.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Sai. P = 5¹ + 5² + 5³ + ... + 5¹²

= (5¹ + 5² + 5³) + (5⁴ + 5⁵ + 5⁶) + ...+ (5¹¹⁹⁸ + 5¹¹⁹⁹ + 5¹²⁰⁰)

= 5.(1 + 5 + 5²) + 5⁴.(1 + 5 + 5²) + ... + 5¹¹⁹⁸.(1 + 5 + 5²)

= (1 + 5 + 5²)(5 + 5⁴ + ... + 5¹¹⁹⁸)

= (1 + 5 + 25).(5 + 5⁴ + ... + 5¹¹⁹⁸)

= 31.(5 + 5⁴ + ... + 5¹¹⁹⁸).

b) Đúng. Vì P = 31.(5 + 5⁴ + ... + 5¹¹⁹⁸) nên P ⋮ 31.

c) Sai. P = (5¹ + 5² + 5³ + 5⁴) + (5⁵ + 5⁶ + 5⁷ + 5⁸) + ... + (5¹¹⁹⁷ + 5¹¹⁹⁸ + 5¹¹⁹⁹ + 5¹²⁰⁰)

= 5(1 + 5 + 5² + 5³) + 5⁵(1 + 5 + 5² + 5³) + ... + 5¹¹⁹⁷(1 + 5 + 5² + 5³)

= (1 + 5 + 5² + 5³).(5 + 5⁵ + ... + 5¹¹⁹⁷)

= (1 + 5 + 25 + 125).(5 + 5⁵ + ... + 5¹¹⁹⁷)

= 156.(5 + 5⁵ + ... + 5¹¹⁹⁷)

= 12 . 13 . (5 + 5⁵ + ... + 5¹¹⁹⁷).

Do đó P ⋮ 13.

d) Sai. Ta có P = 12 . 13 . (5 + 5⁵ + ... + 5¹¹⁹⁷) nên P ⋮ 12.

Vì P ⋮ 12, P ⋮ 31 và hai số 12; 13 không chia hết cho nhau nên P ⋮ 372.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Sai. Ta có 1 = 2⁰.

Các số hạng của Q là: 2⁰; 2¹; ...; 2⁹⁹.

Vậy Q có 100 số hạng.

b) Đúng. Q = 1 + 2 + 2² + 2³ + ... + 2⁹⁹

= (1 + 2) + (2² + 2³) + ... + (2⁹⁸ + 2⁹⁹) (50 nhóm)

= 3 + 2².(1 + 2) + ... + 2⁹⁸.(1 + 2)

= 3.(1 + 2² + ... + 2⁹⁸).

Do đó Q ⋮ 3.

c) Đúng. Q = 1 + (2 + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶) + ... + (2⁹⁷ + 2⁹⁸ + 2⁹⁹) (33 nhóm và 1 số)

= 1 + 2.(1 + 2 + 2²) + 2⁴.(1 + 2 + 2²) + ... + 2⁹⁷.(1 + 2 + 2²)

= 1 + (1 + 2 + 2²).(2 + 2⁴ + ... + 2⁹⁷)

= 1 + 7.(2 + 2⁴ + ... + 2⁹⁷).

Vì 7 ⋮ 7 nên 7.(2 + 2⁴ + ... + 2⁹⁷) ⋮ 7.

Do đó Q chia cho 7 dư 1.

d) Sai. Q có 100 số hạng nên ta chia các số này thành các nhóm, mỗi nhóm có 6 số hạng, như vậy sẽ dư ra 4 số hạng.

Q = (1 + 2 + 2² + 2³) + (2⁴ + 2⁵ + 2⁶ + 2⁷ + 2⁸ + 2⁹) + ...

= (1 + 2 + 4 + 8) + 2⁴.(1 + 2 + 2³ + 2⁴ + 2⁵) + ...

Tổng của 4 số hạng đầu là: 1 + 2 + 4 + 8 = 15.

Các nhóm 6 số hạng phía sau khi đặt nhân tử chung đều tạo ra thừa số là:

1 + 2 + 2² + 2³ + 2⁴ + 2⁵ = 63.

Vì 63 ⋮ 21 nên tổng các nhóm phía sau đều chia hết cho 21, tức tổng này là bội của 21.

Như vậy Q = 15 + Một bội của 21.

Do đó chia Q cho 21 được số dư là 15.

Vậy số dư khi chia Q cho 21 và khi chia Q cho 7 là khác nhau.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Vì mọi số hạng của S đều chứa thừa số 7 nên chúng đều chia hết cho 7.

Do đó, S ⋮ 7 với mọi n > 2.

b) Sai. Xét các nhóm:

7¹ + 7² = 7(1 + 7) = 7.8;

7³ + 7⁴ = 7³(1 + 7) = 7³.8;

...

Như vậy, khi nhóm các cặp 2 số hạng liên tiếp từ trái sang phải của S với nhau, để S ⋮ 8 thì S phải có số số hạng là số chẵn.

Vậy để S ⋮ 8 thì n là số chẵn lớn hơn 2.

c) Đúng. Xét các nhóm:

7¹ + 7² + 7³ = 7(1 + 7 + 7²) = 7.57;

7⁴ + 7⁵ + 7⁶ = 7⁴(1 + 7 + 7²) = 7³.57;

...

Như vậy, khi nhóm các bộ 3 số hạng liên tiếp từ trái sang phải của S với nhau, để S ⋮ 57 thì S phải có số số hạng chia hết cho 3.

