Bài tập Vận dụng đạo hàm cấp hai để giải quyết một số bài toán thực tiễn lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp một của hàm số quãng đường s(t): v(t) = s′(t) = (t³ – 3t² + 5t + 1)′ = 3t² – 6t + 5 (m/s)

Gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của hàm số quãng đường s(t): a(t) = s′′(t) = v′(t) = (3t² – 6t + 5)′ = 6t – 6 (m/s²)

Tại thời điểm t = 3 giây, gia tốc tức thời của vật là: a(3) = 6 ⋅ 3 – 6 = 12 (m/s²).

Đáp án đúng là: C

Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t là đạo hàm cấp một của phương trình chuyển động s(t):

v(t) = s′(t) = \({\left[ {2\sin \left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)} \right]^\prime }\) = 2 ⋅ 2\(\pi \) ⋅ cos\(\left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\) = 4\(\pi \)cos\(\left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\) (cm/s)

Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của phương trình chuyển động s(t):

a(t) = s′′(t) = v′(t) = \({\left[ {4\pi \cos \left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)} \right]^\prime }\)

= –4\(\pi \) ⋅ 2\(\pi \) ⋅ sin\(\left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\) = –8\(\pi \)²sin\(\left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\) (cm/s²)

Tại thời điểm t = 1 giây, gia tốc tức thời của chất điểm là:

a(1) = –8\(\pi \)²sin\(\left( {2\pi \cdot 1 + \frac{\pi }{3}} \right)\) = –8\(\pi \)²sin\(\left( {\frac{\pi }{3}} \right)\) = –8\(\pi \)² ⋅ \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) = –4\(\pi \)²\(\sqrt 3 \) (cm/s²).

Đáp án đúng là: A

Vận tốc tức thời của con lắc tại thời điểm t là đạo hàm cấp một của x(t):

v(t) = x′(t) = \({\left[ {5\cos \left( {10t - \frac{\pi }{6}} \right)} \right]^\prime }\) = –5 ⋅ 10 ⋅ sin\(\left( {10t - \frac{\pi }{6}} \right)\) = –50sin\(\left( {10t - \frac{\pi }{6}} \right)\) (cm/s)

Gia tốc tức thời của con lắc tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của x(t):

a(t) = x′′(t) = v′(t) = \({\left[ { - 50\sin \left( {10t - \frac{\pi }{6}} \right)} \right]^\prime }\)

= –50 ⋅ 10 ⋅ cos\(\left( {10t - \frac{\pi }{6}} \right)\) = –500cos\(\left( {10t - \frac{\pi }{6}} \right)\) (cm/s²)

Vì –1 ≤ cos\(\left( {10t - \frac{\pi }{6}} \right)\) ≤ 1 nên a(t) đạt giá trị lớn nhất (gia tốc cực đại)

⇔ cos\(\left( {10t - \frac{\pi }{6}} \right)\) = –1

Do đó: a_max = –500 ⋅ (–1) = 500 (cm/s²).

Đáp án đúng là: A

Cường độ dòng điện tức thời tại thời điểm t là đạo hàm cấp một của hàm số điện lượng Q(t): I(t) = Q′(t) = (2t³ – 3t² + 4t)′ = 6t² – 6t + 4 (A)

Tốc độ biến thiên của cường độ dòng điện tại thời điểm t là đạo hàm của I(t):

I′(t) = Q′′(t) = (6t² – 6t + 4)′ = 12t – 6 (A/s)

Tại thời điểm t = 2 giây, tốc độ biến thiên của cường độ dòng điện là:

I′(2) = 12 ⋅ 2 – 6 = 18 (A/s).

