Trắc nghiệm Đạo hàm cấp hai lớp 11 (có đúng sai, trả lời ngắn)
20 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Cho hàm số \(y = {x^5} - 3{x^4} + x + 1\) với \(x \in \mathbb{R}\). Đạo hàm \(y''\) của hàm số là
\(y'' = 5{x^3} - 12{x^2} + 1\).
\(y'' = 5{x^4} - 12{x^3}\).
\(y'' = 20{x^2} - 36{x^3}\).
\(y'' = 20{x^3} - 36{x^2}\).
D
Ta có \(y = {x^5} - 3{x^4} + x + 1\)\( \Rightarrow y' = 5{x^4} - 12{x^3} + 1 \Rightarrow y'' = 20{x^3} - 36{x^2}\).
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi công thức \(s\left( t \right) = 10 + \sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right)\), trong đó s tính bằng centimet và t được tính bằng giây.
a) Gia tốc của hạt tại thời điểm t = 3 giây là −16π2 cm/s2.
b) Vận tốc của hạt tại thời điểm t = 3 giây là 2π cm/s.
c) Vận tốc lớn nhất của hạt đạt được là \(4\pi \sqrt 2 \) cm/s.
d) Gia tốc nhỏ nhất của hạt đạt được là −16π2 cm/s2.
Ta có v(t) = s'(t) = \(4\pi \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right)\); \(a\left( t \right) = - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right)\).
a) \(a\left( 3 \right) = - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi .3} \right) = - 16{\pi ^2}\) cm/s2.
b) \(v\left( 3 \right) = 4\pi \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi .3} \right) = 4\pi \) cm/s.
c) Có \( - 4\pi \sqrt 2 \le 4\pi \sqrt 2 \cos \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right) \le 4\pi \sqrt 2 \).
Vậy vận tốc lớn nhất của hạt đạt được là \(4\pi \sqrt 2 \) cm/s.
d) \( - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \le - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \sin \left( {\frac{\pi }{4} + 4\pi t} \right) \le 16{\pi ^2}\sqrt 2 \).
Gia tốc nhỏ nhất của hạt đạt được là \( - 16{\pi ^2}\sqrt 2 \) cm/s2.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Đúng; d) Sai.
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = - 3\cos x\) tại điểm \({x_0} = \frac{\pi }{2}\).
\(y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - 3\).
\(y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 5\).
\(y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\).
\(y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 3\).
C
\(y = - 3\cos x\)\( \Rightarrow y' = 3\sin x;\,y'' = 3\cos x\).
\(y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\).
Một chất điểm chuyển động có phương trình s(t) = t3 – 3t2 + 20, trong đó s là quãng đường của chất điểm chuyển động tính bằng mét, t là thời gian chất điểm chuyển động tính bằng giây.
a) Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = 7 giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động là 105 m/s.
b) Quãng đường chất điểm đi được tính từ lúc bắt đầu chuyển động đến giây thứ 5 là 70 m.
c) Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = 10 giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động là 240 m/s2.
d) Chất điểm đạt vận tốc 45 m/s kể từ lúc bắt đầu chuyển động tại thời điểm t = 5 giây.
Ta có v(t) = s'(t) = 3t2 – 6t; a(t) = v'(t) = 6t – 6.
a) v(7) = 3.72 – 6.7 = 105 m/s.
b) s(5) = 53 – 3.52 + 20 = 70 m.
c) a(10) = 6.10 – 6 = 54 m/s2.
d) v(5) = 3.52 – 6.5 = 45 m/s.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \,{\left( {3x - 7} \right)^5}\). Tính \(f''\left( 2 \right)\).
\(f''\left( 2 \right)\, = \,0\).
\(f''\left( 2 \right)\, = \,20\).
\(f''\left( 2 \right)\, = \,\, - 180\).
\(f''\left( 2 \right)\, = \,\,30\).
C
\(f\left( x \right) = \,{\left( {3x - 7} \right)^5}\)
\(f'\left( x \right)\,\, = \,15{\left( {3x - 7} \right)^4}\).
\(f''\left( x \right) = \,\,180\,{\left( {3x - 7} \right)^3}\).
