Đề kiểm tra Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10 (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Trong các cặp số sau, cặp nào không là nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y - 2 \le 0}\\{2x - 3y + 2 > 0}\end{array}} \right.\] là
\[\left( {0;0} \right)\].
\[\left( {1;1} \right)\].
\[\left( { - 1;1} \right)\].
\[\left( { - 1; - 1} \right)\].
Chọn C
Ta thay cặp số \[\left( { - 1;1} \right)\]vào hệ ta thấy không thỏa mãn.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\frac{x}{2} + \frac{y}{3} - 1 \ge 0}\\{2(x - 1) + \frac{{3y}}{2} \le 4}\\{x \ge 0}\end{array}} \right.\] là phần mặt phẳng chứa điểm
\(\left( {2;1} \right)\).
\(\left( {0;0} \right)\).
\(\left( {1;1} \right)\).
\(\left( {3;4} \right)\).
Chọn A
Nhận xét: chỉ có điểm \(\left( {2;1} \right)\) thỏa mãn hệ.
Điểm nào sau đây không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + 3y - 1 > 0}\\{5x - y + 4 < 0}\end{array}} \right.\]?
\[\left( { - 1;4} \right)\].
\[\left( { - 2;4} \right)\].
\[\left( {0;0} \right)\].
\[\left( { - 3;4} \right)\].
Chọn C
Nhận xét: chỉ có điểm \[\left( {0;0} \right)\] không thỏa mãn hệ.
Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - 5y - 1 > 0}\\{2x + y + 5 > 0}\\{x + y + 1 < 0}\end{array}} \right.\]?
\[\left( {0;0} \right)\].
\[\left( {1;0} \right)\].
\[\left( {0; - 2} \right)\].
\[\left( {0;2} \right)\].
Chọn C
Nhận xét: chỉ có điểm \[\left( {0; - 2} \right)\] thỏa mãn hệ.
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}2x - \frac{3}{2}y \ge 1\\4x - 3y \le 2\end{array} \right.\)có tập nghiệm \(S\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
\(\left( { - \frac{1}{4}; - 1} \right) \notin S\).
\(S = \left\{ {\left( {x;y} \right)|4x - 3y = 2} \right\}\).
Biểu diễn hình học của \(S\) là nửa mặt phẳng chứa gốc tọa độ và kể cả bờ \[d\], với \[d\] là là đường thẳng \(4x - 3y = 2\).
Biểu diễn hình học của \(S\) là nửa mặt phẳng không chứa gốc tọa độ và kể cả bờ \[d\], với \[d\] là là đường thẳng \(4x - 3y = 2\).
Chọn B
Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:
\(\left( {{d_1}} \right):2x - \frac{3}{2}y = 1\)
\(\left( {{d_2}} \right):4x - 3y = 2\)
Thử trực tiếp ta thấy \(\left( {0\,\,;\,\,0} \right)\) là nghiệm của phương trình (2) nhưng không phải là nghiệm của phương trình (1). Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, tập hợp nghiệm của bất phương trình chính là các điểm thuộc đường thẳng \(\left( d \right):4x - 3y = 2.\)
Cho hệ \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y < 5\,\,\,(1)\\x + \frac{3}{2}y < 5\,\,\,(2)\end{array} \right.\). Gọi \({S_1}\) là tập nghiệm của bất phương trình (1), \({S_2}\) là tập nghiệm của bất phương trình (2) và \(S\) là tập nghiệm của hệ thì
\({S_1} \subset {S_2}\).
\({S_2} \subset {S_1}\).
\({S_2} = S\).
\({S_1} \ne S\).
Chọn B
Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:
\(\left( {{d_1}} \right):2x + 3y = 5\)
\(\left( {{d_2}} \right):x + \frac{3}{2}y = 5\)
Ta thấy \(\left( {0\,\,;\,\,0} \right)\) là nghiệm của cả hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Say khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.
Miền được gạch chéo trong hình bên dưới biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình nào dưới đây?
\(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\\x + y < 2\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\\x + y < 4\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\\x + y > 2\end{array} \right.\).
\(\left\{ \begin{array}{l}x < 0\\y > 0\\x + y < 2\end{array} \right.\).
Chọn A
Miền gạch chéo ở trong hình thỏa mãn \(x > 0\) và \(y > 0\).
