Đề kiểm tra Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn lớp 10 (có lời giải) - Đề 3
22 câu hỏi
Phần 1. Câu hỏi trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi, thí sinh chỉ chọn 1 phương án.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y > 0}\\{x - 3y + 3 < 0}\\{x + y - 5 > 0}\end{array}} \right.\] là phần mặt phẳng chứa điểm
\[\left( {5;3} \right)\].
\[\left( {0;0} \right)\].
\[\left( {1; - 1} \right)\].
\[\left( { - 2;2} \right)\].
Chọn A
Nhận xét: chỉ có điểm \[\left( {5;3} \right)\] thỏa mãn hệ.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y \ge 9\\x \ge y - 3\\2y \ge 8 - x\\y \le 6\end{array} \right.\) là phần mặt phẳng chứa điểm
\[\left( {0;0} \right)\].
\[\left( {1;2} \right)\].
\[\left( {2;1} \right)\].
\[\left( {8;4} \right)\].
Chọn D
Nhận xét: chỉ có cặp số \[\left( {8;4} \right)\] thỏa bất phương trình \(3x + y \ge 9\).
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}x + y > 0\\2x + 5y < 0\end{array} \right.\) có tập nghiệm là \(S\). Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
\(\left( {1;1} \right) \in S\).
\(\left( { - 1; - 1} \right) \in S\).
\(\left( {1; - \frac{1}{2}} \right) \in S\).
\(\left( { - \frac{1}{2};\frac{2}{5}} \right) \in S\).
Chọn C
Thế đáp án, chỉ có \(x = 1;y = - \frac{1}{2}\) thỏa mãn hệ bất phương trình \( \Rightarrow \) chọn C
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ \begin{array}{l}3x + y \ge 6\\x \ge y - 3\\2y \ge 8 - x\\y \le 4\end{array} \right.\) là phần mặt phẳng chứa điểm:
\(\left( {2;\,1} \right)\).
\(\left( {6;\,4} \right)\).
\(\left( {0;\,0} \right)\).
\(\left( {1;\,2} \right)\).
Chọn A
Nhận xét: Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền mặt phẳng chứa tất cả các điểm có toạ độ thoả mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.
Thế \(x = 6;\,y = 4\) vào từng bất phương trình trong hệ, ta lần lượt có các mệnh đề đúng: \(22 \ge 6;\,\,6 \ge 1;\,\,8 \ge 2;\,\,4 \le 4\). Vậy ta chọn đáp án \({\rm{B}}\).
Đáp án A có toạ độ không thoả bất phương trình thứ 3.
Đáp án C, D có toạ độ không thoả bất phương trình thứ 1 và 3.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x - 2y < 0\\x + 3y > - 2\\y - x < 3\end{array} \right.\] chứa điểm nào sau đây?
\(A\left( {1\,\,;\,\,0} \right)\).
\(B\left( { - 2\,\,;\,\,3} \right)\).
\(C\left( {0\,\,;\,\, - 1} \right)\).
\(D\left( { - 1\,\,;\,\,0} \right).\)
Chọn D
Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:
\(\left( {{d_1}} \right):x - 2y = 0\)
\(\left( {{d_2}} \right):x + 3y = - 2\)
\(\left( {{d_3}} \right):y - x = 3\)
Ta thấy \(\left( {0\,\,;\,\,1} \right)\) là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm \(\left( {0\,\,;\,\,1} \right)\) thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 6 < 0\\x \ge 0\\2x - 3y - 1 \le 0\end{array} \right.\] chứa điểm nào sau đây?
\(A\left( {1\,\,;\,\,2} \right).\)
\(B\left( {0\,\,;\,\,2} \right)\).
\(C\left( { - 1\,\,;\,\,3} \right)\).
\(D\left( {0\,\,;\,\, - \frac{1}{3}} \right).\)
Chọn D
Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:
\(\left( {{d_1}} \right):2x + 3y - 6 = 0\)
\(\left( {{d_2}} \right):x = 0\)
\(\left( {{d_3}} \right):2x - 3y - 1 = 0\)
Ta thấy \(\left( {1\,\,;\,\,1} \right)\) là nghiệm của các ba bất phương trình. Điều này có nghĩa là điểm \(\left( {1\,\,;\,\,1} \right)\) thuộc cả ba miền nghiệm của ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x - 1 \le 0\\ - 3x + 5 \le 0\end{array} \right.\] chứa điểm nào sau đây?
Không có.