Đáp án đúng là: B

Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp một của phương trình quãng đường s(t): v(t) = s′(t) = \({\left( {\frac{1}{3}{t^3} - 2{t^2} + 3t + 5} \right)^\prime }\) = t² – 4t + 3 (m/s)

Gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của phương trình quãng đường s(t): a(t) = s′′(t) = v′(t) = (t² – 4t + 3)′ = 2t – 4 (m/s²)

Cho gia tốc bằng 0, ta có phương trình:

a(t) = 0 ⇔ 2t – 4 = 0 ⇔ 2t = 4 ⇔ t = 2 (thỏa mãn t ≥ 0).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp một của phương trình quãng đường s(t): v(t) = s′(t) = (t³ – 6t² + 15t + 2)′ = 3t² – 12t + 15 (m/s).

b) Đúng. Gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của phương trình quãng đường s(t): a(t) = s′′(t) = v′(t) = (3t² – 12t + 15)′ = 6t – 12 (m/s²).

c) Sai. Vật dừng lại khi vận tốc tức thời bằng 0, tức là v(t) = 0 ⇔ 3t² – 12t + 15 = 0

Vì ∆′ = 36 – 45 = –9 < 0 ⇒ Phương trình này vô nghiệm

Tại thời điểm t = 2 giây, vận tốc của vật là v(2) = 3 ⋅ 2² – 12 ⋅ 2 + 15 = 3m/s ≠ 0

Do đó vật vẫn đang chuyển động.

d) Đúng. Ta có: v(t) = 3t² – 12t + 15 = 3(t – 2)² + 3 ≥ 3 với mọi t

Do đó, vận tốc đạt giá trị nhỏ nhất v_min = 3m/s tại thời điểm t = 2 giây

Khi đó, gia tốc của chuyển động là a(2) = 6 ⋅ 2 – 12 = 0m/s².

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t là đạo hàm cấp một của phương trình quãng đường s(t): v(t) = s′(t) = \({\left( {\frac{1}{2}g{t^2}} \right)^\prime }\) = gt (m/s).

b) Sai. Gia tốc tức thời của chuyển động là đạo hàm cấp hai của phương trình quãng đường s(t): a(t) = s′′(t) = v′(t) = (gt)′ = g = 9,8 (m/s²)

⇒ Gia tốc này là một hằng số không phụ thuộc vào thời gian t.

c) Đúng. Vì a(t) = g = 9,8m/s² là hằng số nên gia tốc tức thời tại mọi thời điểm đều bằng 9,8m/s².

d) Đúng. Quãng đường vật đi được trong giây thứ 3 (từ t = 2s đến t = 3s) bằng hiệu quãng đường vật đi được trong 3 giây đầu và quãng đường vật đi được trong 2 giây đầu:

∆_s = s(3) – s(2) = \(\frac{1}{2}g \cdot {3^2}\) – \(\frac{1}{2}g \cdot {2^2}\)= \(\frac{1}{2}\)g⋅(9 – 4) = \(\frac{5}{2}\)g = 2,5g

Thay g = 9,8m/s²: ∆_s = 2,5 ⋅ 9,8 = 24,5 (m).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp một của hàm số li độ x(t):

v(t) = x′(t) = \({\left[ {4\cos \left( {\pi t - \frac{\pi }{4}} \right)} \right]^\prime }\) = –4\({\left( {\pi t - \frac{\pi }{4}} \right)^\prime }\) ⋅ sin\(\left( {\pi t - \frac{\pi }{4}} \right)\) = –4\(\pi \)sin\(\left( {\pi t - \frac{\pi }{4}} \right)\) (cm/s).

b) Đúng. Gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của hàm số li độ x(t):

a(t) = v′(t) = x′′(t) = \({\left[ { - 4\pi \sin \left( {\pi - \frac{\pi }{4}} \right)} \right]^\prime }\)

= –4\(\pi \)\({\left( {\pi t - \frac{\pi }{4}} \right)^\prime }\) ⋅ cos\(\left( {\pi t - \frac{\pi }{4}} \right)\) = –4\(\pi \)²cos\(\left( {\pi t - \frac{\pi }{4}} \right)\) (cm/s²).

