Đề kiểm tra Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10 (có lời giải) - Đề 1

Chọn B

     Trước hết, ta vẽ bốn đường thẳng:

\(\left( {{d_1}} \right):x - y = 2\)

\(\left( {{d_2}} \right):3x + 5y = 15\)

\(\left( {{d_3}} \right):x = 0\)

\(\left( {{d_4}} \right):y = 0\)

Miền nghiệm là phần không bị gạch, kể cả biên.

Chọn C

Vẽ đường thẳng \({d_1}:x - y - 1 = 0\), đường thẳng \({d_1}\) qua hai điểm \(\left( {0;\, - 1} \right)\) và \(\left( {1;\,0} \right)\).

Vẽ đường thẳng \({d_2}:x + 2y - 10 = 0\), đường thẳng \({d_2}\) qua hai điểm \(\left( {0;\,5} \right)\) và \(\left( {2;\,4} \right)\).

Vẽ đường thẳng \({d_3}:y = 4\).

  Miền nghiệm là ngũ giác \(ABCOE\) với \(A\left( {4;\,3} \right),\,B\left( {2;\,4} \right),\,C\left( {0;\,4} \right),\,E\left( {1;\,0} \right)\).

Ta có: \[F\left( {4;3} \right) = 10\], \[F\left( {2;4} \right) = 10\], \[F\left( {0;4} \right) = 8\], \[F\left( {1;0} \right) = 1\], \[F\left( {0;0} \right) = 0\].

Vậy giá trị lớn nhất của biết thức \[F\left( {x;y} \right) = x + 2y\] bằng \(10\).

Chọn A

Theo bài ra ta có số tiền gia đình cần trả là \(160.x + 110.y\) với \(\,x\),\(y\) thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 1,6\\0 \le y \le 1,1\end{array} \right.\).

Số đơn vị protein gia đình có là \(0,8.x + 0,6.y \ge 0,9\)\( \Leftrightarrow 8x + 6y \ge 9\)\(\left( {{d_1}} \right)\).

Số đơn vị lipit gia đình có là\(0,2.x + 0,4.y \ge 0,4 \Leftrightarrow \,x + 2y \ge 2\) \(\left( {{d_2}} \right)\).

Bài toán trở thành: Tìm \(x,y\) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 1,6\\0 \le y \le 1,1\\8x + 6y \ge 9\\x + 2y \ge 2\end{array} \right.\) sao cho \(T = 160.x + 110.y\) nhỏ nhất.

a) Thay \(x = 1,y = 0\) vào hệ bất phương trình đã cho, ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + 3.0 > 0}\\{0 - 2.1 < 0}\\{3.1 + 3.0 - 1 > 0}\end{array}} \right.\) (đúng), suy ra cặp số \((1;0)\) là một nghiệm của hệ phương trình đã cho.

b) Thay \(x = - 1,y = 2\) vào hệ bất phương trình đã cho, ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l} - 1 + 3.2 > 0\\2 - 2( - 1) < 0\\3( - 1) + 3.2 - 1 > 0\end{array}\end{array}} \right.\)(sai)

Suy ra cặp số \(( - 1;2)\) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

c) Thay \(x = 2,y = - 3\) vào hệ bất phương trình, ta được: (đúng), Do vậy \((2; - 3)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình.

d) Thay \(x = 2,y = - 3\) vào hệ bất phương trình đã cho, ta được: (sai)

Do vậy \((2; - 3)\) không là một nghiệm của hệ đã cho.

Vẽ các đường thẳng \({d_1}:x - 2y = 0,{d_2}:5x - y = - 4\), \({d_3}:x + 2y = 5\).

-Ta thấy điểm \(M(1;1)\) thỏa mãn miền nghiệm của hệ bất phương trình vì khi thay \(x = 1,y = 1\) vào hệ, ta có: (đúng)

Gạch bỏ các phần không thuộc miền nghiệm của mỗi bất phương trình (nửa mặt phẳng có bờ là các đường \({d_1},{d_2},{d_3}\) và không chứa điểm \(M\) ). Khi đó, miền nghiệm của bất phương trình chính là miền của tam giác \(ABC\) (kể cả ba cạnh của nó), trong đó \(A\left( { - \frac{3}{{11}};\frac{{29}}{{11}}} \right),B\left( {\frac{5}{2};\frac{5}{4}} \right),C\left( { - \frac{8}{9}; - \frac{4}{9}} \right)\).