\(B\left( {\frac{5}{3}\,\,;\,\,2} \right).\)
\(C\left( { - 3\,\,;\,\,1} \right).\)
\(D\left( {\frac{1}{2}\,\,;\,\,10} \right)\)
Chọn A
Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:
\(\left( {{d_1}} \right):2x - 1 = 0\)
\(\left( {{d_2}} \right): - 3x + 5 = 0\)
Ta thấy \(\left( {1\,\,;\,\,0} \right)\) là không nghiệm của cả hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm \(\left( {1\,\,;\,\,0} \right)\) không thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Vậy không có điểm nằm trên mặt phẳng tọa độ thỏa mãn hệ bất phương trình.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}3 - y < 0\\2x - 3y + 1 > 0\end{array} \right.\] chứa điểm nào sau đây?
\(A\left( {3\,\,;\,\,4} \right)\).
\(B\left( {4\,\,;\,\,3} \right)\).
\(C\left( {7\,\,;\,\,4} \right)\).
\(D\left( {4\,\,;\,\,4} \right).\)
Chọn C
Trước hết, ta vẽ hai đường thẳng:
\(\left( {{d_1}} \right):3 - y = 0\)
\(\left( {{d_2}} \right):2x - 3y + 1 = 0\)
Ta thấy \(\left( {6\,\,;\,\,4} \right)\) là nghiệm của hai bất phương trình. Điều đó có nghĩa điểm \(\left( {6\,\,;\,\,4} \right)\) thuộc cả hai miền nghiệm của hai bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ.
Giá trị nhỏ nhất của biết thức \[F\left( {x;y} \right) = x - 2y\] với điều kiện \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le y \le 5}\\{x \ge 0}\\{x + y - 2 \ge 0}\\{x - y - 2 \le 0}\end{array}} \right.\] là
\[ - 10\].
\[12\].
\[ - 8\].
\[ - 6\].
Chọn A
Biểu diễn miền ngiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le y \le 5}\\{x \ge 0}\\{x + y - 2 \ge 0}\\{x - y - 2 \le 0}\end{array}} \right.\] trên hệ trục tọa độ như dưới đây:
![Vậy \[{\rm{min }}F = - 10\] khi \[x = 0,y = 5\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/3-1760027874.png)
Nhận thấy biết thức \[F = y - x\] chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm \(A,B,C\) hoặc \(D\).
Ta có: \(F\left( A \right) = 7 - 2 \times 5 = - 3;\,F\left( B \right) = - 2 \times 5 = - 10\).
\(F\left( C \right) = - 2 \times 2 = - 4,F\left( D \right) = 2 - 2 \times 0 = 2\).
Vậy \[{\rm{min }}F = - 10\] khi \[x = 0,y = 5\].
Biểu thức \[F = y--x\] đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2x + y \le - 2}\\{x - 2y \le 2}\\{x + y \le 5}\\{x \ge 0}\end{array}} \right.\]tại điểm \[S\left( {x;y} \right)\] có toạ độ là
\[\left( {4;1} \right)\].
\[\left( {3;1} \right)\].
\[\left( {2;1} \right)\].
\[\left( {1;1} \right)\].
Chọn A
Biểu diễn miền ngiệm của hệ bất phương trình \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2x + y \le - 2}\\{x - 2y \le 2}\\{x + y \le 5}\\{x \ge 0}\end{array}} \right.\] trên hệ trục tọa độ như dưới đây:
![Vậy \[{\rm{min }}F = - 3\] khi \[x = 4,y = 1\]. (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2025/10/4-1760027911.png)
Nhận thấy biết thức \[F = y - x\] chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm \(A,B\) hoặc \(C\).
Chỉ \[C\left( {4;1} \right)\] có tọa độ nguyên nên thỏa mãn.
Vậy \[{\rm{min }}F = - 3\] khi \[x = 4,y = 1\].
Biểu thức \(L = y - x\), với \(x\) và \(y\) thõa mãn hệ bất phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}2x + 3y - 6 \le 0\\x \ge 0\\2x - 3y - 1 \le 0\end{array} \right.\], đạt giá trị lớn nhất là \(a\) và đạt giá trị nhỏ nhất là \(b\). Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
\(a = \frac{{25}}{8}\)và \(b = - 2\).
\(a = 2\)và \(b = - \frac{{11}}{{12}}\).
\(a = 3\)và \(b = 0\).
\(a = 3\) và \(b = \frac{{ - 9}}{8}\).