c) Đúng. Ta có: a(t) = –4\(\pi \)²cos\(\left( {\pi t - \frac{\pi }{4}} \right)\) = –\(\pi \)² ⋅ \(\left[ {4\cos \left( {\pi t - \frac{\pi }{4}} \right)} \right]\) = –\(\pi \)²x(t)

Do đó, gia tốc của con lắc luôn thỏa mãn hệ thức a(t) = –\(\pi \)²x(t).

d) Sai. Tại t = 0,25s, gia tốc của con lắc là:

a(0,25) = –4\(\pi \)²cos\(\left( {\frac{\pi }{4} - \frac{\pi }{4}} \right)\) = –4\(\pi \)²cm/s² ≠ 0cm/s².

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t là đạo hàm cấp một của hàm quãng đường s(t): v(t) = s′(t) = (2t³ – 9t² + 12t + 1)′ = 6t² – 18t + 12 (m/s)

Tại thời điểm t = 1 giây, vận tốc tức thời của vật là: v(1) = 6 ⋅ 1² – 18 ⋅ 1 + 12 = 0 (m/s).

b) Đúng. Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 2 giây là:

v(2) = 6 ⋅ 2² – 18 ⋅ 2 + 12 = 24 – 36 + 12 = 0 (m/s).

c) Đúng. Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của hàm quãng đường s(t): a(t) = s′′(t) = v′(t) = (6t² – 18t + 12)′ = 12t – 18 (m/s²)

Tại thời điểm t = 2 giây, gia tốc tức thời của vật là: a(2) = 12 ⋅ 2 – 18 = 6 (m/s²).

d) Đúng. Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 3 giây là: a(3) = 12 ⋅ 3 – 18 = 18 (m/s²).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Cường độ dòng điện tức thời là đạo hàm cấp nhất của điện lượng theo thời gian:

I(t) = Q′(t) = [sin(100\(\pi \)t)]′ = (100\(\pi \)t)′ ⋅ cos(100\(\pi \)t) = 100\(\pi \)cos(100\(\pi \)t) (A).

b) Đúng. Đạo hàm của cường độ dòng điện theo thời gian là:

I′(t) = [100\(\pi \)cos(100\(\pi \)t)]′ = 100\(\pi \) ⋅ [–(100\(\pi \)t)′ ⋅ sin(100\(\pi \)t)]

I′(t) = –10000\(\pi \)²sin(100\(\pi \)t) (A/s).

c) Đúng. Vì –1 ≤ cos(100\(\pi \)t) ≤ 1 với mọi t ≥ 0, nên: I(t) = 100\(\pi \)cos(100\(\pi \)t) ≤ 100\(\pi \) (A)

Dấu "=" xảy ra ⇔ cos(100\(\pi \)t) = 1

Vậy giá trị lớn nhất của cường độ dòng điện là 100\(\pi \) (A).

d) Sai. Tốc độ biến thiên cường độ dòng điện tại thời điểm t là \(\left| {I'\left( t \right)} \right|\)

Tại thời điểm t = 0,01 giây, ta có:

I′(0,01) = –10000\(\pi \)²sin(100\(\pi \) ⋅ 0,01) = –10000\(\pi \)²sin(\(\pi \)) = 0.

Do đó, tốc độ biến thiên cường độ dòng điện tại thời điểm t = 0,01 giây bằng 0.

Đáp án: -1

Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t là đạo hàm cấp một của quãng đường theo thời gian: v(t) = s′(t) = \({\left( { - \frac{1}{2}{t^2} + 20t} \right)^\prime }\) = –t + 20 (m/s)

Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của quãng đường:

a(t) = v′(t) = s′′(t) = (–t + 20)′ = –1 (m/s²)

Do gia tốc là hằng số a(t) = –1m/s² với mọi thời điểm t, nên gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 8 giây là: a(8) = –1 (m/s²).