Miền gạch sọc đi qua hai điểm \(\left( {0;\,2} \right)\) và \(\left( {2;\,0} \right)\) nên miền này biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x > 0\\y > 0\\x + y < 2\end{array} \right.\).
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = y - x\) trên miền xác định bởi hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y - 2x \le 2}\\{2y - x \ge 4}\\{x + y \le 5}\end{array}} \right.\) là
\(\min F = 1\) khi \(x = 2\), \(y = 3\).
\(\min F = 2\) khi \(x = 0\), \(y = 2\).
\(\min F = 3\) khi \(x = 1\), \(y = 4\).
\(\min F = 0\) khi \(x = 0\), \(y = 0\).
Chọn A
Miền nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y - 2x \le 2}\\{2y - x \ge 4}\\{x + y \le 5}\end{array}} \right.\) là miền trong của tam giác \[ABC\] kể cả biên (như hình)
Ta thấy \(F = y - x\) đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm \(A\), \(B\), \(C\).
Tại \(A\left( {0; 2} \right)\) thì \(F = 2\).
Tại \(B\left( {1; 4} \right)\) thì \(F = 3\)
Tại \(A\left( {2; 3} \right)\) thì \(F = 1\).
Vậy \(\min F = 1\) khi \(x = 2\), \(y = 3\).
Giá trị nhỏ nhất của biết thức \[F = y - x\] trên miền xác định bởi hệ \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y \le 2}\\{x - y \le 2}\\{5x + y \ge - 4}\end{array}} \right.\] là
\[{\rm{min }}F = - 3\] khi \[x = 1,y = - 2\].
\[{\rm{min}}\,F = 0\] khi\[x = 0,y = 0\].
\[{\rm{min }}F = - 2\] khi \[x = \frac{4}{3},y = - \frac{2}{3}\].
\[{\rm{min }}F = 8\] khi \[x = - 2,y = 6\].
Chọn C
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + y \le 2}\\{x - y \le 2}\\{5x + y \ge - 4}\end{array}} \right.\] trên hệ trục tọa độ như dưới đây:
![Vậy \[{\rm{min }}F = - 2\] khi \[x = \frac{4}{3},y = - \frac{2}{3}\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/5-1760023083.png)
Giá trị nhỏ nhất của biết thức \[F = y - x\] chỉ đạt được tại các điểm
\[A\left( { - 2;6} \right),C\left( {\frac{4}{3}; - \frac{2}{3}} \right),\,B\left( {\frac{{ - 1}}{3};\frac{{ - 7}}{3}} \right)\].
Ta có: \(F\left( A \right) = 8;\,F\left( B \right) = - 2;\,F\left( C \right) = - 2\).
Vậy \[{\rm{min }}F = - 2\] khi \[x = \frac{4}{3},y = - \frac{2}{3}\].
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x - y \le 2\\3x + 5y \le 15\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), biểu diễn miền nghiệm của hệbất phương trình đã cho là miền tứ giác \(ABCO\) kể cả các cạnh với \(A\left( {0;3} \right)\), \(B\left( {\frac{{25}}{8};\frac{9}{8}} \right)\), \(C\left( {2;0} \right)\) và \(O\left( {0;0} \right)\).
Đường thẳng \(\Delta :x + y = m\) có giao điểm với tứ giác \(ABCO\) kể cả khi \( - 1 \le m \le \frac{{17}}{4}\).
Giá trị lớn nhất của biểu thức \(x + y\), với \(x\) và \(y\) thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho là \(\frac{{17}}{4}\).
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(x + y\), với \(x\) và \(y\) thõa mãn hệ bất phương trình đã cho là 0.
Chọn B
Trước hết, ta vẽ bốn đường thẳng:
\(\left( {{d_1}} \right):x - y = 2\)
\(\left( {{d_2}} \right):3x + 5y = 15\)
\(\left( {{d_3}} \right):x = 0\)
\(\left( {{d_4}} \right):y = 0\)
Miền nghiệm là phần không bị gạch, kể cả biên.