Chọn B
Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:
\(\left( {{d_1}} \right):2x + 3y - 6 = 0\)
\(\left( {{d_2}} \right):x = 0\)
\(\left( {{d_3}} \right):2x - 3y - 1 = 0\)
Ta thấy \(\left( {0\,\,;\,\,0} \right)\) là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc cả ba miền nghiệm của cả ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ (kể cả biên).
Miền nghiệm là hình tam giác \(ABC\) (kể cả biên), với \(A\left( {0\,\,;\,\,2} \right),\)\(B\left( {\frac{7}{4}\,\,;\,\,\frac{5}{6}} \right),\)\(C\left( {0\,\,;\,\, - \frac{1}{3}} \right).\)
Vậy ta có \(a = 2 - 0 = 2,\)\(b = \frac{5}{6} - \frac{7}{4} = - \frac{{11}}{{12}}.\)
Trong một cuộc thi pha chế, hai đội A, B được sử dụng tối đa \(24g\) hương liệu, \(9\) lít nước và \(210\)g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế \(1\) lít nước cam cần \(30\)g đường, \(1\) lít nước và \(1\)g hương liệu; pha chế \(1\) lít nước táo cần \(10\)g đường, \(1\) lít nước và \(4\)g hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được \(60\) điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được \(80\) điểm thưởng. Đội A pha chế được \(a\) lít nước cam và \(b\) lít nước táo và dành được điểm thưởng cao nhất. Hiệu số \(a - b\) là
\(1\).
\(3\).
\( - 1\).
\( - 6\).
Chọn C
Gọi \(x,\;y\) lần lượt là số lít nước cam và nước táo mà mỗi đội cần pha chế \(\left( {x \ge 0;\,\,y \ge 0} \right)\).
Để pha chế \(x\) lít nước cam cần \(30x\)g đường, \(x\) lít nước và \(x\)g hương liệu.
Để pha chế \(y\) lít nước táo cần \(10y\)g đường, \(y\) lít nước và \(4y\)g hương liệu.
Theo bài ra ta có hệ bất phương trình:
\(\left\{ \begin{array}{l}30x + 10y \le 210\\x + y \le 9\\x + 4y \le 24\\x \ge 0;\;y \ge 0\end{array} \right.\quad \left( * \right)\).
Số điểm đạt được khi pha \(x\) lít nước cam và \(y\) lít nước táo là \(M\left( {x,y} \right) = 60x + 80y\). Bài toán trở thành tìm \(x,\;y\) để \(M\left( {x,\,y} \right)\) đạt giá trị lớn nhất.
Ta biểu diễn miền nghiệm của hệ \(\left( * \right)\) trên mặt phẳng tọa độ như sau:
Miền nghiệm là ngũ giác \(ABCDE\).
Tọa độ các điểm: \(A\left( {4\,;\,5} \right)\), \(B\left( {6\,;\,3} \right)\), \(C\left( {7\,;\,0} \right)\), \(D\left( {0\,;\,0} \right)\), \(E\left( {0\,;\,6} \right)\).
\(M\left( {x,\,y} \right)\) sẽ đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại các đỉnh của miền nghiệm nên thay tọa độ các điểm vào biểu thức \(M\left( {x,\,y} \right)\) ta được:
\(M\left( {4\,;\,5} \right) = 640\); \(M\left( {6\,;\,3} \right) = 600\), \(M\left( {7\,;\,0} \right) = 420\), \(M\left( {0\,;\,0} \right) = 0\), \(M\left( {0\,;\,6} \right) = 480\).
Vậy giá trị lớn nhất của \(M\left( {x\,;\,y} \right)\) bằng \(640\) khi \(x = 4;\;y = 5\) \( \Rightarrow a = 4;\;b = 5 \Rightarrow a - b = - 1\).
Phần 2. Trắc nghiệm lựa chọn đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.
Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau
a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + \sqrt y > 3}\\{{x^2} - y \ge - 2}\end{array}} \right.\)là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 5}\\{y < - 2}\\{x + y \ge 100}\end{array}} \right.\)là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
c) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^5}x - \sqrt {20} y > 7}\\{x + y \le 100}\end{array}} \right.\)là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
d) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + y + z < 10}\\{x + y < 5}\\{2x + 3y \ge 20}\end{array}} \right.\)là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
Các hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x > 5}\\{y < - 2}\\{x + y \ge 100}\end{array}} \right.\) và \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{3^5}x - \sqrt {20} y > 7}\\{x + y \le 100}\end{array}} \right.\).