Vậy \(f''\left( 2 \right)\, = \,\, - 180\).
Cho hàm số y = f(x) = sin2x.
a)\(y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - 4\).
b) 4y + y" = 0.
c)\(y'\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = - 1\).
d) Điểm M thuộc đồ thị (C) của hàm số y = f(x) = sin2x có hoành độ \({x_0} = \frac{\pi }{6}\). Khi đó, phương trình tiếp tuyến của (C) tại M song song với đường thẳng 2x – y – 2025 = 0.
Ta có y' = 2cos2x; y" = −4sin2x.
a) \(y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - 4\sin \left( {2.\frac{\pi }{2}} \right) = 0\).
b) Có 4y + y" = 4sin2x – 4sin2x = 0.
c) \(y'\left( {\frac{\pi }{3}} \right) = 2\cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = - 1\).
d) Ta có \(M\left( {\frac{\pi }{6};\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\).
Hệ số góc của tiếp tuyến tại M là \(y'\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = 1\).
Khi đó phương trình tiếp tuyến có dạng \(y = x - \frac{\pi }{6} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) không song song với đường thẳng 2x – y – 2025 = 0.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Cho \(y = \sqrt {2x - {x^2}} \), tính giá trị biểu thức \(A = {y^3}.y''\).
\(1\).
\(0\).
\( - 1\).
Đáp án khác.
C
Ta có: \(y' = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {2x - {x^2}} }},\,\,\,y'' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {\sqrt {2x - {x^2}} } \right)}^3}}}\)
Do đó: \(A = {y^3}.y'' = - 1\).
Cho hàm số y = f(x) = x3 – 3x2 + 3 có đồ thị (C).
a) f'(1) = 3.
b) f"(x) = 6x – 6.
c) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(1; 1) là y = −3x + 4.
d) Phương trình f(x) = f'(x) + f"(x) – 6x2 + 9 có đúng 3 nghiệm.
a) Ta có f'(x) = 3x2 – 6x.
f'(1) = 3.12 – 6.1 = −3.
b) Có f"(x) = 6x – 6.
c) Có k = f'(1) = −3.
Suy ra phương trình tiếp tuyến có dạng y = −3(x – 1) + 1 = −3x + 4.
d) Có f(x) = f'(x) + f"(x) – 6x2 + 9
Û x3 – 3x2 + 3 = 3x2 – 6x + 6x – 6 – 6x2 + 9 Û x3 = 0 Û x = 0.
Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = \frac{{3x + 1}}{{x + 2}}\) là
\(y'' = \frac{{10}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).
\(y'' = - \frac{5}{{{{\left( {x + 2} \right)}^4}}}\).
\(y'' = - \frac{5}{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}}\).
\(y'' = - \frac{{10}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}}\).
D
Ta có \(y = 3 - \frac{5}{{x + 2}} \Rightarrow y' = \frac{5}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}};y'' = - \frac{{10}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^3}}}\).
Trắc nghiệm Đạo hàm cấp hai lớp 11 (có đáp án)
Cho hàm số y = f(x) = ln(2x – 4).
a) Tập xác định của hàm số f(x) là D = [2; +∞).
b) y" < 0, ∀x Î ℝ.
c) Tổng các nghiệm của phương trình y" = −1 là 4.
d) Có 1 giá trị thực của tham số m để phương trình y" + y' + m – 2 = 0 có hai nghiệm x1, x2 sao cho tổng của chúng bằng 5.
a) Điều kiện: 2x – 4 > 0 Û x > 2.
Suy ra tập xác định D = (2; +∞).
b) Có \(y' = \frac{2}{{2x - 4}} = \frac{1}{{x - 2}}\); \(y'' = - \frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} < 0,\forall x \in \mathbb{R}\).
c) Có y" = −1 \( \Leftrightarrow - \frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = - 1\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} = 1\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 2 = 1\\x - 2 = - 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 3\\x = 1\end{array} \right.\).