Giá trị lớn nhất của biết thức \[F\left( {x;y} \right) = x + 2y\] với điều kiện \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le y \le 4}\\{x \ge 0}\\{x - y - 1 \le 0}\\{x + 2y - 10 \le 0}\end{array}} \right.\] là
\[6\].
\[8\].
\[10\].
\[12\].
Chọn C
Vẽ đường thẳng \({d_1}:x - y - 1 = 0\), đường thẳng \({d_1}\) qua hai điểm \(\left( {0;\, - 1} \right)\) và \(\left( {1;\,0} \right)\).
Vẽ đường thẳng \({d_2}:x + 2y - 10 = 0\), đường thẳng \({d_2}\) qua hai điểm \(\left( {0;\,5} \right)\) và \(\left( {2;\,4} \right)\).
Vẽ đường thẳng \({d_3}:y = 4\).
![Vậy giá trị lớn nhất của biết thức \[F\left( {x;y} \right) = x + 2y\] bằng \(10\). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/7-1760023172.png)
Miền nghiệm là ngũ giác \(ABCOE\) với \(A\left( {4;\,3} \right),\,B\left( {2;\,4} \right),\,C\left( {0;\,4} \right),\,E\left( {1;\,0} \right)\).
Ta có: \[F\left( {4;3} \right) = 10\], \[F\left( {2;4} \right) = 10\], \[F\left( {0;4} \right) = 8\], \[F\left( {1;0} \right) = 1\], \[F\left( {0;0} \right) = 0\].
Vậy giá trị lớn nhất của biết thức \[F\left( {x;y} \right) = x + 2y\] bằng \(10\).
Một gia đình cần ít nhất \(900\) đơn vị protein và \(400\) đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kiogam thịt bò chứa \(800\) đơn vị protein và \(200\)đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa \(600\)đơn vị protein và \(400\) đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất \(1,6\) kg thịt bò và \(1,1\) kg thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là \(160\) nghìn đồng, một kg thịt lợn là \(110\) nghìn đồng. Gọi \(\,x\),\(y\) lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua. Tìm \(\,x\),\(y\) để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn?
\(x = 0,3\) và \(y = 1,1\).
\(x = 0,3\) và \(y = 0,7\).
\(x = 0,6\) và \(y = 0,7\).
\(x = 1,6\) và \(y = 0,2\).
Chọn A
Theo bài ra ta có số tiền gia đình cần trả là \(160.x + 110.y\) với \(\,x\),\(y\) thỏa mãn: \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 1,6\\0 \le y \le 1,1\end{array} \right.\).
Số đơn vị protein gia đình có là \(0,8.x + 0,6.y \ge 0,9\)\( \Leftrightarrow 8x + 6y \ge 9\)\(\left( {{d_1}} \right)\).
Số đơn vị lipit gia đình có là\(0,2.x + 0,4.y \ge 0,4 \Leftrightarrow \,x + 2y \ge 2\) \(\left( {{d_2}} \right)\).
Bài toán trở thành: Tìm \(x,y\) thỏa mãn hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le x \le 1,6\\0 \le y \le 1,1\\8x + 6y \ge 9\\x + 2y \ge 2\end{array} \right.\) sao cho \(T = 160.x + 110.y\) nhỏ nhất.
Vẽ hệ trục tọa độ ta tìm được tọa độ các điểm \(A\left( {1,6;\,1,1} \right)\); \(B\left( {1,6;\,0,2} \right)\); \(C\left( {0,6;\,0,7} \right)\); \(D\left( {0,3;\,1,1} \right)\).
Nhận xét: \(T\left( A \right) = 377\) nghìn, \(T\left( B \right) = 278\) nghìn, \(T\left( C \right) = 173\) nghìn, \(T\left( D \right) = 169\) nghìn.
Vậy tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn thì \(x = 0,6\) và \(y = 0,7\).