Cho hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 2y \le 30}\\{y > 5}\\{ - 2x + 6y > 40}\end{array}} \right.\). Khi đó:
a) Hệ trên là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
b) \(( - 2;8)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình trên
c) \((3;1)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình trên
d) \(( - 2; - 1)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình trên
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Sai |
a) Hệ đã cho là một hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
b) Thay \(( - 2;8)\) vào hệ bất phương trình ta được:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2 + 2.8 \le 30}\\{8 > 5}\\{ - 2.( - 2) + 6.8 > 40}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{14 \le 30}\\{8 > 5}\\{52 > 40}\end{array}} \right.} \right.\) (đúng).
Vậy \(( - 2;8)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình đó.
Cho hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 7y > 4}\\{x < 5}\\{ - x - y \ge - 3}\end{array}} \right.\) . Khi đó:
a) \(( - 1; - 1)\) không là một nghiệm của hệ bất phương trình.
b) \(( - 2;5)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình.
c) \((3; - 1)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình.
d) \(( - 1;2)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình.
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
a) Thay \(( - 1; - 1)\) vào hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 7y > 4}\\{x < 5}\\{ - x - y \ge - 3}\end{array}} \right.\) ta được:
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1 + 7( - 1) > 4}\\{ - 1 < 5}\\{ - ( - 1) - ( - 1) \ge - 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 8 > 4}\\{ - 1 < 5{\rm{ (v\^o li')}}{\rm{. }}}\\{2 \ge - 3}\end{array}} \right.} \right.\] Vậy \(( - 1; - 1)\) không là một nghiệm của hệ bất phương trình.
b) Thay \(( - 2;5)\) vào hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x + 7y > 4}\\{x < 5}\\{ - x - y \ge - 3}\end{array}} \right.\) ta được:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 2 + 7.5 > 4}\\{ - 2 < 5}\\{ - ( - 2) - 5 \ge - 3}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{33 > 4}\\{ - 2 < 5}\\{ - 3 \ge - 3}\end{array}} \right.} \right.\) (đúng). Vậy \(( - 2;5)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình.
c) \((3; - 1)\) không là một nghiệm của hệ bất phương trình.
d) \(( - 1;2)\) là một nghiệm của hệ bất phương trình.
Bà Lan được tư vấn bổ sung chế độ ăn kiêng đặc biệt bằng cách sử dụng hai loại thực phẩm khác nhau là \(X\) và \(Y\). Mỗi gói thực phẩm \(X\) chứa 20 đơn vị canxi, 20 đơn vị sắt và 10 đơn vị vitamin \(B\). Mỗi gói thực phẩm \(Y\) chứa 20 đơn vị canxi, 10 đơn vị sắt và 20 đơn vị vitamin \(B\). Yêu cầu hằng ngày tối thiểu trong chế độ ăn uống là 240 đơn vị canxi, 160 đơn vị sắt và 140 đơn vị vitamin \(B\). Mỗi ngày không được dùng quá 12 gói mỗi loại. Khi đó:
a) Hệ bất phương mô tả số gói thực phẩm \(X\) và thực phẩm \(Y\) mà bà Lan cần dùng mỗi ngày trong chế độ ăn kiêng để đáp ứng đủ nhu cầu cần thiết đối với canxi, sắt và vitamin \(B\)là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y \ge 12}\\{2x + y \ge 16}\\{x + 2y \ge 14}\\{0 \le x \le 12}\\{0 \le y \le 12}\end{array}} \right.\)
b) Miền nghiệm của hệ bất phương mô tả số gói thực phẩm \(X\) và thực phẩm \(Y\) mà bà Lan cần dùng mỗi ngày trong chế độ ăn kiêng để đáp ứng đủ nhu cầu cần thiết đối với canxi, sắt và vitamin \(B\)là một ngũ giác
c) Biết 1 gói thực phẩm loại \(X\) giá 20000 đồng, 1 gói thực phẩm loại \(Y\) giá 25000 đồng. Bà Lan cần dùng 10 gói thực phẩm loại \(X\) và 2 gói thực phẩm loại \(Y\) để chi phí mua là ít nhất
d) Điểm \(\left( {10;8} \right)\) không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương mô tả số gói thực phẩm \(X\) và thực phẩm \(Y\) mà bà Lan cần dùng mỗi ngày trong chế độ ăn kiêng để đáp ứng đủ nhu cầu cần thiết đối với canxi, sắt và vitamin \(B\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Sai |
a) Gọi \(x,y\) lần lượt là số gói thực phẩm loại \(X\), loại \(Y\) mà bà Lan cần dùng trong một ngày. Ta có: \(0 \le x \le 12,0 \le y \le 12\).