Suy ra tổng các nghiệm của phương trình là 4.
d) Có y" + y' + m – 2 = 0 \( \Leftrightarrow - \frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} + \frac{1}{{x - 2}} + m - 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow - 1 + \left( {x - 2} \right) + \left( {m - 2} \right){\left( {x - 2} \right)^2} = 0\)(x ≠ 2).
Đặt t = x – 2 (t ≠ 0). Khi đó phương trình trở thành (m – 2)t2 + t – 1 = 0 (1).
Để phương trình y" + y' + m – 2 = 0 có hai nghiệm x1, x2 sao cho tổng của chúng bằng 5 thì (1) có hai nghiệm t1, t2 sao cho t1 + t2 = 1
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 2 \ne 0\\\Delta = {1^2} + 4\left( {m - 2} \right) > 0\\ - \frac{1}{{m - 2}} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m > \frac{7}{4}\\m = 1\end{array} \right.\). Không có giá trị nào thỏa mãn.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai.
Đạo hàm cấp hai của hàm số \(y = {\cos ^2}x\) là
\(y'' = - 2\cos 2x\).
\(y'' = - 2\sin 2x\).
\(y'' = 2\cos 2x\).
\(y'' = 2\sin 2x\).
A
\(y' = 2\cos x.\left( { - \sin x} \right)\)\( = - \sin 2x\)\( \Rightarrow y'' = - 2\cos 2x\).
Cho hàm số \[y = {x^3} - 3{x^2} + x + 1\]. Phương trình \(y'' = 0\) có nghiệm.
\[x = 2\].
\[x = 4\].
\[x = 1\].
\[x = 3\].
C
Ta có \[y' = 3{x^2} - 6x + 1\], \[y'' = 6x - 6\]\[ \Rightarrow y'' = 0\]\[ \Leftrightarrow x = 1\].
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{{2x - 1}}\). Tính \(f''\left( { - 1} \right)\).
\( - \frac{8}{{27}}\).
\(\frac{2}{9}\).
\(\frac{8}{{27}}\).
\( - \frac{4}{{27}}\).
A
\(f'\left( x \right) = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\), \(f''\left( x \right) = \frac{8}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^3}}}\).
Khi đó \(f''\left( { - 1} \right) = - \frac{8}{{27}}\).
Một chất điểm dao động điều hòa theo phương trình \(S = 3\cos \left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\) (cm). Tính gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t = 2s.
59,22 cm/s2.
−59,22 cm/s2.
18,85 cm/s2.
−18,85 cm/s2.
B
Ta có v(t) = s'(t) = \( - 6\pi \sin \left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\); a(t) = v'(t) = \( - 12{\pi ^2}\cos \left( {2\pi t + \frac{\pi }{3}} \right)\).
Khi đó \(a\left( 2 \right) = - 12{\pi ^2}\cos \left( {2\pi .2 + \frac{\pi }{3}} \right) \approx - 59,22\) cm/s2.
Một chất điểm chuyển động có phương trình s = −t3 + t2 + t + 4 (t là thời gian tính bằng giây). Gia tốc của chuyển động tại thời điểm vận tốc đạt giá trị lớn nhất là
6.
0.
2.
4.
B
Ta có v(t) = s'(t) = −3t2 + 2t + 1; a(t) = v'(t) = −6t + 2.
Ta có v(t) = −3t2 + 2t + 1 = \( - 3{\left( {t - \frac{1}{3}} \right)^2} + \frac{4}{3} \le \frac{4}{3}\).
Vận tốc đạt giá trị lớn nhất khi \(t = \frac{1}{3}\).
Do đó \(a\left( {\frac{1}{3}} \right) = - 6.\frac{1}{3} + 2 = 0\).
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Một vật chuyển động theo phương trình s(t) = t3 + mt2 + 2 (đơn vị: mét). Biết rằng tại thời điểm t = 10 s vận tốc của chuyển động bị triệt tiêu. Tìm gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2 s.
Ta có v(t) = s'(t) = 3t2 + 2mt; a(t) = v'(t) = 6t + 2m.
Ta có v(10) = 0 Û 3.102 + 20m = 0 Û m = −15.
