Bài tập Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10 (có lời giải)

Đáp án đúng là: B

A(2; 3): Thay tọa độ x = 2, y = 3 vào hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2 \ge 0\\3 \ge 0\\2 \cdot 2 + 3 = 7 \le 6\end{array} \right.\) (vô lý).

B(1; 3): Thay tọa độ x = 1, y = 3 vào hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}1 \ge 0\\3 \ge 0\\2 \cdot 1 + 3 = 5 \le 6\end{array} \right.\) (thỏa mãn).

C(3; 1): Thay tọa độ x = 3, y = 1 vào hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3 \ge 0\\1 \ge 0\\2 \cdot 3 + 1 = 7 \le 6\end{array} \right.\) (vô lý).

D(2; 4): Thay tọa độ x = 2, y = 4 vào hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2 \ge 0\\4 \ge 0\\2 \cdot 2 + 4 = 8 \le 6\end{array} \right.\) (vô lý).

Vậy điểm B(1; 3) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Đáp án đúng là: A

Thay tọa độ điểm O(0; 0) và các hệ bất phương trình, ta thấy: \(\left\{ \begin{array}{l}0 + 3 \cdot 0 = 0 < 0\\2 \cdot 0 + 0 + 4 = 4 > 0\end{array} \right.\) (vô lý)

Do đó, điểm O(0; 0) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + 3y < 0\\2x + y + 4 > 0\end{array} \right.\).

Đáp án đúng là: B

Phương án A: Thay tọa độ điểm M(1; -3) vào hệ bất phương trình, ta

\(\left\{ \begin{array}{l}3 \cdot 1 - 4 \cdot ( - 3) + 12 = 27 \ge 0\\1 + ( - 3) - 5 = - 7 \ge 0\\1 + 1 = 2 > 0\end{array} \right.\)(vô lý).

Phương án B: Thay tọa độ điểm N(4; 3) vào hệ bất phương trình, ta được

\(\left\{ \begin{array}{l}3 \cdot 4 - 4 \cdot 3 + 12 = 12 \ge 0\\4 + 3 - 5 = 2 \ge 0\\4 + 1 = 5 > 0\end{array} \right.\) (thỏa mãn).

Phương án C: Thay tọa độ điểm P(-1; 5) vào hệ bất phương trình, ta được

\(\left\{ \begin{array}{l}3 \cdot ( - 1) - 4 \cdot 5 + 12 = - 11 \ge 0\\( - 1) + 5 - 5 = - 1 \ge 0\\( - 1) + 1 = 0 > 0\end{array} \right.\) (vô lý).

Phương án D: Thay tọa độ điểm Q(-2; -3) vào hệ bất phương trình, ta được

\(\left\{ \begin{array}{l}3 \cdot ( - 2) - 4 \cdot ( - 3) + 12 = 18 \ge 0\\( - 2) + ( - 3) - 5 = - 10 \ge 0\\( - 2) + 1 = - 1 > 0\end{array} \right.\) (vô lý).

Vậy điểm N(4; 3) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Đáp án đúng là: B

Thay điểm M(3; 2) vào hệ bất phương trình, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}3 \ge 0\\2 \ge 0\\3 + 2 = 5 \le 4\end{array} \right.\) (vô lý).

Thay điểm N(1; 2) vào hệ bất phương trình, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}1 \ge 0\\2 \ge 0\\1 + 2 = 3 \le 4\end{array} \right.\) (thỏa mãn).

Thay điểm P(4; 1) vào hệ bất phương trình, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}4 \ge 0\\1 \ge 0\\4 + 1 = 5 \le 4\end{array} \right.\) (vô lý).

Thay điểm Q(2; 3) vào hệ bất phương trình, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2 \ge 0\\3 \ge 0\\2 + 3 = 5 \le 4\end{array} \right.\) (vô lý).

Vậy điểm N(1; 2) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Đáp án đúng là: A

Do miền nghiệm chứa bờ nên ta loại đáp án B và D.

Do điểm M(0; 1) thuộc miền nghiệm của hệ nên chọn A.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y > 0\\2x - y > 1\end{array} \right.\) gồm hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn x và y.

Do đó, hệ bất phương trình đã cho là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Sai. Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn có vô số nghiệm.

c) Sai. Chọn cặp số (x; y) = (3; 0): Thay x = 3, y = 0 vào hệ bất phương trình, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}3 - 0 = 3 > 0\\2 \cdot 3 - 0 = 6 > 1\end{array} \right.\) (thỏa mãn).

Vì cặp số (3; 0) đồng thời thỏa mãn cả hai bất phương trình trong hệ, nên hệ bất phương trình có nghiệm.

d) Đúng. Thay x = 2, y = 0 vào hệ bất phương trình, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}2 - 0 = 2 > 0\\2 \cdot 2 - 0 = 4 > 1\end{array} \right.\) (thỏa mãn).