Số đơn vị canxi được cung cấp là: \(20x + 20y\). Ta có: \(20x + 20y \ge 240\) hay \(x + y \ge 12\).
Số đơn vị sắt được cung cấp là: \(20x + 10y\). Ta có: \(20x + 10y \ge 160\) hay \(2x + y \ge 16\).
Số đơn vị vitamin \(B\) được cung cấp là: \(10x + 20y\). Ta có: \(10x + 20y \ge 140\) hay \(x + 2y \ge 14\).
Ta có hệ bất phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y \ge 12}\\{2x + y \ge 16}\\{x + 2y \ge 14}\\{0 \le x \le 12}\\{0 \le y \le 12}\end{array}} \right.\)
b) Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền ngũ giác \(ABCDE\) với \(A(12;12)\), \(B(2;12),C(4;8),D(10;2),E(12;1)\)
c) Số tiền bà Lan dùng để mua các gói thực phẩm \(X,Y\) trong một ngày là: \(T = 20x + 25y\) (nghìn đồng).
Tính giá trị của \(T\) tại các cặp số \((x;y)\) là toạ độ các đỉnh trên rồi so sánh các giá trị đó, ta được \(T\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng 250 nghìn đồng tại \(x = 10;y = 2\).
Vậy để đáp ứng đủ nhu cầu cần thiết đối với canxi, sắt và vitamin \(B\) nhưng với chi phí thấp nhất thì mỗi ngày bà Lan cần dùng 10 gói thực phẩm loại \(X\) và 2 gói thực phẩm loại \(Y\).
d) Điểm \(\left( {10;8} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương mô tả số gói thực phẩm \(X\) và thực phẩm \(Y\) mà bà Lan cần dùng mỗi ngày trong chế độ ăn kiêng để đáp ứng đủ nhu cầu cần thiết đối với canxi, sắt và vitamin \(B\)
Phần 3. Câu hỏi trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = 3y - 2x\) trên miền xác định bởi hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y \le 6}\\{y - 2x \ge 2}\\{x + y \le 4}\end{array}} \right.\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = 3y - 2x\) trên miền xác định bởi hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y \le 6}\\{x \ge 2}\\{x + y \le 4}\end{array}} \right.\). Vẽ đường thẳng \({d_1}:x - y - 6 = 0\) đi qua hai điểm \((0; - 6)\) và \((6;0)\).
Vẽ đường thẳng \({d_2}:x - 2 = 0\) đi qua hai điểm \((2;0)\) và \((2;2)\).
Vẽ đường thẳng \({d_3}:x + y - 4 = 0\) đi qua hai điểm \((0;4)\) và \((4;0)\).
Xét điểm \(M(3;0)\). Ta thấy tọa độ \(M\) thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.
Do đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y \le 6}\\{x \ge 2}\\{x + y \le 4}\end{array}} \right.\) là miền không bị tô đậm (hình tam giác \(ABC\) bao gồm cả các cạnh \(AB,BC\) và \(AC\) trên hình vẽ).
Tìm tọa độ các điểm \(A,B,C\).
Điểm \(A = {d_2} \cap {d_3}\) nên tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x + y - 4 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 2}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(A(2;2)\).
Điểm \(B = {d_1} \cap {d_3}\) nên tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y - 6 = 0}\\{x + y - 4 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{y = - 1}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(B(5; - 1)\)
Điểm \(C = {d_1} \cap {d_2}\) nên tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x - y - 6 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = - 4}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(C(2; - 4)\).
Ta thấy \(F = 3y - 2x\) đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm \(A,B,C\).
Tại \(A(2;2)\) thì \(F = 2\).
Tại \(B(5; - 1)\) thì \(F = - 13\)
Tại \(C(2; - 4)\) thì \(F = - 16\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = 3y - 2x\) trên miền xác định bởi hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x - y \le 6}\\{x \ge 2}\\{x + y \le 4}\end{array}} \right.\) là -16 khi \(x = 2,y = - 4\).
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(F = x - 3y + 1\) trên miền xác định bởi hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y \le 4}\\{y - x \le 1}\\{x + y \ge 2}\end{array}} \right.\).
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(F = x - 3y + 1\) trên miền xác định bởi hệ
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y \le 4}\\{y - x \le 1}\\{x + y \ge 2}\end{array}} \right.\)
Vẽ đường thẳng \({d_1}:2x - y - 4 = 0\) đi qua hai điểm \((0; - 4)\) và \((2;0)\).