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:
a) \((1;0)\) không là nghiệm của hệ phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 3y > 0}\\{y - 2x < 0}\\{3x + 3y - 1 > 0}\end{array}} \right.\)
b) \(( - 1;2)\) là nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 3y > 0}\\{y - 2x < 0}\\{3x + 3y - 1 > 0}\end{array}} \right.\)
c) \((2; - 3)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình
d) \((2; - 3)\) không là một nghiệm của hệ bất phương trình\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y \ge 0}\\{x + y < 0}\\{x + 2y > 2}\end{array}} \right.\)
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
a) Thay \(x = 1,y = 0\) vào hệ bất phương trình đã cho, ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + 3.0 > 0}\\{0 - 2.1 < 0}\\{3.1 + 3.0 - 1 > 0}\end{array}} \right.\) (đúng), suy ra cặp số \((1;0)\) là một nghiệm của hệ phương trình đã cho.
b) Thay \(x = - 1,y = 2\) vào hệ bất phương trình đã cho, ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l} - 1 + 3.2 > 0\\2 - 2( - 1) < 0\\3( - 1) + 3.2 - 1 > 0\end{array}\end{array}} \right.\)(sai)
Suy ra cặp số \(( - 1;2)\) không là nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
c) Thay \(x = 2,y = - 3\) vào hệ bất phương trình, ta được: (đúng), Do vậy \((2; - 3)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình.
d) Thay \(x = 2,y = - 3\) vào hệ bất phương trình đã cho, ta được: (sai)
Do vậy \((2; - 3)\) không là một nghiệm của hệ đã cho.
Cho các hệ bất phương trình sau: x−2y⩽05x−y⩾−4x+2y⩽5 , −x−y<4−x+2y>−2x+y<8x⩾−6y⩽6. Khi đó:
a) Miền nghiệm của hệ bất phương trình x−2y⩽05x−y⩾−4x+2y⩽5 là tam giác.
b) Điểm \(M(1;1)\) thỏa mãn miền nghiệm của hệ bất phương trình x−2y⩽05x−y⩾−4x+2y⩽5.
c) Miền nghiệm của hệ bất phương trình −x−y<4−x+2y>−2x+y<8x⩾−6y⩽6 là tứ giác.
d) Điểm \(O(0;0)\) không thỏa mãn miền nghiệm của hệ bất phương trình −x−y<4−x+2y>−2x+y<8x⩾−6y⩽6.
Vẽ các đường thẳng \({d_1}:x - 2y = 0,{d_2}:5x - y = - 4\), \({d_3}:x + 2y = 5\).
-Ta thấy điểm \(M(1;1)\) thỏa mãn miền nghiệm của hệ bất phương trình vì khi thay \(x = 1,y = 1\) vào hệ, ta có: (đúng)
Gạch bỏ các phần không thuộc miền nghiệm của mỗi bất phương trình (nửa mặt phẳng có bờ là các đường \({d_1},{d_2},{d_3}\) và không chứa điểm \(M\) ). Khi đó, miền nghiệm của bất phương trình chính là miền của tam giác \(ABC\) (kể cả ba cạnh của nó), trong đó \(A\left( { - \frac{3}{{11}};\frac{{29}}{{11}}} \right),B\left( {\frac{5}{2};\frac{5}{4}} \right),C\left( { - \frac{8}{9}; - \frac{4}{9}} \right)\).
- −x−y<4−x+2y>−2x+y<8x⩾−6y⩽6
Vẽ các đường thẳng \({d_1}: - x - y = 4,{d_2}: - x + 2y = - 2,{d_3}:x + y = 8,{d_4}:x = - 6,{d_5}:y = 6\)
-Ta có điểm \(O(0;0)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình vì khi thay \(x = 0,y = 0\) vào hệ, ta được: (đúng)
Gạch bỏ các phần không thuộc miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ (nửa mặt phẳng có bờ là các đường thẳng \({d_1},{d_2},{d_3},{d_4},{d_5}\) và không chứa điểm \(O\)). Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình chính là miền của ngũ giác \(ABCDE\) (không kể các cạnh \(BC,CD,DE\)) với \[A\left( { - 6;6} \right),{\rm{ }}B\left( { - 6;2} \right),{\rm{ }}C\left( { - 2; - 2} \right),{\rm{ }}D\left( {6;2} \right),{\rm{ }}E\left( {2;6} \right){\rm{ }}.\]
Xét tính, đúng sai của các mệnh đề sau:
a) Điểm \(M(1;2)\) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 3y - 6 > 0}\\{2x + y + 4 > 0}\end{array}} \right.\);
b) Điểm \(M(1;2)\) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 3y - 6 < 0}\\{2x + y - 4 < 0}\end{array}} \right.\).
