Đề kiểm tra Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10 (có lời giải) - Đề 2
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y > 0}\\{x - 3y + 3 < 0}\\{x + y - 5 > 0}\end{array}} \right.\] là phần mặt phẳng chứa điểm
\[\left( {5;3} \right)\].
\[\left( {0;0} \right)\].
\[\left( {1; - 1} \right)\].
\[\left( { - 2;2} \right)\].
Chọn A
Nhận xét: chỉ có điểm \[\left( {5;3} \right)\] thỏa mãn hệ.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y \ge 9\\x \ge y - 3\\2y \ge 8 - x\\y \le 6\end{array} \right.\) là phần mặt phẳng chứa điểm
\[\left( {0;0} \right)\].
\[\left( {1;2} \right)\].
\[\left( {2;1} \right)\].
\[\left( {8;4} \right)\].
Chọn D
Nhận xét: chỉ có cặp số \[\left( {8;4} \right)\] thỏa bất phương trình \(3x + y \ge 9\).
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\2x + 5y < 0\end{array} \right.\) có tập nghiệm là \(S\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
\(\left( {1;1} \right) \in S\).
\(\left( { - 1; - 1} \right) \in S\).
\(\left( {1; - \frac{1}{2}} \right) \in S\).
\(\left( { - \frac{1}{2};\frac{2}{5}} \right) \in S\).
Chọn C
Thế đáp án, chỉ có \(x = 1;y = - \frac{1}{2}\) thỏa mãn hệ bất phương trình \( \Rightarrow \) chọn C
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y \ge 6\\x \ge y - 3\\2y \ge 8 - x\\y \le 4\end{array} \right.\) là phần mặt phẳng chứa điểm:
\(\left( {2;\,1} \right)\).
\(\left( {6;\,4} \right)\).
\(\left( {0;\,0} \right)\).
\(\left( {1;\,2} \right)\).
Chọn A
Nhận xét: Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền mặt phẳng chứa tất cả các điểm có toạ độ thoả mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.
Thế \(x = 6;\,y = 4\) vào từng bất phương trình trong hệ, ta lần lượt có các mệnh đề đúng: \(22 \ge 6;\,\,6 \ge 1;\,\,8 \ge 2;\,\,4 \le 4\). Vậy ta chọn đáp án \({\rm{B}}\).
Đáp án A có toạ độ không thoả bất phương trình thứ 3.
Đáp án C, D có toạ độ không thoả bất phương trình thứ 1 và 3.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x - 2y < 0\\x + 3y > - 2\\y - x < 3\end{array} \right.\] chứa điểm nào sau đây?
\(A\left( {1\,\,;\,\,0} \right)\).
\(B\left( { - 2\,\,;\,\,3} \right)\).
\(C\left( {0\,\,;\,\, - 1} \right)\).
\(D\left( { - 1\,\,;\,\,0} \right).\)
Chọn D
Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:
\(\left( {{d_1}} \right):x - 2y = 0\)
\(\left( {{d_2}} \right):x + 3y = - 2\)
\(\left( {{d_3}} \right):y - x = 3\)
Ta thấy \(\left( {0\,\,;\,\,1} \right)\) là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm \(\left( {0\,\,;\,\,1} \right)\) thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 6 < 0\\x \ge 0\\2x - 3y - 1 \le 0\end{array} \right.\] chứa điểm nào sau đây?
\(A\left( {1\,\,;\,\,2} \right).\)
\(B\left( {0\,\,;\,\,2} \right)\).
\(C\left( { - 1\,\,;\,\,3} \right)\).
\(D\left( {0\,\,;\,\, - \frac{1}{3}} \right).\)
Chọn D
Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:
\(\left( {{d_1}} \right):2x + 3y - 6 = 0\)
\(\left( {{d_2}} \right):x = 0\)
\(\left( {{d_3}} \right):2x - 3y - 1 = 0\)
Ta thấy \(\left( {1\,\,;\,\,1} \right)\) là nghiệm của các ba bất phương trình. Điều này có nghĩa là điểm \(\left( {1\,\,;\,\,1} \right)\) thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \le 0\\ - 3x + 5 \le 0\end{array} \right.\] chứa điểm nào sau đây?