Vẽ đường thẳng \({d_2}: - x + y - 1 = 0\) đi qua hai điểm \((0;1)\) và \(( - 1;0)\).
Vẽ đường thẳng \({d_3}:x + y - 2 = 0\) đi qua hai điểm \((0;2)\) và \((2;0)\).
Xét điểm \(M(2;2)\). Ta thấy tọa độ \(M\) thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.
Do đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y \le 4}\\{y - x \le 1}\\{x + y \ge 2}\end{array}} \right.\) là miền không bị tô đậm (hình tam giác \(ABC\) bao gồm cả các cạnh \(AB,BC\) và \(AC\) trên hình vẽ).
Tìm tọa độ các điểm \(A,B,C\).
Điểm \(A = {d_2} \cap {d_3}\) nên tọa độ điểm \(A\) là
nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - x + y = 1}\\{x + y = 2}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{1}{?}}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.\).
Vậy \(A\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\).
Điểm \(B = {d_1} \cap {d_2}\) nên tọa độ điềm \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y - 4 = 0}\\{ - x + y - 1 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 5}\\{y = 6}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(B(5;6)\).
Điểm \(C = {d_1} \cap {d_3}\) nên tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y - 4 = 0}\\{x + y - 2 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 0}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(C(2;0)\).
Ta thấy \(F = x - 3y + 1\) đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm \(A,B,C\).
Tại \(A\left( {\frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\) thì \(F = - 3\).
Tại \(B(5;6)\) thì \(F = - 12\)
Tại \(C(2;0)\) thì \(F = 3\)
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(F = x - 3y + 1\) trên miền xác định bởi hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - y \le 4}\\{y - x \le 1{\rm{ l\`a }}3}\\{x + y \ge 2}\end{array}} \right.\)
khi \(x = 2,y = 0\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F(x;y) = x - y\) với điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + y - 3 \le 0}\end{array}} \right.\).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F(x;y) = x - y\) với điều kiện \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + y - 3 \le 0}\end{array}} \right.\).
Vẽ đường thẳng \({d_1}:x = 0\) đi qua hai điểm \((0;0)\) và \((0;1)\).
Vẽ đường thẳng \({d_2}:y = 0\) đi qua hai điểm \((0;0)\) và \((1;0)\).
Vẽ đường thẳng \({d_3}:x + y - 3 = 0\) đi qua hai điểm \((0;3)\) và \((3;0)\).
Xét điểm \(M(1;1)\). Ta thấy tọa độ \(M\) thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.
Do đó, miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + y - 3 \le 0}\end{array}} \right.\) là miền không bị tô đậm (hình tam giác \(OAB\) bao gồm cả các cạnh \(OA,OB\) và \(AB\) trên hình vẽ).
Tìm tọa độ các điểm \(O,A,B\).
Điểm \(O = {d_1} \cap {d_2}\) nên tọa độ điểm \(O\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 0}\end{array}} \right.\). Vậy \(O(0;0)\).
Điểm \(A = {d_1} \cap {d_3}\) nên tọa độ điểm \(A\) là
nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x + y - 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 3}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(A(0;3)\).
Điểm \(B = {d_2} \cap {d_3}\) nên tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 0}\\{x + y - 3 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y = 0}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(B(3;0)\).
Ta thấy \(F = x - y\) đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm \(O,A,B\).
Tại \(O(0;0)\) thì \(F = 0\).
Tại \(A(0;3)\) thì \(F = - 3\)
Tại \(B(3;0)\) thì \(F = 3\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = x - y\) trên miền xác định bởi hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{x + y - 3 \le 0}\end{array}} \right.\) là -3
khi \(x = 0,y = 3\).
Trong mặt phẳng Oxy, cho tứ giác ABCD có \(A( - 3;0);B(0;2);C(3;1);D(3; - 2)\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) sao cho điểm \(M(m;m - 1)\) nằm trong hình tứ giác \(ABCD\) kể cả 4 cạnh.
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho tứ giác \(ABCD\) có \(A( - 3;0);B(0;2);C(3;1);D(3; - 2)\). Tìm tất cả các giá trị của \(m\) sao cho điểm \(M(m;m - 1)\) nằm trong hình tứ giác \(ABCD\) kể cả 4 cạnh.
Nhận thấy hình tứ giác \(ABCD\) tính cả 4 cạnh của nó là miền nghiệm của hệ bất phương trình gồm 4 bất phương trình có miền nghiệm là nửa mặt phẳng chứa điểm \(O(0;0)\) và lần lượt có các bờ là các đường thẳng \(AB,BC,CD\) và \(DA\).