Do đó, điểm A(2; 0) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Thay tọa độ x = 0 và y = 3 vào hệ bất phương trình (I), ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}3 - 2 \cdot 0 = 3 \le 2\\2 \cdot 3 - 0 = 6 \ge 4\,\,\,\,\\0 + 3 = 3 \le 5\end{array} \right.\) (không thỏa mãn).

Do đó, (0; 3) không phải là nghiệm của hệ bất phương trình (I).

b) Đúng. Thay tọa độ x = 1 và y = 3 vào hệ bất phương trình (I), ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}3 - 2 \cdot 1 = 1 \le 2\\2 \cdot 3 - 1 = 5 \ge 4\,\,\,\,\\1 + 3 = 4 \le 5\end{array} \right.\) (thỏa mãn).

Vì điểm M(1; 3) thỏa mãn đồng thời cả ba bất phương trình trong hệ, nên miền nghiệm của (I) chứa điểm này.

c) Đúng. Từ bất phương trình thứ nhất và bất phương trình thứ ba của hệ (I), cộng từng vế ta được:

y - 2x + x + y ≤ 2 + 5 ⇔ 2y - x ≤ 7.

Do đó, M(x; y) thuộc miền nghiệm của (I) thì 2y - x ≤ 7.

d) Đúng. Miền nghiệm của hệ (I) là miền tam giác ABC với các đỉnh A(0; 2), B(1; 4) và C(2; 3).

Tính giá trị của biểu thức F = y - x tại các đỉnh của miền nghiệm:

Tại đỉnh A(0; 2), ta có: F = 2 - 0 = 2.

Tại đỉnh B(1; 4), ta có: F = 4 - 1 = 3.

Tại đỉnh C(2; 3), ta có: F = 3 - 2 = 1.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F trên miền nghiệm đạt tại đỉnh C(2; 3) và bằng 1.

Đáp án: a) Sai. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Vì hệ bất phương trình đã cho gồm các bất phương trình bậc nhất hai ẩn không phải là hệ phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Sai. Thay tọa độ x = 1 và y = 0 vào hệ bất phương trình, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}1 + 0 - 1 = 0 \le 0\,\,(1)\\2 \cdot 1 - 0 + 4 = 6 \ge 0\,\,(2)\end{array} \right.\) (thỏa mãn).

Do đó, (1; 0) là một nghiệm của hệ bất phương trình.

Tuy nhiên, miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một miền phẳng chứa vô số điểm chứ không chỉ có một nghiệm duy nhất. Do đó, khẳng định b) sai.

c) Đúng. Thay tọa độ điểm M(2; 3) vào hệ bất phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}2 + 3 - 1 = 4 \le 0\,\,(1)\\2 \cdot 2 - 3 + 4 = 5 \ge 0\,\,(2)\end{array} \right.\) (vô lý).

Vì điểm M(2; 3) không thỏa mãn bất phương trình (1) của hệ, nên điểm M không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

d) Đúng. Theo quy tắc biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn trên mặt phẳng tọa độ, phần mặt phẳng không bị gạch bỏ hoặc phần không tô đậm, kể cả bờ chính là miền biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trong hệ.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Hệ bất phương trình đã cho gồm các bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y, do đó đây là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.

b) Đúng. Miền nghiệm của hệ là miền giới hạn bởi ba đường thẳng: x = 0, y = 0 và x + 2y = 4 tạo thành một miền tam giác OAB với các đỉnh:

O(0; 0), A(4; 0), B(0; 2).

Do đó, khẳng định miền nghiệm của hệ là một miền tam giác là đúng.

c) Sai. Thay gốc tọa độ O(0; 0) vào hệ bất phương trình, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}0 \ge 0\\0 \ge 0\\0 + 2 \cdot 0 = 0 \le 4\end{array} \right.\) (thỏa mãn).

Vì gốc tọa độ O(0; 0) thỏa mãn đồng thời tất cả các bất phương trình trong hệ, nên O thuộc miền nghiệm của hệ. Do đó, khẳng định c) sai.

d) Đúng. Thay tọa độ điểm M(1; 1) vào hệ bất phương trình, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}1 \ge 0\\1 \ge 0\\1 + 2 \cdot 1 = 3 \le 4\end{array} \right.\) (thỏa mãn).

Vì điểm M(1; 1) thỏa mãn đồng thời các bất phương trình trong hệ, nên điểm M thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Để tìm giao điểm của đường thẳng x + y = 5 với trục Ox, ta cho: y = 0 ⇒ x = 5.