Không có.
\(B\left( {\frac{5}{3}\,\,;\,\,2} \right).\)
\(C\left( { - 3\,\,;\,\,1} \right).\)
\(D\left( {\frac{1}{2}\,\,;\,\,10} \right)\)
Chọn A
Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:
\(\left( {{d_1}} \right):2x - 1 = 0\)
\(\left( {{d_2}} \right): - 3x + 5 = 0\)
Ta thấy \(\left( {1\,\,;\,\,0} \right)\) là không nghiệm của cả hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm \(\left( {1\,\,;\,\,0} \right)\) không thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Vậy không có điểm nằm trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn hệ bất phương trình.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}3 - y < 0\\2x - 3y + 1 > 0\end{array} \right.\] chứa điểm nào sau đây?
\(A\left( {3\,\,;\,\,4} \right)\).
\(B\left( {4\,\,;\,\,3} \right)\).
\(C\left( {7\,\,;\,\,4} \right)\).
\(D\left( {4\,\,;\,\,4} \right).\)
Chọn C
![Miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}3 - y < 0\\2x - 3y + 1 > 0\end{array} \right.\] chứa điểm nào sau đây? (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/19-1760026050.png)
Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:
\(\left( {{d_1}} \right):3 - y = 0\)
\(\left( {{d_2}} \right):2x - 3y + 1 = 0\)
Ta thấy \(\left( {6\,\,;\,\,4} \right)\) là nghiệm của hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm \(\left( {6\,\,;\,\,4} \right)\) thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.
Giá trị nhỏ nhất của biết thức \[F\left( {x;y} \right) = x - 2y\] với điều kiện \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le y \le 5}\\{x \ge 0}\\{x + y - 2 \ge 0}\\{x - y - 2 \le 0}\end{array}} \right.\] là
\[ - 10\].
\[12\].
\[ - 8\].
\[ - 6\].
Chọn A
Biểu diễn miền ngiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le y \le 5}\\{x \ge 0}\\{x + y - 2 \ge 0}\\{x - y - 2 \le 0}\end{array}} \right.\] trên hệ trục tọa độ như dưới đây:.
![Biểu diễn miền ngiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le y \le 5}\\{x \ge 0}\\{x + y - 2 \ge 0}\\{x - y - 2 \le 0}\end{array}} \right.\] trên hệ trục tọa độ như dưới đây:. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/20-1760026107.png)
Nhận thấy biết thức \[F = y - x\] chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm \(A,B,C\) hoặc \(D\).
Ta có: \(F\left( A \right) = 7 - 2 \times 5 = - 3;\,F\left( B \right) = - 2 \times 5 = - 10\).
\(F\left( C \right) = - 2 \times 2 = - 4,F\left( D \right) = 2 - 2 \times 0 = 2\).
Vậy \[{\rm{min }}F = - 10\] khi \[x = 0,y = 5\].
Biểu thức F=y–x đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2x + y \le - 2}\\{x - 2y \le 2}\\{x + y \le 5}\\{x \ge 0}\end{array}} \right.\]tại điểm \[S\left( {x;y} \right)\] có toạ độ là
\[\left( {4;1} \right)\].
\[\left( {3;1} \right)\].
\[\left( {2;1} \right)\].
\[\left( {1;1} \right)\].
Chọn A
Biểu diễn miền ngiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2x + y \le - 2}\\{x - 2y \le 2}\\{x + y \le 5}\\{x \ge 0}\end{array}} \right.\] trên hệ trục tọa độ như dưới đây:
![Chọn A Biểu diễn miền ngiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2x + y \le - 2}\\{x - 2y \le 2}\\{x + y \le 5}\\{x \ge 0}\end{array}} \right.\] trên hệ trục tọa độ như dưới đây: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/21-1760026156.png)
Nhận thấy biết thức \[F = y - x\] chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm \(A,B\) hoặc \(C\).