c) Điểm \((0;0)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}x + y - 2 \le 0\\2x - 3y + 2 > 0\end{array}\end{array}?} \right.\)
d) Điểm \((1;1)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}x + y - 2 \le 0\\2x - 3y + 2 > 0\end{array}\end{array}?} \right.\)
a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
a) Thay \(x = 1,y = 2\) vào hệ bất phương trình, ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + 3.2 - 6 > 0}\\{2.1 + 2 + 4 > 0}\end{array}} \right.\) (đúng), suy ra điểm \(M(1;2)\) thuộc miền nghiệm của hệ đã cho.
b) Thay \(x = 1,y = 2\) vào hệ bất phương trình, ta được : \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{1 + 3.2 - 6 < 0}\\{2.1 + 2 - 4 < 0}\end{array}} \right.\) (sai), suy ra điểm \(M(1;2)\) không thuộc miền nghiệm của hệ đã cho.
c) Thay \(x = 0,y = 0\) vào hệ bất phương trình, ta được: (đúng), do đó cặp số \((0;0)\) là một nghiệm của hệ đã cho.
d) Thay \(x = 1,y = 1\) vào hệ bất phương trình, ta được: (đúng), do đó cặp số \((1;1)\) là một nghiệm của hệ đã cho.
Một gia đình cần ít nhất \(900\;g\) chất protein và \(400\;g\) chất lipit trong thức ăn mỗi ngày. Biết rằng thịt bò chứa \(80\% \) protein và \(20\% \) lipit. Thịt lợn chứa \(60\% \) protein và \(40\% \) lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất là \(1600\;g\) thịt bò, \(1100\;g\) thịt lợn, giá tiền \(1\;kg\) thịt bò là 45000 đồng, \(1\;kg\) thịt lợn là 35000 đồng. Giả sử gia đình mua \(x\) kg thịt bò và \(y\) kg thịt lợn. Khi đó:
a) 0⩽x⩽1,60⩽y⩽1,14x+3y⩾4,5x+2y⩾2 là hệ bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán
b) Miền nghiệm của hệ trên là miền của tam giác
c) Gọi \(T\) (nghìn đồng) là số tiền phải trả cho \(x\) (kilogam) thịt bò và \(y\) (kilogam) thịt lợn. Khi đó, chi phí để mua \(x(\;kg)\) thịt bò và \(y(\;kg)\) thịt lợn là: \(T = 35x + 45y\) (nghìn đồng).
d) Gia đình đó mua \(0,6\;kg\) thịt bò và \(0,7\;kg\) thịt lợn thì chi phí là ít nhất.
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
a) Giả sử gia đình đó mua \(x(\;kg)\) thịt bò và \(y(\;kg)\) thịt lợn.
Điều kiện: \(0 \le x \le 1,6;0 \le y \le 1,1\).
Khi đó lượng protein có được là \(80\% x + 60\% y\) và lượng lipit có được là \(20\% x + 40\% y\).
Vì gia đình đó cần ít nhất \(0,9\;kg\) protein và \(0,4\;kg\) lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là: \(80\% x + 60\% y \ge 0,9{\rm{ ;}}\,\,20\% x + 40\% y \ge 0,4.{\rm{ }}\)
Ta có hệ bất phương trình: 0⩽x⩽1,60⩽y⩽1,14x+3y⩾4,5x+2y⩾2.
b) Miền nghiệm của hệ trên là miền của tứ giác lồi \(ABCD\) (kể cả biên) được mô tả ở hình bên.
c) Chi phí để mua \(x(\;kg)\) thịt bò và \(y(\;kg)\) thịt lợn là: \(T = 45x + 35y\) (nghìn đồng).
d) Ta đã biết \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh tứ giác \(ABCD\) trong đó \(A(0,3;1,1),B(1,6;1,1),C(1,6;0,2),D(0,6;0,7)\).
Xét \(A(0,3;1,1)\), ta có \(T = 45.0,3 + 35.1,1 = 52\); xét \(B(1,6;1,1)\), ta có \(T = 45.1,6 + 35.1,1 = 110,5\); xét \(C(1,6;0,2)\), ta có \(T = 45.1,6 + 35.0,2 = 79\); xét \(D(0,6;0,7)\), ta có \(T = 45.0,6 + 35.0,7 = 51,5\).