Do đó đường thẳng cắt trục Ox tại điểm A(5; 0).

b) Đúng. Để tìm giao điểm của đường thẳng x + y = 5 với trục Oy, ta cho: x = 0 ⇒ y = 5.

Do đó đường thẳng cắt trục Oy tại điểm B(0; 5).

c) Đúng. Thay tọa độ điểm C(2; 3) vào hệ bất phương trình đã cho, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}2 \ge 0\\3 \ge 0\\2 + 3 = 5 \le 5\end{array} \right.\) (thỏa mãn).

Vì điểm C(2; 3) thỏa mãn đồng thời các bất phương trình trong hệ, nên điểm C(2; 3) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

d) Sai. Thay tọa độ điểm D(4; 2) vào hệ bất phương trình đã cho, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}4 \ge 0\\2 \ge 0\\4 + 2 = 6 \le 5\end{array} \right.\) (vô lý)

Do đó điểm D(4; 2) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Đáp án: 11

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác ABC.

Ta xác định tọa độ các đỉnh của miền nghiệm: A\(\left( {\frac{2}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\), B\(\left( {\frac{7}{3};\frac{8}{3}} \right)\) và C(4; 1).

Tính giá trị của biểu thức F = y - x tại các đỉnh của miền nghiệm:

Tại đỉnh A\(\left( {\frac{2}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\): F = \( - \frac{2}{3}\) - \(\frac{2}{3}\) = \( - \frac{4}{3}\).

Tại đỉnh B\(\left( {\frac{7}{3};\frac{8}{3}} \right)\): F = \(\frac{8}{3} - \frac{7}{3} = \frac{1}{3}\).

Tại đỉnh C(4; 1): F = 1 - 4 = -3.

So sánh các giá trị trên, ta thấy biểu thức F đạt giá trị nhỏ nhất bằng -3 tại điểm C(4; 1).

Do đó, tọa độ điểm S là S(4; 1), tức là x = 4 và y = 1.

Thay x = 4 và y = 1 vào biểu thức T = 2x + 3y, ta được: T = 2 ⋅ 4 + 3 ⋅ 1 = 8 + 3 = 11.

Đáp án: 24

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là một miền tam giác OAB với các đỉnh: O(0; 0), A(8; 0), B(0; 8).

Tính giá trị của biểu thức F = 2x + 3y tại các đỉnh của miền nghiệm:

Tại đỉnh O(0; 0): F = 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 0 = 0.

Tại đỉnh A(8; 0): F = 2 ⋅ 8 + 3 ⋅ 0 = 16.

Tại đỉnh B(0; 8): F = 2 ⋅ 0 + 3 ⋅ 8 = 24.

So sánh các giá trị trên, ta thấy biểu thức F đạt giá trị lớn nhất bằng 24 tại điểm B(0; 8).

Do đó, F = 2x + 3y đạt giá trị lớn nhất bằng 24.

Đáp án: 50

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là một miền tam giác vuông OAB trên mặt phẳng tọa độ với các đỉnh: O(0; 0), A(10; 0), B(0; 10).

∆OAB vuông tại O với độ dài hai cạnh góc vuông là OA = 10 và OB = 10.

Diện tích của hình phẳng biểu diễn miền nghiệm hay tam giác vuông OAB là:

S = \(\frac{1}{2}\)⋅ OA ⋅ OB = \(\frac{1}{2}\) ⋅ 10 ⋅ 10 = 50.

Đáp án: 10

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là một miền tam giác OAB trên mặt phẳng tọa độ với các đỉnh: O(0; 0), A(10; 0), B(0; 5).

Tính giá trị của biểu thức F = x + 2y tại các đỉnh của miền nghiệm:

Tại đỉnh O(0; 0): F = 0 + 2 ⋅ 0 = 0.

Tại đỉnh A(10; 0): F = 10 + 2 ⋅ 0 = 10.

Tại đỉnh B(0; 5): F = 0 + 2 ⋅ 5 = 10.

So sánh các giá trị trên, ta thấy biểu thức F đạt giá trị lớn nhất bằng 10 tại các điểm A(10; 0) và B(0; 5).

Đáp án: 6,75

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là một miền tam giác ABC trên mặt phẳng tọa độ với các đỉnh A(0,5; 3), B(5; 3), C(2; 0).

Ta có AB = 5 - 0,5 = 4,5.

Chiều cao h của tam giác hạ từ đỉnh C xuống cạnh AB chính là khoảng cách từ tung độ của điểm C đến đường thẳng y = 3: h = 3 - 0 = 3.

Diện tích của hình phẳng biểu diễn miền nghiệm là: S = \(\frac{1}{2}\) ⋅ AB ⋅ h = \(\frac{1}{2}\) ⋅ 4,5 ⋅ 3 = 6,75.