Phương trình đường thẳng \(AB\):
\(\frac{{x + 3}}{{0 - ( - 3)}} = \frac{{y - 0}}{{2 - 0}} \Leftrightarrow 2x - 3y + 6 = 0.{\rm{ }}\)
Bất phương trình có miền nghiệm là là nửa mặt phẳng bờ \(AB\) (tính cả bờ \(AB\)) và chứa điểm \(O\) là \(2x - 3y + 6 \ge 0\).
Phương trình đường thẳng \(BC:\frac{{x - 0}}{{3 - 0}} = \frac{{y - 2}}{{1 - 2}} \Leftrightarrow x + 3y - 6 = 0\). Bất phương trình có miền nghiệm là là nửa mặt phẳng bờ \(BC\) (tính cả bờ \(BC\)) và chứa điểm \(O\) là \(x + 3y - 6 \le 0\).
Phương trình đường thẳng \(CD:x - 3 = 0\). Bất phương trình có miền nghiệm là là nửa mặt phẳng bờ \(CD\) (tính cả bờ \(CD\)) và chứa điểm \(O\) là \(x - 3 \le 0\).
Phương trình đường thẳng \(DA:\frac{{x + 3}}{{3 - ( - 3)}} = \frac{{y - 0}}{{ - 2 - 0}} \Leftrightarrow x + 3y + 3 = 0\). Bất phương trình có miền nghiệm là là nửa mặt phẳng bờ \(DA\) (tính cả bờ \(DA\) ) và chứa điểm \(O\) là \(x + 3y + 3 \ge 0\).
Hình tứ giác \(ABCD\) tính cả 4 cạnh của nó là miền nghiệm của hệ bất phương trình \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2x - 3y + 6 \ge 0}\\{x + 3y - 6 \le 0}\\{x - 3 \le 0}\\{x + 3y + 3 \ge 0}\end{array}} \right.(1)\)
Điểm \(M(m;m - 1)\) nằm trong hình tứ giác \(ABCD\) tính cả 4 cạnh của nó khi và chỉ khi \((m;m - 1)\) là một nghiệm của hệ \((1)\), tức là
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2m - 3(m - 1) + 6 \ge 0}\\{m + 3(m - 1) - 6 \le 0}\\{m - 3 \le 0}\\{m + 3(m - 1) + 3 \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le 9}\\{m \le \frac{9}{4}}\\{m \le 3}\\{m \ge 0}\end{array} \Leftrightarrow 0 \le m \le \frac{9}{4}} \right.} \right.\)
Vậy các giá trị của \(m\) thỏa mãn là \(0 \le m \le \frac{9}{4}\).
Trong một đợt dã ngoại, một trường học cần thuê xe chở 180 người và 8 tấn hàng. Nơi thuê xe có hai loại xe \(A\) và \(B\), trong đó xe \(A\) có 10 chiếc và xe \(B\) có 9 chiếc. Một xe loại \(A\) cho thuê với giá 5 triệu đồng và một xe loại \(B\) cho thuê với giá 4 triệu đồng. Biết rằng mỗi xe loại \(A\) có thể chở tối đa 30 người và 0,8 tấn hàng, mỗi xe loại \(B\) có thể chở tối đa 20 người và 1,6 tấn hàng. Tìm số xe mỗi loại sao cho chi phí thuê là thấp nhất.
Gọi \(x,y(xe)\) lần lượt là số xe loại \(A\) và \(B\) cần thuê.
Khi đó, số tiền cần bỏ ra để thuê xe là \(F(x;y) = 5x + 4y\) (triệu đồng)
Ta có \(x\) xe loại \(A\) chở được \(30x\) người và \(0,8x\) tấn hàng; \(y\) xe loại \(B\) chở được \(20y\) người và \(1,6y\) tấn hàng.
Suy ra \(x\) xe loại \(A\) và \(y\) xe loại \(B\) chở được \(30x + 20y\) người và \(0,8x + 1,6y\) tấn hàng.
Ta có hệ bất phương trình sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{30x + 20y \ge 180}\\{0,8x + 1,6y \ge 8}\\{0 \le x \le 10}\\{0 \le y \le 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y \ge 18}\\{x + 2y \ge 10}\\{0 \le x \le 10}\\{0 \le y \le 9}\end{array}} \right.} \right.\) (*)
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của \(F(x;y)\) trên miền nghiệm của hệ (*).