Khi đó a(t) = 6t – 30. Khi đó a(2) = 6.2 – 30 = −18.
Trả lời: −18.
Một chất điểm chuyển động theo phương trình \(s(t) = 3\sin 2t + 2\cos 2t\), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây và \(s\) là quãng đường chuyển động được của chất điểm trong \(t\) giây tính bằng mét. Tính gia tốc của chất điểm đó khi \(t = \frac{\pi }{4}\).
Ta có: \(s'\left( t \right) = 3{\left( {\sin 2t} \right)^\prime } + 2{\left( {\cos 2t} \right)^\prime } = 6\cos 2t - 4\sin 2t\).
Và \(s''(t) = 6{\left( {\cos 2t} \right)^\prime } - 4{\left( {\sin 2t} \right)^\prime } = - 12\sin 2t - 8\cos 2t\).
Gia tốc của chất điểm tại thời điểm \(t = \frac{\pi }{4}\) là:
\(a\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = s''\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - 12\left[ {\sin \left( {2 \cdot \frac{\pi }{4}} \right)} \right] - 8\left[ {\cos \left( {2 \cdot \frac{\pi }{4}} \right)} \right] = - 12\).
Trả lời: −12.
Một chất điểm chuyển động có quãng đường được cho bởi phương trình \(s\left( t \right) = \frac{1}{6}{t^4} - \frac{2}{3}{t^3} + 3{t^2} - 1\), trong đó t là thời gian tính bằng giây, s tính bằng mét. Tính vận tốc chuyển động của chất điểm tại thời điểm chất điểm có gia tốc chuyển động nhỏ nhất (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Ta có \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = \frac{2}{3}{t^3} - 2{t^2} + 6t\); a(t) = v'(t) = 2t2 – 4t + 6.
Þ a(t) = 2(t2 – 2t + 1) + 4 = 2(t – 1)2 + 4 ≥ 4.
Dấu “=” xảy khi khi t = 1.
Suy ra gia tốc chuyển động của chất điểm có giá trị nhỏ nhất là 4 khi t = 1 s, khi đó vận tốc chuyển động của chất điểm là \(v\left( 1 \right) = \frac{{14}}{3} \approx 4,67\) (m/s).
Trả lời: 4,67.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {e^{x - {x^2}}}\). Biết phương trình f"(x) = 0 có hai nghiệm x1; x2. Tính x1.x2 (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).
Ta có \(f'\left( x \right) = \left( {1 - 2x} \right){e^{x - {x^2}}}\); \(f''\left( x \right) = - 2{e^{x - {x^2}}} + {\left( {1 - 2x} \right)^2}{e^{x - {x^2}}} = \left[ { - 2 + {{\left( {1 - 2x} \right)}^2}} \right]{e^{x - {x^2}}}\).
Khi đó f"(x) = 0 \( \Leftrightarrow {\left( {1 - 2x} \right)^2} = 2\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1 - 2x = \sqrt 2 \\1 - 2x = - \sqrt 2 \end{array} \right.\)\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{1 - \sqrt 2 }}{2}\\x = \frac{{1 + \sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\].
Suy ra \({x_1}{x_2} = - \frac{1}{4} = - 0,25 \approx - 0,3\).
Trả lời: −0,3.
Hàm số \(f\left( x \right) = \frac{{{x^3} + 3x + 2}}{{x - 1}}\) có \(f''\left( x \right) = \frac{{a{x^3} + b{x^2} + cx + d}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}\). Tính S = a – b + c – 2d.
\(f'\left( x \right) = \frac{{\left( {3{x^2} + 3} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^3} + 3x + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^3} - 3{x^2} - 5}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\);
\(f''\left( x \right) = \frac{{\left( {6{x^2} - 6x} \right){{\left( {x - 1} \right)}^2} - 2\left( {2{x^3} - 3{x^2} - 5} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^4}}}\)\( = \frac{{2{x^3} - 6{x^2} + 6x + 10}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^3}}}\).
Suy ra a = 2; b = −6; c = 6; d = 10.
Từ đó a – b + c – 2d = 2 + 6 + 6 – 20 = −6.
Trả lời: −6.