So sánh các giá trị trên, ta thấy được \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 51,5 (nghìn đồng), khi đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0,6}\\{y = 0,7}\end{array}} \right.\) (tức là gia đình đó mua \(0,6\;kg\) thịt bò và \(0,7\;kg\) thịt lợn thì chi phí là ít nhất).
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6
Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để \(m \le - x + y\) với mọi cặp số \((x;y)\) thoả mãn hệ bất phương trình sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{r}}\begin{array}{l} - 2x + y \le 2\\ - x + 2y \le 4\\x + y \le 5\\y \ge 0\end{array}\end{array}} \right.\)
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(ABCD\) với \(A( - 1;0),B(5;0),C(2;3)\), \(D(0;2)(\)Hinh). Ta có: \(x - y + m \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - x + y\).
Đặt \(F = - x + y\). Tính giá trị của \(F = - x + y\) tại các cặp số \((x;y)\) là toạ độ của các đỉnh tứ giác \(ABCD\) rồi so sánh bằng \( - 5\) tại \(x = 5,y = 0\).
Để \(m \le - x + y\) với mọi \(x,y\) thoả mãn hệ bất phương trình đã cho thì \(m \le {\mathop{\rm Min}\nolimits} F\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình đó hay \(m \le - 5\).
Cho hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}x + y \ge 5\\x - 2y \le 2\\{\rm{ }}y \le 3.\end{array}\end{array}} \right.\left( {II} \right)\). Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để bất phương trình \(2x - 5y + m \ge 0\) nghiệm đúng với mọi cặp số \((x;y)\) thoả mãn hệ bất phương trình (II).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình (II) là miền tam giác \(ABC\) với \(A(4;1)\), \(B(8;3),C(2;3)\) (Hình).
Ta có: \(2x - 5y + m \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - 2x + 5y\).
Đặt \(F = - 2x + 5y\). Tính giá trị của \(F = - 2x + 5y\) tại các cặp số \((x;y)\) là toạ độ của các đỉnh tam giác \(ABC\) rồi so sánh các giá trị đó, ta được \(F\) đạt giá trị lớn nhất bằng 11 tại \(x = 2,y = 3\).
Để bất phương trình \(2x - 5y + m \ge 0\) nghiệm đúng với mọi \(x,y\) thoả mãn hệ bất phương trình đã cho thì \(m \ge {\mathop{\rm Max}\nolimits} F\) trên miền nghiệm của hệ bất phương trình đó hay \(m \ge 11\).
Trong một cuộc thi pha chế đồ uống gồm hai loại là \(A\) và \(B\), mỗi đội chơi được sử dụng tối đa \(24\;g\) hương liệu, 9 cốc nước lọc và \(210\;g\) đường. Để pha chế 1 cốc đồ uống loại \(A\) cần 1 cốc nước lọc, \(30\;g\) đường và \(1\;g\) hương liệu. Để pha chế 1 cốc đồ uống loại \(B\) cần 1 cốc nước lọc, \(10\;g\) đường và \(4\;g\) hương liệu. Mỗi cốc đồ uống loại \(A\) nhận được 6 điểm thương, mỗi cốc đồ uống loại \(B\) nhận được 8 điểm thưởng. Để đạt được số điểm thưởng cao nhất, đội chơi cần pha chế bao nhiêu cốc đồ uống mỗi loại?
Gọi \(x,y\) lần lượt là số cốc đồ uống loại \(A\), loại \(B\) mà đội chơi cần pha chế với \(x \ge 0,y \ge 0\).
Số cốc nước cần dùng là: \(x + y\) (cốc).
Lượng đường cần dùng là: \(30x + 10y(\;g)\).
Lượng hương liệu cần dùng là: \(x + 4y(\;g)\).
Theo giả thiết, ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 9\\30x + 10y \le 210\\x + 4y \le 24\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}x \ge 0\\y \ge 0\\x + y \le 9\\3x + y \le 21\\x + 4y \le 24\end{array}\end{array}} \right.} \right.\left( {III} \right)\)
Số điểm thường nhận được là: \(F = 6x + 8y\).
