Đề kiểm tra Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10 (có lời giải) - Đề 2

Chọn A

Biểu diễn miền ngiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2x + y \le  - 2}\\{x - 2y \le 2}\\{x + y \le 5}\\{x \ge 0}\end{array}} \right.\] trên hệ trục tọa độ như dưới đây:

Nhận thấy biết thức \[F = y - x\] chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm \(A,B\) hoặc \(C\).

Chỉ \[C\left( {4;1} \right)\] có tọa độ nguyên nên thỏa mãn.

Vậy \[{\rm{min }}F =  - 3\] khi \[x = 4,y = 1\].

Chọn B

Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:

\(\left( {{d_1}} \right):2x + 3y - 6 = 0\)

\(\left( {{d_2}} \right):x = 0\)

\(\left( {{d_3}} \right):2x - 3y - 1 = 0\)

Ta thấy \(\left( {0\,\,;\,\,0} \right)\) là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc cả ba miền nghiệm của cả ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ (kể cả biên).

Miền nghiệm là hình tam giác \(ABC\) (kể cả biên), với \(A\left( {0\,\,;\,\,2} \right),\)\(B\left( {\frac{7}{4}\,\,;\,\,\frac{5}{6}} \right),\)\(C\left( {0\,\,;\,\, - \frac{1}{3}} \right).\)

Vậy ta có \(a = 2 - 0 = 2,\)\(b = \frac{5}{6} - \frac{7}{4} =  - \frac{{11}}{{12}}.\)

Chọn C

Gọi \(x,\;y\) lần lượt là số lít nước cam và nước táo mà mỗi đội cần pha chế \(\left( {x \ge 0;\,\,y \ge 0} \right)\).

Để pha chế \(x\) lít nước cam cần \(30x\)g đường, \(x\) lít nước và \(x\)g hương liệu.

Để pha chế \(y\) lít nước táo cần \(10y\)g đường, \(y\) lít nước và \(4y\)g hương liệu.

Theo bài ra ta có hệ bất phương trình:

\(\left\{ \begin{array}{l}30x + 10y \le 210\\x + y \le 9\\x + 4y \le 24\\x \ge 0;\;y \ge 0\end{array} \right.\quad \left( * \right)\).

Số điểm đạt được khi pha \(x\) lít nước cam và \(y\) lít nước táo là \(M\left( {x,y} \right) = 60x + 80y\). Bài toán trở thành tìm \(x,\;y\) để \(M\left( {x,\,y} \right)\) đạt giá trị lớn nhất.

Ta biểu diễn miền nghiệm của hệ \(\left( * \right)\) trên mặt phẳng tọa độ như sau:

  Miền nghiệm là ngũ giác \(ABCDE\).

Tọa độ các điểm: \(A\left( {4\,;\,5} \right)\), \(B\left( {6\,;\,3} \right)\), \(C\left( {7\,;\,0} \right)\), \(D\left( {0\,;\,0} \right)\), \(E\left( {0\,;\,6} \right)\).

\(M\left( {x,\,y} \right)\) sẽ đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại các đỉnh của miền nghiệm nên thay tọa độ các điểm vào biểu thức \(M\left( {x,\,y} \right)\) ta được:

\(M\left( {4\,;\,5} \right) = 640\); \(M\left( {6\,;\,3} \right) = 600\), \(M\left( {7\,;\,0} \right) = 420\), \(M\left( {0\,;\,0} \right) = 0\), \(M\left( {0\,;\,6} \right) = 480\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(M\left( {x\,;\,y} \right)\) bằng \(640\) khi \(x = 4;\;y = 5\) \( \Rightarrow a = 4;\;b = 5 \Rightarrow a - b =  - 1\).

a) Thay (3;-1) vào hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 5y < 5}\\{ - 3x - y \le - 7}\end{array}} \right.\) ta được:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 + 5( - 1) < 5}\\{ - 3.3 - ( - 1) \le - 7}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2 < 5}\\{ - 8 \le - 7}\end{array}} \right.} \right.\) (đúng). Vậy (3;-1) là một nghiệm của hệ bất phương trình.