Miền nghiệm của hệ \((*)\) là tứ giác \(ABCD\) (kể cả bờ)
Tìm tọa độ các điểm \(A,B,C,D\).
Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y - 18 = 0}\\{y = 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{y = 9}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(A(0;9)\).
Tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{3x + 2y - 18 = 0}\\{x + 2y - 10 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4}\\{y = 3}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(B(4;3)\).
Tọa độ điểm \(C\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{x + 2y - 10 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{y = 0}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(C(10;0)\).
Tọa độ điểm \(D\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{y = 9}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10}\\{y = 9}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(D(10;9)\).
Ta thấy \(F(x;y) = 5x + 4y\) đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm \(A,B,C,D\).
Tại \(A(0;9)\) thì \(F = 36\) (triệu đồng).
Tại \(B(4;3)\) thì \(F = 32\) (triệu đồng).
Tại \(C(10;0)\) thì \(F = 50\) (triệu đồng).
Tại \(D(10;9)\) thì \(F = 86\) (triệu đồng).
Như vậy để chi phí thấp nhất cần thuê 4 xe loại \(A\) và 3 xe loại \(B\).
Một gia đình cần ít nhất 1200 đơn vị protein và 800 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất \(2,0\;kg\) thịt bò và \(1,5\;kg\) thịt lợn. Giá tiền \(1\;kg\) thịt bò là 200 nghìn đồng, \(1\;kg\) thịt lợn là 100 nghìn đồng. Gọi \(x,y\) lần lượt là số \(kg\) thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn. Tính \(4{x^2} + {y^2}\).
Điều kiện: \(0 \le x \le 2;0 \le y \le 1,5\)
Khi đó số protein có được là \(800x + 600y\) và số lipit có được là \(200x + 400y\)
Vì gia đình đó cần ít nhất 1200 đơn vị protein và 800 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là:
\(800x + 600y \ge 1200 \Leftrightarrow 4x + 3y \ge 6{\rm{ v\`a }}200x + 400y \ge 800 \Leftrightarrow x + 2y \ge 4\)
Ta có hệ bất phương trình sau:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{0 \le x \le 2}\\{0 \le y \le 1,5}\\{4x + 3y \ge 6}\\{x + 2y \ge 4}\end{array}} \right.\)(*)
Miền nghiệm của hệ trên là miền ngũ giác \(ABCDE\) kể cả các cạnh của ngũ giác.
Chi phí để mua \(x\;kg\) thịt bò và \(y\;kg\) thịt lợn là \(T = 200x + 100y\) (nghìn đồng).
Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của \(T(x;y) = 200x + 100y\) trên miền nghiệm của hệ \((*)\).
Tìm tọa độ các điểm \(A,B,C,D,E\).
Tọa độ điểm \(A\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4x + 5y - 6 = 0}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{3}{8}}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(A\left( {\frac{3}{8};\frac{3}{2}} \right)\).
Tọa độ điềm \(C\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 0}\end{array}} \right.\). Vậy \(C(2;0)\).
Tọa độ điểm \(D\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{x + 2y - 4 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2}\\{y = 1}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(D(2;1)\).
Tọa độ điểm \(E\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + 2y - 4 = 0}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.\). Vậy \(E\left( {1;\frac{3}{2}} \right)\).
Ta thấy \(T(x;y) = 200x + 100y\) đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm \(A,B,C,D,E\).
Tại \(A\left( {\frac{3}{8};\frac{3}{2}} \right)\) thì \(T = 200 \cdot \frac{3}{8} + 100 \cdot \frac{3}{2} = 225\) (nghìn đồng).
Tại \(B\left( {\frac{3}{2};0} \right)\) thì \(T = 200 \cdot \frac{3}{2} + 100 \cdot 0 = 300\) (nghìn đồng).
Tại \(C(2;0)\) thì \(T = 200.2 + 100.0 = 400\) (nghìn đồng).
Tại \(D(2;1)\) thì \(T = 200.2 + 100.1 = 500\) (nghìn đồng).
Tại \(E\left( {1;\frac{3}{2}} \right)\) thì \(T = 200.1 + 100 \cdot \frac{3}{2} = 350\) (nghìn đồng).
Như vậy để chi phí bỏ ra thấp nhất mà vẫn đảm bảo nhu cầu dinh dưỡng khi \(x = \frac{3}{8}\) và \(y = \frac{3}{2} \Rightarrow 4{x^2} + {y^2} = 4 \cdot {\left( {\frac{3}{8}} \right)^2} + {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} = \frac{{45}}{{16}}\).