- $\left\{\begin{array}{l}-x-y<4\\ -x+2y>-2\\ x+y<8\\ x⩾-6\\ y⩽6\end{array}\right.$

Vẽ các đường thẳng \({d_1}: - x - y = 4,{d_2}: - x + 2y = - 2,{d_3}:x + y = 8,{d_4}:x = - 6,{d_5}:y = 6\)

-Ta có điểm \(O(0;0)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình vì khi thay \(x = 0,y = 0\) vào hệ, ta được: (đúng)

Gạch bỏ các phần không thuộc miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ (nửa mặt phẳng có bờ là các đường thẳng \({d_1},{d_2},{d_3},{d_4},{d_5}\) và không chứa điểm \(O\)). Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình chính là miền của ngũ giác \(ABCDE\) (không kể các cạnh \(BC,CD,DE\)) với \[A\left( { - 6;6} \right),{\rm{ }}B\left( { - 6;2} \right),{\rm{ }}C\left( { - 2; - 2} \right),{\rm{ }}D\left( {6;2} \right),{\rm{ }}E\left( {2;6} \right){\rm{ }}.\]

a) Thay \(x = 1,y = 2\) vào hệ bất phương trình, ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + 3.2 - 6 > 0}\\{2.1 + 2 + 4 > 0}\end{array}} \right.\) (đúng), suy ra điểm \(M(1;2)\) thuộc miền nghiệm của hệ đã cho.

b) Thay \(x = 1,y = 2\) vào hệ bất phương trình, ta được : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + 3.2 - 6 < 0}\\{2.1 + 2 - 4 < 0}\end{array}} \right.\) (sai), suy ra điểm \(M(1;2)\) không thuộc miền nghiệm của hệ đã cho.

c) Thay \(x = 0,y = 0\) vào hệ bất phương trình, ta được: (đúng), do đó cặp số \((0;0)\) là một nghiệm của hệ đã cho.

d) Thay \(x = 1,y = 1\) vào hệ bất phương trình, ta được: (đúng), do đó cặp số \((1;1)\) là một nghiệm của hệ đã cho.

 a) Giả sử gia đình đó mua \(x(\;kg)\) thịt bò và \(y(\;kg)\) thịt lợn.

Điều kiện: \(0 \le x \le 1,6;0 \le y \le 1,1\).

Khi đó lượng protein có được là \(80\% x + 60\% y\) và lượng lipit có được là \(20\% x + 40\% y\).

Vì gia đình đó cần ít nhất \(0,9\;kg\) protein và \(0,4\;kg\) lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là: \(80\% x + 60\% y \ge 0,9{\rm{ ;}}\,\,20\% x + 40\% y \ge 0,4.{\rm{ }}\)

Ta có hệ bất phương trình: $\left\{\begin{array}{l}0⩽x⩽1,6\\ 0⩽y⩽1,1\\ 4x+3y⩾4,5\\ x+2y⩾2\end{array}\right.$.

b) Miền nghiệm của hệ trên là miền của tứ giác lồi \(ABCD\) (kể cả biên) được mô tả ở hình bên.

c) Chi phí để mua \(x(\;kg)\) thịt bò và \(y(\;kg)\) thịt lợn là: \(T = 45x + 35y\) (nghìn đồng).

d) Ta đã biết \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh tứ giác \(ABCD\) trong đó \(A(0,3;1,1),B(1,6;1,1),C(1,6;0,2),D(0,6;0,7)\).

Xét \(A(0,3;1,1)\), ta có \(T = 45.0,3 + 35.1,1 = 52\); xét \(B(1,6;1,1)\), ta có \(T = 45.1,6 + 35.1,1 = 110,5\); xét \(C(1,6;0,2)\), ta có \(T = 45.1,6 + 35.0,2 = 79\); xét \(D(0,6;0,7)\), ta có \(T = 45.0,6 + 35.0,7 = 51,5\).