Ta tìm giá trị lớn nhất trên miền nghiệm của hệ bất phương trình (III).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình (III) là miền ngũ giác \(OABCD\) với \(O\left( {0;0} \right),\,A\left( {7;0} \right),\,B\left( {6;3} \right),\,C\left( {4;5} \right),\,D\left( {0;6} \right)\)(hình).
Tính giá trị của \(F = 6x + 8y\) tại các cặp số \(\left( {x;y} \right)\) là tọa độ của các đỉnh ngũ giác \(OABCD\) rồi so sánh các giá trị đó, ta được \(F\) đạt giá trị lớn nhất bằng \(64\) tại \(x = 4;y = 5\).
Vậy để đạt được số điểm thưởng cao nhất, đội chơi cần pha chế 4 cốc đồ uống loại \(A\), 5 cốc đồ uống loại \(B\).
Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi ki-lô-gam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi ki-lô-gam thịt lợn (heo) chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất là \(1,6\;kg\) thịt bò và \(1,1\;kg\) thịt lợn; giá \(1\;kg\) thịt bò là 200000 đồng, \(1\;kg\) thịt lợn là 160000 đồng. Hỏi gia đình đó cần mua bao nhiêu ki-lô-gam thịt mỗi loại để đảm bảo cung cấp đủ lượng protein, lipit cho gia đình và có chi phí là ít nhất?
Gọi \(x,y\) lần lượt là số ki-lô-gam thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó mua trong một ngày với \(0 \le x \le 1,6,0 \le y \le 1,1\).
Số đơn vị protein gia đình có là: \(800x + 600y\).
Số đơn vị lipit gia đình có là: \(200x + 400y\). Theo bài ra, ta có:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}0 \le x \le 1,6\\0 \le y \le 1,1\\800x + 600y \ge 900\\200x + 400y \ge 400\end{array}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}0 \le x \le 1,6\\0 \le y \le 1,1\\8x + 6y \ge 9\\x + 2y \ge 2\end{array}\end{array}} \right.} \right.\left( {IV} \right)\)
Số tiền gia đình đã dùng để mua thịt bò và thịt lợn là:
\[T = 200000{\rm{ }}x + 160000{\rm{ }}y\](đồng).
Bài toán đưa về tìm \(x,y\) là nghiệm của hệ bất phương trình (IV) để \(T = 200000x + 160000y\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Trước hết, ta biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (IV).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình (IV) là miền tứ giác \(ABCD\) với \(A(0,3;1,1),B(0,6;0,7),C(1,6;0,2)\), \(D(1,6;1,1)\)(hình)
Tính giá trị của \(T\) tại các cặp số \((x;y)\) là tọa độ của các đỉnh tứ giác \(ABCD\) rồi so sánh các giá trị đó, ta được \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 232000 đồng tại \(x = 0,6;y = 0,7\)
Vậy để đảm bảo cung cấp đủ lượng protein, lipit cho gia đình và có chi phí là ít nhất thì gia đình đó cần mua thêm \(0,6kg\) thịt bò và \(0,7kg\)thịt lợn
Nhân dịp tết Trung thu, xí nghiệp sản xuất bánh muốn sản xuất hai loại bánh: bánh nướng và bánh dẻo. Để sản xuất hai loại bánh này, xí nghiệp cần: đường, bột mì, trứng, mứt bí, lạp xưởng,. Xí nghiệp đã nhập về \(600\;kg\) bột mì và \(240\;kg\) đường, các nguyên liệu khác luôn đáp ứng được số lượng mà xí nghiệp cần. Mỗi chiếc bánh nướng cần \(120\;g\) bột mì, \(60\;g\) đường. Mỗi chiếc bánh dẻo cần \(160\;g\) bột mì và \(40\;g\) đường. Theo khảo sát thị trường, lượng bánh dẻo tiêu thụ không vượt quá ba lần lượng bánh nướng và sản phẩm của xí nghiệp sản xuất luôn được tiêu thụ hết. Mỗi chiếc bánh nướng lãi 8000 đồng, mỗi chiếc bánh dẻo lãi 6000 đồng, Hãy lập kế hoạch sản xuất cho xí nghiệp để đáp ứng nhu cầu thị trường; đảm bảo lượng bột mì, đường không vượt quá số lượng mà xí nghiệp đã chuẩn bị và vẫn thu được lợi nhuận cao nhất.