Chỉ \[C\left( {4;1} \right)\] có tọa độ nguyên nên thỏa mãn.
Vậy \[{\rm{min }}F = - 3\] khi \[x = 4,y = 1\].
Biểu thức \(L = y - x\), với \(x\) và \(y\) thõa mãn hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 6 \le 0\\x \ge 0\\2x - 3y - 1 \le 0\end{array} \right.\], đạt giá trị lớn nhất là \(a\) và đạt giá trị nhỏ nhất là \(b\). Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
\(a = \frac{{25}}{8}\)và \(b = - 2\).
\(a = 2\)và \(b = - \frac{{11}}{{12}}\).
\(a = 3\)và \(b = 0\).
\(a = 3\) và \(b = \frac{{ - 9}}{8}\).
Chọn B
Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:
\(\left( {{d_1}} \right):2x + 3y - 6 = 0\)
\(\left( {{d_2}} \right):x = 0\)
\(\left( {{d_3}} \right):2x - 3y - 1 = 0\)
Ta thấy \(\left( {0\,\,;\,\,0} \right)\) là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc cả ba miền nghiệm của cả ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ (kể cả biên).
Miền nghiệm là hình tam giác \(ABC\) (kể cả biên), với \(A\left( {0\,\,;\,\,2} \right),\)\(B\left( {\frac{7}{4}\,\,;\,\,\frac{5}{6}} \right),\)\(C\left( {0\,\,;\,\, - \frac{1}{3}} \right).\)
Vậy ta có \(a = 2 - 0 = 2,\)\(b = \frac{5}{6} - \frac{7}{4} = - \frac{{11}}{{12}}.\)
Trong một cuộc thi pha chế, hai đội A, B được sử dụng tối đa \(24g\) hương liệu, \(9\) lít nước và \(210\)g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế \(1\) lít nước cam cần \(30\)g đường, \(1\) lít nước và \(1\)g hương liệu; pha chế \(1\) lít nước táo cần \(10\)g đường, \(1\) lít nước và \(4\)g hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được \(60\) điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được \(80\) điểm thưởng. Đội A pha chế được \(a\) lít nước cam và \(b\) lít nước táo và dành được điểm thưởng cao nhất. Hiệu số \(a - b\) là
\(1\).
\(3\).
\( - 1\).
\( - 6\).
Chọn C
Gọi \(x,\;y\) lần lượt là số lít nước cam và nước táo mà mỗi đội cần pha chế \(\left( {x \ge 0;\,\,y \ge 0} \right)\).
Để pha chế \(x\) lít nước cam cần \(30x\)g đường, \(x\) lít nước và \(x\)g hương liệu.
Để pha chế \(y\) lít nước táo cần \(10y\)g đường, \(y\) lít nước và \(4y\)g hương liệu.
Theo bài ra ta có hệ bất phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}30x + 10y \le 210\\x + y \le 9\\x + 4y \le 24\\x \ge 0;\;y \ge 0\end{array} \right.\quad \left( * \right)\).
Số điểm đạt được khi pha \(x\) lít nước cam và \(y\) lít nước táo là \(M\left( {x,y} \right) = 60x + 80y\). Bài toán trở thành tìm \(x,\;y\) để \(M\left( {x,\,y} \right)\) đạt giá trị lớn nhất.
Ta biểu diễn miền nghiệm của hệ \(\left( * \right)\) trên mặt phẳng tọa độ như sau:
Miền nghiệm là ngũ giác \(ABCDE\).
Tọa độ các điểm: \(A\left( {4\,;\,5} \right)\), \(B\left( {6\,;\,3} \right)\), \(C\left( {7\,;\,0} \right)\), \(D\left( {0\,;\,0} \right)\), \(E\left( {0\,;\,6} \right)\).