So sánh các giá trị trên, ta thấy được \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 51,5 (nghìn đồng), khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0,6}\\{y = 0,7}\end{array}} \right.\) (tức là gia đình đó mua \(0,6\;kg\) thịt bò và \(0,7\;kg\) thịt lợn thì chi phí là ít nhất).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(ABCD\) với \(A( - 1;0),B(5;0),C(2;3)\), \(D(0;2)(\)Hinh). Ta có: \(x - y + m \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - x + y\).

Đặt \(F =  - x + y\). Tính giá trị của \(F =  - x + y\) tại các cặp số \((x;y)\) là toạ độ của các đỉnh tứ giác \(ABCD\) rồi so sánh bằng \( - 5\) tại \(x = 5,y = 0\).

Để \(m \le  - x + y\) với mọi \(x,y\) thoả mãn hệ bất phương trình đã cho thì \(m \le {\mathop{\rm Min}\nolimits} F\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình đó hay \(m \le  - 5\).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (II) là miền tam giác \(ABC\) với \(A(4;1)\), \(B(8;3),C(2;3)\) (Hình).

Ta có: \(2x - 5y + m \ge 0 \Leftrightarrow m \ge  - 2x + 5y\).

Đặt \(F =  - 2x + 5y\). Tính giá trị của \(F =  - 2x + 5y\) tại các cặp số \((x;y)\) là toạ độ của các đỉnh tam giác \(ABC\) rồi so sánh các giá trị đó, ta được \(F\) đạt giá trị lớn nhất bằng 11 tại \(x = 2,y = 3\).

Để bất phương trình \(2x - 5y + m \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(x,y\) thoả mãn hệ bất phương trình đã cho thì \(m \ge {\mathop{\rm Max}\nolimits} F\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình đó hay \(m \ge 11\).

Gọi \(x,y\) lần lượt là số cốc đồ uống loại \(A\), loại \(B\) mà đội chơi cần pha chế với \(x \ge 0,y \ge 0\).

Số cốc nước cần dùng là: \(x + y\) (cốc).

Lượng đường cần dùng là: \(30x + 10y(\;g)\).

Lượng hương liệu cần dùng là: \(x + 4y(\;g)\).

Theo giả thiết, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 9\\30x + 10y \le 210\\x + 4y \le 24\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 9\\3x + y \le 21\\x + 4y \le 24\end{array}\end{array}} \right.} \right.\left( {III} \right)\)

Số điểm thường nhận được là: \(F = 6x + 8y\).

Ta tìm giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (III).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (III) là miền ngũ giác \(OABCD\) với \(O\left( {0;0} \right),\,A\left( {7;0} \right),\,B\left( {6;3} \right),\,C\left( {4;5} \right),\,D\left( {0;6} \right)\)(hình).

Tính giá trị của \(F = 6x + 8y\) tại các cặp số \(\left( {x;y} \right)\) là tọa độ của các đỉnh ngũ giác \(OABCD\) rồi so sánh các giá trị đó, ta được \(F\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(64\) tại \(x = 4;y = 5\).

Vậy để đạt được số điểm thưởng cao nhất, đội chơi cần pha chế 4 cốc đồ uống loại \(A\), 5 cốc đồ uống loại \(B\).

Gọi \(x,y\) lần lượt là số ki-lô-gam thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó mua trong một ngày với \(0 \le x \le 1,6,0 \le y \le 1,1\).

Số đơn vị protein gia đình có là: \(800x + 600y\).

Số đơn vị lipit gia đình có là: \(200x + 400y\). Theo bài ra, ta có:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}0 \le x \le 1,6\\0 \le y \le 1,1\\800x + 600y \ge 900\\200x + 400y \ge 400\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}0 \le x \le 1,6\\0 \le y \le 1,1\\8x + 6y \ge 9\\x + 2y \ge 2\end{array}\end{array}} \right.} \right.\left( {IV} \right)\)

Số tiền gia đình đã dùng để mua thịt bò và thịt lợn là:

\[T = 200000{\rm{ }}x + 160000{\rm{ }}y\](đồng).