Gọi \(x,y\) (chiếc) là số lượng bánh nướng, bánh dẻo mà xí nghiệp cần sản xuất. Trong đó \(0 < x,0 < y\) với \(x,y \in {\mathbb{N}^*}\).
Khối lượng bột mỳ cần dùng là: \(0,12x + 0,16y(\;kg)\).
Khối lượng đường cần dùng là: \(0,06x + 0,04y(\;kg)\).
Ta có: \(0,12x + 0,16y \le 600\) hay \(3x + 4y \le 15000\);
\(0,06x + 0,04y \le 240\) hay \(3x + 2y \le 12000\).
Số tiền lãi thu được là: \(T = 8x + 6y\) (nghìn đồng). Bài toán đưa về, tìm \(x,y\) là nghiệm của hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y \le 15000\\3x + 2y \le 1200\\y \le 3x\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\left( V \right)\) để \(T = 8x + 6y\) đạt giá trị lớn nhất.
Trước hết, ta biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (V).
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tứ giác \(OABC\) với \(O\left( {0;0} \right),\,A\left( {4000;0} \right),B\left( {3000;1500} \right),\,C\left( {1000;3000} \right)\)
Tính giá trị của \(T\) tại các cặp số \((x;y)\) là toạ độ các đỉnh trên rồi so sánh các giá trị đó, ta được \(T\) đạt giá trị lớn nhất bằng 33000 (nghìn đồng) hay 33 triệu đồng tại \(x = 3000;y = 1500\).
Vậy để đạt được tiền lãi cao nhất, xí nghiệp nên sản xuất 3000 chiếc bánh nướng và \(1.500\) chiếc bánh dẻo.
Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm là sản phẩm loại I và sản phẩm loại II:
- Mỗi kg sản phẩm loại I cần \(2\;kg\) nguyên liệu và 30 giờ, thu lời được 40 nghìn.
- Mỗi kg sản phẩm loại II cần 4 kg nguyên liệu và 15 giờ, thu lời được 30 nghìn. Xưởng có 200 kg nguyên liệu và 1200 giờ làm việc tối đa. Nên sản xuất mỗi loại sản phẩm bao nhiêu đề có mức lời cao nhất?
Gọi \(x,y\) lần lượt là số kg sản phẩm loại I và loại II mà xưởng sản xuất được.
Tổng nguyên liệu được dùng là \(2x + 4y(\;kg)\); tổng thời gian sản xuất là \(30x + \) \(15y\) (giờ); .
Ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}2x + 4y \le 200\\30x + 15y \le 1200\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + 2y \le 100\\2x + y \le 80\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\)
Vẽ trên cùng hệ trục các đường thẳng \({d_1}:x + 2y = 100,\,{d_2}:2x + y = 80,\,{d_3}:y = 0,\,{d_4}:x = 0\)
Ta có điểm \(M\left( {1;1} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình vì khi thay tọa độ điểm này vào hệ: \(\left\{ \begin{array}{l}1 + 2.1 \le 100\\2.1 + 1 \le 80\\1 \ge 0\\1 \ge 0\end{array} \right.\)(đúng)
Gạch bỏ các phần không thuộc miền nghiệm của mỗi bất phương trình trong hệ (nửa mặt phẳng có bờ là các đường thẳng \({d_1},{d_2},{d_3},{d_4}\) và không chứa điểm \(M\) ). Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình chính là miền của tứ giác \(OABC\) (kể cả các cạnh của tứ giác đó) với \(O(0;0),A(0;50),B(20;40),C(40;0)\).
Lãi thu về từ việc sản xuất hai sản phẩm: \(F(x;y) = 40x + 30y\) (nghìn đồng).
Tại \(O(0;0)\), ta có \(F(0;0) = 0\); tại \(A(0;50)\), ta có \(F(0;50) = 1500\); tại \(B(20;40)\), ta có \(F(20;40) = 2000\); tại \(C(40;0)\), ta có \(F(40;0) = 1600\).
Vậy lãi suất cao nhất thu được bằng 2000000 đồng, khi đó \(x = 20,y = 40\) (tức là xưởng cần sản xuất ra 20 sản phẩm loại \(I\) và 40 sản phẩm loại II).