\(M\left( {x,\,y} \right)\) sẽ đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại các đỉnh của miền nghiệm nên thay tọa độ các điểm vào biểu thức \(M\left( {x,\,y} \right)\) ta được:
\(M\left( {4\,;\,5} \right) = 640\); \(M\left( {6\,;\,3} \right) = 600\), \(M\left( {7\,;\,0} \right) = 420\), \(M\left( {0\,;\,0} \right) = 0\), \(M\left( {0\,;\,6} \right) = 480\).
Vậy giá trị lớn nhất của \(M\left( {x\,;\,y} \right)\) bằng \(640\) khi \(x = 4;\;y = 5\) \( \Rightarrow a = 4;\;b = 5 \Rightarrow a - b = - 1\).
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau?
a) \[\left( {3; - 1} \right)\] là một nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 5y < 5}\\{ - 3x - y \le - 7}\end{array}} \right.\)
b) \((3; - 1)\) không là một nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 5}\\{y < 4}\\{x + y \le 10}\end{array}} \right.\)
c) \((3; - 1)\) không là một nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - x + 5y > 1}\\{3x + y > 5}\end{array}} \right.\)
d) \((0;0)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y > 3}\\{ - x + 3y \le 5}\\{3x - y \ge 7}\end{array}} \right.\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
a) Thay (3;-1) vào hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 5y < 5}\\{ - 3x - y \le - 7}\end{array}} \right.\) ta được:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 + 5( - 1) < 5}\\{ - 3.3 - ( - 1) \le - 7}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2 < 5}\\{ - 8 \le - 7}\end{array}} \right.} \right.\) (đúng). Vậy (3;-1) là một nghiệm của hệ bất phương trình.
b) Thay ( \(3; - 1)\) vào hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 5}\\{y < 4}\\{x + y \le 10}\end{array}} \right.\) ta được: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 > 5}\\{ - 1 < 4}\\{3 - 1 \le 10}\end{array}} \right.\) (vô lí). Vậy \((3; - 1)\) không là một nghiệm của hệ bất phương trình.
c) Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - x + 5y > 1}\\{3x + y > 5}\end{array}} \right.\) là miền không bị gạch ở hình sau (không kể bờ \(\left. {{d_1},{d_2}} \right)\) :
d) Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x + y > 3}\\{ - x + 3y \le 5}\\{3x - y \ge 7}\end{array}} \right.\) là miền không bị gạch ở hình sau (không kể bờ \({d_1}\)):
Cho hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}3x + 2y \ge 9\\x - 2y \le 3\\x + y \le 6\\x\quad \ge 1\end{array}\end{array}} \right.\left( I \right)\). Khi đó:
a) Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền tam giác
b) \((3;2)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình
c) \(x = 1,y = 3\) là nghiệm của hệ bất phương trình (I) sao cho \(F = 3x - y\) đạt giá trị lớn nhất
d) \(x = 1,y = 5\) là nghiệm của hệ bất phương trình (I) sao cho \(F = 3x - y\) đạt giá trị nhỏ nhất
a) Miền nghiệm của hệ (I) là miền tứ giác \(ABCD\) với \(A(3;0),B(5;1),C(1;5),D(1;3)\) (Hình).
b) \((3;2)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình
c) Tính giá trị của \(F = 3x - y\) tại các cặp số \((x;y)\) là toạ độ của các đỉnh tứ giác \(ABCD\) rồi so sánh các giá trị đó, ta được \(F\) đạt giá trị lớn nhất bằng 14 tại \(x = 5,y = 1\)
d) \(F\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( - 2\) tại \(x = 1,y = 5\).