Bài toán đưa về tìm \(x,y\) là nghiệm của hệ bất phương trình (IV) để \(T = 200000x + 160000y\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Trước hết, ta biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (IV).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình (IV) là miền tứ giác \(ABCD\) với \(A(0,3;1,1),B(0,6;0,7),C(1,6;0,2)\), \(D(1,6;1,1)\)(hình)

Tính giá trị của \(T\) tại các cặp số \((x;y)\) là tọa độ của các đỉnh tứ giác \(ABCD\) rồi so sánh các giá trị đó, ta được \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 232000 đồng tại \(x = 0,6;y = 0,7\)

Vậy để đảm bảo cung cấp đủ lượng protein, lipit cho gia đình và có chi phí là ít nhất thì gia đình đó cần mua thêm \(0,6kg\) thịt bò và \(0,7kg\)thịt lợn

Gọi \(x,y\) (chiếc) là số lượng bánh nướng, bánh dẻo mà xí nghiệp cần sản xuất. Trong đó \(0 < x,0 < y\) với \(x,y \in {\mathbb{N}^*}\).

Khối lượng bột mỳ cần dùng là: \(0,12x + 0,16y(\;kg)\).

Khối lượng đường cần dùng là: \(0,06x + 0,04y(\;kg)\).

Ta có: \(0,12x + 0,16y \le 600\) hay \(3x + 4y \le 15000\);

\(0,06x + 0,04y \le 240\) hay \(3x + 2y \le 12000\).

Số tiền lãi thu được là: \(T = 8x + 6y\) (nghìn đồng). Bài toán đưa về, tìm \(x,y\) là nghiệm của hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y \le 15000\\3x + 2y \le 1200\\y \le 3x\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\left( V \right)\) để \(T = 8x + 6y\) đạt giá trị lớn nhất.

Trước hết, ta biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (V).

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(OABC\) với \(O\left( {0;0} \right),\,A\left( {4000;0} \right),B\left( {3000;1500} \right),\,C\left( {1000;3000} \right)\)

Tính giá trị của \(T\) tại các cặp số \((x;y)\) là toạ độ các đỉnh trên rồi so sánh các giá trị đó, ta được \(T\) đạt giá trị lớn nhất bằng 33000 (nghìn đồng) hay 33 triệu đồng tại \(x = 3000;y = 1500\).

Vậy để đạt được tiền lãi cao nhất, xí nghiệp nên sản xuất 3000 chiếc bánh nướng và \(1.500\) chiếc bánh dẻo.

Gọi \(x,y\) lần lượt là số kg sản phẩm loại I và loại II mà xưởng sản xuất được.

Tổng nguyên liệu được dùng là \(2x + 4y(\;kg)\); tổng thời gian sản xuất là \(30x + \) \(15y\) (giờ); .

Ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 4y \le 200\\30x + 15y \le 1200\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y \le 100\\2x + y \le 80\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\)

Vẽ trên cùng hệ trục các đường thẳng \({d_1}:x + 2y = 100,\,{d_2}:2x + y = 80,\,{d_3}:y = 0,\,{d_4}:x = 0\)

Ta có điểm \(M\left( {1;1} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình vì khi thay tọa độ điểm này vào hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}1 + 2.1 \le 100\\2.1 + 1 \le 80\\1 \ge 0\\1 \ge 0\end{array} \right.\)(đúng)

Gạch bỏ các phần không thuộc miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ (nửa mặt phẳng có bờ là các đường thẳng \({d_1},{d_2},{d_3},{d_4}\) và không chứa điểm \(M\) ). Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình chính là miền của tứ giác \(OABC\) (kể cả các cạnh của tứ giác đó) với \(O(0;0),A(0;50),B(20;40),C(40;0)\).

Lãi thu về từ việc sản xuất hai sản phẩm: \(F(x;y) = 40x + 30y\) (nghìn đồng).

Tại \(O(0;0)\), ta có \(F(0;0) = 0\); tại \(A(0;50)\), ta có \(F(0;50) = 1500\); tại \(B(20;40)\), ta có \(F(20;40) = 2000\); tại \(C(40;0)\), ta có \(F(40;0) = 1600\).

Vậy lãi suất cao nhất thu được bằng 2000000 đồng, khi đó \(x = 20,y = 40\) (tức là xưởng cần sản xuất ra 20 sản phẩm loại \(I\) và 40 sản phẩm loại II).