b) Thay ( \(3; - 1)\) vào hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 5}\\{y < 4}\\{x + y \le 10}\end{array}} \right.\) ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 > 5}\\{ - 1 < 4}\\{3 - 1 \le 10}\end{array}} \right.\) (vô lí). Vậy \((3; - 1)\) không là một nghiệm của hệ bất phương trình.

 c) Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - x + 5y > 1}\\{3x + y > 5}\end{array}} \right.\) là miền không bị gạch ở hình sau (không kể bờ \(\left. {{d_1},{d_2}} \right)\) :

d) Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y > 3}\\{ - x + 3y \le 5}\\{3x - y \ge 7}\end{array}} \right.\) là miền không bị gạch ở hình sau (không kể bờ \({d_1}\)):

a) Miền nghiệm của hệ (I) là miền tứ giác \(ABCD\) với \(A(3;0),B(5;1),C(1;5),D(1;3)\) (Hình).

b) \((3;2)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình

c) Tính giá trị của \(F = 3x - y\) tại các cặp số \((x;y)\) là toạ độ của các đỉnh tứ giác \(ABCD\) rồi so sánh các giá trị đó, ta được \(F\) đạt giá trị lớn nhất bằng 14 tại \(x = 5,y = 1\)

d) \(F\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( - 2\) tại \(x = 1,y = 5\).

a) Gọi \(x,y\) (đơn vị: triệu đồng) tiền bác Minh đầu tư vào kho Ta có hệ bất phương trình:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y \le 240}\\{y \ge 40}\\{x \ge 3y}\end{array}} \right.\)

b) Miền nghiệm của hệ trên là miền tam giác \(ABC\) với \(A(180;60),B(120;40)\), \(C(200;40)\) ở Hình.

c) Điểm \(C(200;40)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình tiền bác Minh đầu tư vào kho

d) Điểm \(A(180;60)\) là điểm có tung độ lớn nhất thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình tiền bác Minh đầu tư vào kho

a) Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,y\) để biểu diễn lượng protein cần thiết trong một ngày cho một người đàn ông là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}26x + 22y \ge 56\\26x + 22y \le 91\\x \le y\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array}\end{array}} \right.\)

b) Miền nghiệm của hệ trên là miền tứ giác \(ABCD\) với \(A\left( {\frac{7}{6};\frac{7}{6}} \right),B\left( {\frac{{91}}{{48}};\frac{{91}}{{48}}} \right)\), \(C\left( {0;\frac{{91}}{{22}}} \right),D\left( {0;\frac{{28}}{{11}}} \right)\) ở Hình

c) Một nghiệm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) của hệ bất phương trình với \({x_0},{y_0}\) là \(\left( {{x_0};{y_0}} \right) = (1;2)\).

d) Điểm \(B\left( {\frac{{91}}{{48}};\frac{{91}}{{48}}} \right)\) là điểm có hoành độ lớn nhất

Gọi \(x,y\) lần lượt là số ha trồng dứa và củ đậu. Điều kiện: . Tổng diện tích trồng là \(x + y\) (ha); tổng số công cần thiết là \(20x + 30y\) (công). Số tiền thu được là \(T(x,y) = 3x + 4y\)

Ta có hệ bất phương trình

Miền nghiệm của hệ \((*)\) là miền tứ giác \(OABC\) (kề cả biên) với \(O(0;0)A(0;6),B(6;2),C(0;8)\)

Khi đó \(T(x,y)\) đạt cực đại tại một trong các đỉnh của tứ giác \(OABC\).

Ta có: \(T(0,0) = 0;T(0;6) = 24;T(6;2) = 26;T(8;0) = 24\).

Vậy giá trị lớn nhất của \(T(x,y)\) bằng 26 (triệu đồng), khi đó \(x = 6,y = 2\) (tức là hộ nông dân cần trồng \(6ha\) dứa và \(2ha\) củ đậu để có thể thu lại số tiền nhiều nhất).

Gọi \(x\) là số đơn vị sản phẩm loại I, \(y\) là số đơn vị sản phẩm loại II sản xuất ra. Như vậy tiền lãi có được là \(F\left( {x;y} \right) = 3x + 5y\) (nghìn đồng).