Bác Minh có kế hoạch đầu tư không quá 240 triệu đồng vào hai khoản \(X\) và khoản Y. Để đạt được lợi nhuận thì khoản \(Y\) phải đầu tư ít nhất 40 triệu đồng và số tiền đầu tư cho khoản \(X\) phải ít nhất gấp ba lần số tiền cho khoản \(Y\). Khi đó:
a) Gọi \(x,y\) (đơn vị: triệu đồng) tiền bác Minh đầu tư vào kho ta có hệ bất phương trình:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y \le 240}\\{y \ge 40}\\{x \ge 3y}\end{array}} \right.\)
b) Miền nghiệm của hệ bất phương trình tiền bác Minh đầu tư vào kho là một tứ giác
c) Điểm \(C(200;40)\) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình tiền bác Minh đầu tư vào kho
d) Điểm \(A(180;60)\) là điểm có tung độ lớn nhất thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình tiền bác Minh đầu tư vào kho
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
a) Gọi \(x,y\) (đơn vị: triệu đồng) tiền bác Minh đầu tư vào kho Ta có hệ bất phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y \le 240}\\{y \ge 40}\\{x \ge 3y}\end{array}} \right.\)
b) Miền nghiệm của hệ trên là miền tam giác \(ABC\) với \(A(180;60),B(120;40)\), \(C(200;40)\) ở Hình.
c) Điểm \(C(200;40)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình tiền bác Minh đầu tư vào kho
d) Điểm \(A(180;60)\) là điểm có tung độ lớn nhất thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình tiền bác Minh đầu tư vào kho
Trong 1 lạng thịt bò chứa \(26\;g\) protein, 1 lạng cá chứa \(22\;g\) protein. Trung bình trong một ngày, một người đàn ông cần từ 56 đến \(91\;g\) protein. Theo lời khuyên của bác sĩ, để tốt cho sức khỏe thì không nên ăn thịt nhiều hơn cá. Gọi \(x,y\) lần lượt là số lạng thịt bò, lạng cá mà một người đàn ông ăn trong một ngày. Khi đó:
a) Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,y\) để biểu diễn lượng protein cần thiết trong một ngày cho một người đàn ông là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}26x + 22y \ge 56\\26x + 22y \le 91\\x \le y\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array}\end{array}} \right.\)
b) Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,y\) để biểu diễn lượng protein cần thiết trong một ngày cho một người đàn ông là một ngũ giác
c) \((1;2)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,y\) để biểu diễn lượng protein cần thiết trong một ngày cho một người đàn ông
d) Điểm \(B\left( {\frac{{91}}{{48}};\frac{{91}}{{48}}} \right)\) là điểm có hoành độ bé nhất thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,y\) để biểu diễn lượng protein cần thiết trong một ngày cho một người đàn ông
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
a) Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn \(x,y\) để biểu diễn lượng protein cần thiết trong một ngày cho một người đàn ông là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}\begin{array}{l}26x + 22y \ge 56\\26x + 22y \le 91\\x \le y\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array}\end{array}} \right.\)
b) Miền nghiệm của hệ trên là miền tứ giác \(ABCD\) với \(A\left( {\frac{7}{6};\frac{7}{6}} \right),B\left( {\frac{{91}}{{48}};\frac{{91}}{{48}}} \right)\), \(C\left( {0;\frac{{91}}{{22}}} \right),D\left( {0;\frac{{28}}{{11}}} \right)\) ở Hình
c) Một nghiệm \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) của hệ bất phương trình với \({x_0},{y_0}\) là \(\left( {{x_0};{y_0}} \right) = (1;2)\).
d) Điểm \(B\left( {\frac{{91}}{{48}};\frac{{91}}{{48}}} \right)\) là điểm có hoành độ lớn nhất
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6
Một hộ nông dân định trồng dứa và củ đậu trên diện tích 8 ha. Trên diện tích mỗi ha, nếu trồng dứa thì cần 20 công và thu 3 triệu đồng, nếu trồng củ đậu thì cần 30 công và thu 4 triệu đồng. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên với diện tích là bao nhiêu ha để thu được nhiều tiền nhất, biết rằng tổng số công không quá 180.