Vậy để S ⋮ 8 thì n ⋮ 3 và n > 2.

d) Đúng. Kết hợp các ý a, b, c, để S ⋮ 7, S ⋮ 8, S ⋮ 57 thì cần n ⋮ 2, n ⋮ 3 và n > 2.

Khi đó, n ∈ {6; 12; 18; ...}.

Như vậy, giá trị nhỏ nhất của n là n = 6.

Ta có:

S = 7¹ + 7² + 7³ + 7⁴ + 7⁵ + 7⁶

= (7¹ + 7⁴) + (7² + 7⁵) + (7³ + 7⁶)

= 7.(1 + 7³) + 7²(1 + 7³) + 7³(1 + 7³)

= (1 + 7³)(7 + 7² + 7³)

= 344.(7 + 7² + 7³).

Khi đó, S ⋮ 344.

Đáp án: 3.

Ta cần tìm tổng của k số hạng liên tiếp đầu tiên sao cho tổng đó chia hết cho 21.

⦁ Nếu k = 1, nhóm chỉ có 4¹ = 4 (không chứa thừa số 21).

⦁ Nếu k = 2, nhóm có: 4¹ + 4² = 4 + 16 = 20 (không chứa thừa số 21).

⦁ Nếu k = 3, nhóm có: 4¹ + 4² + 4³ = 4 + 16 + 64 = 84.

Vì 84 : 21 = 4 nên nhóm 3 số hạng đầu tiên này đã tạo được thừa số 21.

Khi đó:

A = (4¹ + 4² + 4³) + (4⁴ + 4⁵ + 4⁶) + ... + (4⁴⁰ + 4⁴¹ + 4⁴²)

= 4(1 + 4 + 4²) + 4⁴(1 + 4 + 4²) + ... 4⁴⁰(1 + 4 + 4²)

= 4 ∙ 21 + 4⁴ ∙ 21 + ... + 4⁴⁰ ∙ 21

= 21(4 + 4⁴ + ...+ 4⁴⁰).

Khi đó tổng A chia hết cho 21.

Vậy cần nhóm 3 số hạng liên tiếp (k = 3).

Đáp án: 4.

Ta xét tổng các số hạng đầu tiên để xuất hiện bội của 400.

Nhóm 2 số hạng: 7¹ + 7² = 7(1 + 7) = 7 . 8 (không chia hết cho 400);

Nhóm 3 số hạng: 7¹ + 7² + 7³ = 7(1 + 7 + 7²) = 7.57 (không chia hết cho 400);

Nhóm 4 số hạng: 7¹ + 7² + 7³ + 7⁴ = 7(1 + 7 + 7² + 7³) = 7.400, chia hết cho 400.

Tổng B có 120 số hạng, 120 : 4 = 30 nên chia vừa đủ thành 30 nhóm, mỗi nhóm có 4 số hạng.

Vậy cần ít nhất 4 số hạng cho mỗi nhóm.

Đáp án: 4.

Để tổng chia hết cho 15 bằng phương pháp nhóm, ta cần tìm một số k sao cho tổng của k số hạng liên tiếp đầu tiên chia hết cho 15.

Xét nhóm 2 số: 2¹ + 2² = 2 + 4 = 6 (không chia hết).

Xét nhóm 3 số: 2¹ + 2² + 2³ = 6 + 8 = 14 (không chia hết).

Xét nhóm 4 số: 2¹ + 2² + 2³ + 2⁴ = 14 + 16 = 30. Ta thấy 30 ⋮ 15.

Mỗi nhóm cần 4 số hạng. Để không bị dư số hạng nào, tổng số lượng số hạng của dãy phải chia hết cho 4. Tức là x ⋮ 4.

Do đó x ∈ B(4) = {0; 4; 8; 12; ...}.

Vì x ∈ ℕ* và x nhỏ nhất nên x = 4.

Đáp án: 30.

Ta thấy rằng 5¹ + 5² + 5³ = 5(1 + 5 + 5²) = 5 . 31 (chứa thừa số 31) nên ta cần ghép nhóm 3 số hạng liên tiếp.

Tổng D có 41 số hạng và 41 : 3 = 13 (dư 2).

Để thuận tiện, ta tách riêng 2 số hạng đầu tiên, 39 số hạng còn lại chia vừa đủ thành 13 nhóm:

D = 5¹ + 5² + 5³ + ... + 5⁴¹

= (5¹ + 5²) + (5³ + 5⁴ + 5⁵) + ... + (5³⁹ + 5⁴⁰ + 5⁴¹)

= (5 + 25) + 5³(1 + 5 + 5²) + ... + 5³⁹(1 + 5 + 5²)

= 30 + (1 + 5 + 5²)(5³ + ... + 5³⁹)

= 30 + 31.(5³ + ... + 5³⁹).

Cụm tích 31.(5³ + ... + 5³⁹) chắc chắn chia hết cho 31 nên số dư khi chia D cho 31 là 30.

Đáp án: 4.

Đầu tiên, ta tìm giá trị k (số số hạng liên tiếp ít nhất trong mỗi nhóm) để tạo thừa số 43:

6¹ + 6² = 6 + 36 = 42 (không chia hết cho 43).

6¹ + 6² + 6³ = 6(1 + 6 + 6²) = 6.43 (chứa thừa số 43).

Do đó k = 3.

Tiếp theo, ta tìm phần dư r của tổng số số hạng (100) khi chia cho k = 3:

Ta có 100 : 3 = 33 (dư 1). Do đó r = 1.

Vậy k + r = 3 + 1 = 4.