Đáp án: 12

Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp một của quãng đường theo thời gian: v(t) = s′(t) = (–t³ + 3t² + 9t)′ = –3t² + 6t + 9 (m/s)

Gia tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của quãng đường theo thời gian: a(t) = v′(t) = s′′(t) = (–3t² + 6t + 9)′ = –6t + 6 (m/s²)

Gia tốc triệt tiêu khi a(t) = 0 ⇔ –6t + 6 = 0 ⇔ 6t = 6 ⇔ t = 1 (giây)

Vận tốc của chuyển động tại thời điểm gia tốc triệt tiêu (t = 1 giây) là:

v(1) = –3 ⋅ 1² + 6 ⋅ 1 + 9 = –3 + 6 + 9 = 12 (m/s).

Đáp án: -59

Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t là đạo hàm cấp một của li độ theo thời gian: v(t) = s′(t) = \({\left[ {3\cos \left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)} \right]^\prime }\) = –3 ⋅ \({\left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)^\prime }\) ⋅ sin\(\left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\)

v(t) = –6\(\pi \)sin\(\left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\) (cm/s)

Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của li độ theo thời gian:

a(t) = v′(t) = s′′(t) = \({\left[ { - 6\pi \sin \left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)} \right]^\prime }\)

a(t) = –6\(\pi \) ⋅ \({\left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)^\prime }\) ⋅ cos\(\left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\) = –12\(\pi \)²cos\(\left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\) (cm/s²)

Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = 2s là:

a(2) = –12\(\pi \)²cos\(\left( {2\pi \cdot 2 + \frac{\pi }{3}} \right)\) = –12\(\pi \)²cos\(\left( {4\pi + \frac{\pi }{3}} \right)\)

a(2) = –12\(\pi \)²cos\(\left( {\frac{\pi }{3}} \right)\) = –12\(\pi \)² ⋅ \(\frac{1}{2}\) = –6\(\pi \)² ≈ –59 (cm/s²).

Đáp án: 0

Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t là đạo hàm cấp một của quãng đường theo thời gian: v(t) = s′(t) = (–t³ + t² + t + 4)′ = –3t² + 2t + 1 (m/s)

Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của quãng đường theo thời gian: a(t) = v′(t) = s′′(t) = (–3t² + 2t + 1)′ = –6t + 2 (m/s²)

Biến đổi biểu thức vận tốc v(t), ta có:

v(t) = –3\(\left( {{t^2} - \frac{2}{3}t} \right)\) + 1 = –3\({\left( {t - \frac{1}{3}} \right)^2}\) + \(\frac{1}{3}\) + 1 = –3\({\left( {t - \frac{1}{3}} \right)^2}\) + \(\frac{4}{3}\) ≤ \(\frac{4}{3}\)

Do đó, vận tốc đạt giá trị lớn nhất bằng \(\frac{4}{3}\)m/s tại thời điểm t = \(\frac{1}{3}\) giây

Thay t = \(\frac{1}{3}\) giây vào biểu thức gia tốc, ta được: a\(\left( {\frac{1}{3}} \right)\) = –6 ⋅ \(\frac{1}{3}\) + 2 = –2 + 2 = 0 (m/s²)

Vậy gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc đạt giá trị lớn nhất bằng 0m/s².

Đáp án: -18

Vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t là đạo hàm cấp một của quãng đường theo thời gian: v(t) = s′(t) = (t³ + mt² + 2)′ = 3t² + 2mt (m/s)

Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t là đạo hàm cấp hai của quãng đường theo thời gian:

a(t) = v′(t) = s′′(t) = (3t² + 2mt)′ = 6t + 2m (m/s²)

Theo bài ra, tại thời điểm t = 10s vận tốc bị triệt tiêu, nghĩa là v(10) = 0:

⇒ 3 ⋅ 10² + 2m ⋅ 10 = 0 ⇔ 300 + 20m = 0 ⇔ 20m = –300 ⇔ m = –15

Khi đó, biểu thức gia tốc của vật là: a(t) = 6t + 2 ⋅ (–15) = 6t – 30 (m/s²)

Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2s là:

a(2) = 6 ⋅ 2 – 30 = 12 – 30 = –18 (m/s²).