Gọi \(x,y\) lần lượt là số ha trồng dứa và củ đậu. Điều kiện: . Tổng diện tích trồng là \(x + y\) (ha); tổng số công cần thiết là \(20x + 30y\) (công). Số tiền thu được là \(T(x,y) = 3x + 4y\)
Ta có hệ bất phương trình
Miền nghiệm của hệ \((*)\) là miền tứ giác \(OABC\) (kề cả biên) với \(O(0;0)A(0;6),B(6;2),C(0;8)\)
Khi đó \(T(x,y)\) đạt cực đại tại một trong các đỉnh của tứ giác \(OABC\).
Ta có: \(T(0,0) = 0;T(0;6) = 24;T(6;2) = 26;T(8;0) = 24\).
Vậy giá trị lớn nhất của \(T(x,y)\) bằng 26 (triệu đồng), khi đó \(x = 6,y = 2\) (tức là hộ nông dân cần trồng \(6ha\) dứa và \(2ha\) củ đậu để có thể thu lại số tiền nhiều nhất).
Có ba nhóm máy \(X,Y,Z\) dùng để sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm mỗi loại lần lượt phải dùng các máy thuộc các nhóm khác nhau. Số máy trong một nhóm và số máy của từng nhóm cần thiết để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được dùng cho trong bảng sau:
Nhóm
| Số máy trong mỗi nhóm | Số máy trong từng nhóm để sản xuất ra một đơn vị | |
Loại I | Loại II | ||
\(X\) | 10 | 2 | 2 |
Y | 4 | 0 | 2 |
\(Z\) | 12 | 2 | 4 |
Một đơn vị sản phẩm loại I lãi 3 nghìn đồng, một đơn vị sản phẩm loại II lãi 5 nghìn đồng. Hãy lập kế hoạch sản xuất đề cho tổng số tiền lãi thu được là cao nhất.
Gọi \(x\) là số đơn vị sản phẩm loại I, \(y\) là số đơn vị sản phẩm loại II sản xuất ra. Như vậy tiền lãi có được là \(F\left( {x;y} \right) = 3x + 5y\) (nghìn đồng).
Theo giả thiết, số máy cần dùng nhóm X: \(2x + 2y\) (máy); số máy cần dùng ở nhóm Y là \(0x + 2y\) (máy); số máy cần dùng ở nhóm \(Z\) là \(2x + 4y\) (máy).
Ta có hệ bất phương trình .
Miền nghiệm của hệ \((*)\) được biểu diễn là miền của ngũ giác \(OABCD\) với \(O(0;0),A(0;2),B(2;2),C(4;1),D(5;0)\).
Xét \(O(0;0)\), ta có \(F(0;0) = 3.0 + 5.0 = 0\);
Xét \(A(0;2)\), ta có \(F(0;2) = 3.0 + 5.2 = 10\);
Xét \(B(2;2)\), ta có \(F(2;2) = 3.2 + 5.2 = 16\);
Xét \(C(4;1)\), ta có \(F(4;1) = 3.4 + 5.1 = 17\);
Xét \(D(5;0)\), ta có \(F(5;0) = 3.5 + 5.0 = 15\).
Từ các kết quả trên, ta thấy khoản lãi lớn nhất \((F(x;y)\) lớn nhất) bằng 17 (ngàn đồng), khi đó người ta cần làm ra 4 sản phẩm loại I và 1 sản phẩm loại II (tức là \(x = 4,y = 1\) ).
Tìm GTLN của \(f\left( {x,y} \right) = x + 2y\) với điều kiện \(\left\{ \begin{array}{l}0 \le y \le 4 & \left( {{d_1}} \right)\\0 \le x & & \left( {{d_2}} \right)\\x - y - 1 \le 0 & \left( {{d_3}} \right)\\x + 2y - 10 \le 0 & \left( {{d_4}} \right)\end{array} \right.\)
\(\{ M(x;y)\} \) thoả mãn (I) là miền bên trong đa giác \(OABCD\)
Tìm toạ độ \(A,B,C,D\) bằng phương pháp đồ thị hay phương trình hoành độ giao điểm.