Theo giả thiết, số máy cần dùng nhóm X: \(2x + 2y\) (máy); số máy cần dùng ở nhóm Y là \(0x + 2y\) (máy); số máy cần dùng ở nhóm \(Z\) là \(2x + 4y\) (máy).

Ta có hệ bất phương trình .

Miền nghiệm của hệ \((*)\) được biểu diễn là miền của ngũ giác \(OABCD\) với \(O(0;0),A(0;2),B(2;2),C(4;1),D(5;0)\).

Xét \(O(0;0)\), ta có \(F(0;0) = 3.0 + 5.0 = 0\);

Xét \(A(0;2)\), ta có \(F(0;2) = 3.0 + 5.2 = 10\);

Xét \(B(2;2)\), ta có \(F(2;2) = 3.2 + 5.2 = 16\);

Xét \(C(4;1)\), ta có \(F(4;1) = 3.4 + 5.1 = 17\);

Xét \(D(5;0)\), ta có \(F(5;0) = 3.5 + 5.0 = 15\).

Từ các kết quả trên, ta thấy khoản lãi lớn nhất \((F(x;y)\) lớn nhất) bằng 17 (ngàn đồng), khi đó người ta cần làm ra 4 sản phẩm loại I và 1 sản phẩm loại II (tức là \(x = 4,y = 1\) ).

\(\{ M(x;y)\} \) thoả mãn (I) là miền bên trong đa giác \(OABCD\)

Tìm toạ độ \(A,B,C,D\) bằng phương pháp đồ thị hay phương trình hoành độ giao điểm.

Thay toạ độ \(O,A,B,C,D\) vào \(f(x;y) = x + 2y\) ta có

\( \Rightarrow \max (f(x;y)) = 10\)

Gọi \(x\) là số hecta (ha) đất trồng ngô và y là số hecta đất trồng đậu xanh.

Ta có các điều kiện ràng buộc đối với \(x,y\) như sau: Hiển nhiên \(x \ge 0,y \ge 0\).

- Diện tích canh tác không vượt quá 8 ha nên \(x + y \le 8\).

- Số ngày công sử dụng không vượt quá 180 nên \(20x + 30y \le 180\).

Từ đó, ta có hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 8\\20x + 30y \le 180\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\)

Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình này trên hệ trục toạ độ Oxy, ta được miền tứ giác \(OABC\) (Hình). Toạ độ các đỉnh của tứ giác đó là: \(O(0;0);A(0;6);B(6;2);C(8;0)\)

Gọi F là số tiền (đơn vị: triệu đồng) bác Năm thu được, ta có: \(F = 40x + 50y\).

Ta phải tìm \(x,y\) thoả mãn hệ bất phương trình sao cho \(F\) đạt giá trị lớn nhất, nghĩa là tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(F = 40x + 50y\) trên miền tứ giác \(OABC\).

Tính các giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của đa giác, ta có:

Tại \(O(0;0):F = 40.0 + 50.0 = 0;\quad \) Tại \(A(0;6):F = 40.0 + 50.6 = 300\);

Tại \(B(6;2):F = 40.6 + 50.2 = 340\); \(\quad \) Tại \(C(8;0):F = 40.8 + 50.0 = 320\).

\(F\) đạt giá trị lớn nhất bằng 340 tại \(B(6;2)\).

Vậy để thu được nhiều tiền nhất, bác Năm cần trồng 6 ha ngô và 2 ha đậu xanh.

Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác \(ABOC\) với \(A( - 6; - 2),B( - 2;2)\) và \(C(0; - 2)\)

Miền nghiệm của hệ là miền tam giác \(ABC\) với \(A( - 5; - 1),B( - 1; - 2)\) và \(C(5;4)\). Lập bảng:

Vậy \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( - 17\) khi \(x =  - 5\) và \(y =  - 1\).

Do đó \({x_0} =  - 5\) và \({y_0} =  - 1 \Rightarrow x_0^2 + y_0^2 = 26\).