Thay toạ độ \(O,A,B,C,D\) vào \(f(x;y) = x + 2y\) ta có
| 0 | A | B | C | D |
\(f(x;y)\) | 0 | 1 | 10 | 10 | 8 |
\( \Rightarrow \max (f(x;y)) = 10\)
Bác Năm dự định trồng ngô và đậu xanh trên một mảnh đất có diện tích 8 hecta (ha). Nếu trồng 1 ha ngô thì cần 20 ngày công và thu được 40 triệu đồng. Nếu trồng 1 ha đậu xanh thì cần 30 ngày công và thu được 50 triệu đồng. Bác Năm cần trồng bao nhiêu ha cho mỗi loại cây để thu được nhiều tiền nhất? Biết rằng, bác Năm chỉ có thể sử dụng không quá 180 ngày công cho việc trồng ngô và đậu xanh.
Gọi \(x\) là số hecta (ha) đất trồng ngô và y là số hecta đất trồng đậu xanh.
Ta có các điều kiện ràng buộc đối với \(x,y\) như sau: Hiển nhiên \(x \ge 0,y \ge 0\).
- Diện tích canh tác không vượt quá 8 ha nên \(x + y \le 8\).
- Số ngày công sử dụng không vượt quá 180 nên \(20x + 30y \le 180\).
Từ đó, ta có hệ bất phương trình mô tả các điều kiện ràng buộc: \(\left\{ \begin{array}{l}x + y \le 8\\20x + 30y \le 180\\x \ge 0\\y \ge 0\end{array} \right.\)
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình này trên hệ trục toạ độ Oxy, ta được miền tứ giác \(OABC\) (Hình). Toạ độ các đỉnh của tứ giác đó là: \(O(0;0);A(0;6);B(6;2);C(8;0)\)
Gọi F là số tiền (đơn vị: triệu đồng) bác Năm thu được, ta có: \(F = 40x + 50y\).
Ta phải tìm \(x,y\) thoả mãn hệ bất phương trình sao cho \(F\) đạt giá trị lớn nhất, nghĩa là tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(F = 40x + 50y\) trên miền tứ giác \(OABC\).
Tính các giá trị của biểu thức \(F\) tại các đỉnh của đa giác, ta có:
Tại \(O(0;0):F = 40.0 + 50.0 = 0;\quad \) Tại \(A(0;6):F = 40.0 + 50.6 = 300\);
Tại \(B(6;2):F = 40.6 + 50.2 = 340\); \(\quad \) Tại \(C(8;0):F = 40.8 + 50.0 = 320\).
\(F\) đạt giá trị lớn nhất bằng 340 tại \(B(6;2)\).
Vậy để thu được nhiều tiền nhất, bác Năm cần trồng 6 ha ngô và 2 ha đậu xanh.
Cho hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y + 4 \ge 0}\\{x + y \le 0}\\{x \le 0}\\{y + 2 \ge 0}\end{array}} \right.\). Miền nghiệm của hệ tạo thành là hình gì?
Miền nghiệm của hệ là miền tứ giác \(ABOC\) với \(A( - 6; - 2),B( - 2;2)\) và \(C(0; - 2)\)
Cho biểu thức \(T = 3x - 2y - 4\) với \(x\) và \(y\) thỏa mãn hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y - 1 \le 0}\\{x + 4y + 9 \ge 0}\\{x - 2y + 3 \ge 0}\end{array}} \right.\).
Biết \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất khi \(x = {x_0}\) và \(y = {y_0}\). Tính \(x_0^2 + y_0^2\).
Miền nghiệm của hệ là miền tam giác \(ABC\) với \(A( - 5; - 1),B( - 1; - 2)\) và \(C(5;4)\). Lập bảng:
Đỉnh | \(A( - 5; - 1)\) | \(B( - 1; - 2)\) | \(C(5;4)\) |
\(T\) | \( - 17\) | \( - 3\) | 3 |
Vậy \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \( - 17\) khi \(x = - 5\) và \(y = - 1\).
Do đó \({x_0} = - 5\) và \({y_0} = - 1 \Rightarrow x_0^2 + y_0^2 = 26\).
