Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 33. Đạo hàm cấp hai có đáp án
13 câu hỏi
Chuyển động của một vật gắn trên con lắc lò xo (khi bỏ qua ma sát và sức cản không khí) được cho bởi phương trình sau:
x(t) = 4cos2πt+π3 ,
ở đó x tính bằng centimet và thời gian t tính bằng giây. Tìm gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t = 5 giây (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).
Vận tốc của vật tại thời điểm t là
v(t) = x'(t) = −2πt+π3'.4sin2πt+π3=−8πsin2πt+π3.
Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t là:
a(t) = v'(t) = −8π2πt+π3'.cos2πt+π3=−16π2cos2πt+π3.
Tại thời điểm t = 5, gia tốc của vật là:
a(5) = −16π2cos2π.5+π3≈−79 (cm/s2).
a) Gọi g(x) là đạo hàm của hàm số y=sin2x+π4 . Tìm g(x).
a) Ta có
g(x)=y'=sin2x+π4'=2.cos2x+π4.
b) Tính đạo hàm của hàm số y = g(x).
b) Ta có
g'(x)=2cos2x+π4'=−4sin2x+π4.
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) y = xe2x;
a) Ta có y = xe2x
Suy ra: y' = x' . e2x + x . (e2x)' = e2x + 2xe2x.
Do đó, y'' = 2e2x + 2(e2x + 2xe2x) = 2e2x + 2e2x + 4xe2x = 4e2x + 4xe2x.
Vậy đạo hàm cấp hai của hàm số đã cho là y'' = 4e2x + 4xe2x.
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
b) y = ln(2x + 3).
b) Ta có y = ln(2x + 3).
y' = (2x+3)'2x+3=22x+3.
y'' = 22x+3'=−2.22x+32=−42x+32.
Vậy đạo hàm cấp hai của hàm số đã cho là y''=−42x+32.
Nhận biết ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai
Xét một chuyển động có phương trình s = 4cos2πt.
a) Tính vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t.
b) Tính gia tốc tức thời tại thời điểm t.
a)
Ta có: v(t) = s'(t) = –4.2πsin2πt = –8πsin2πt.
Vậy vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t là –8πsin2πt.
b) Gia tốc tức thời tại thời điểm t là
a(t) = v'(t) = (–8πsin2πt)' = –8π.2πcos2πt = –16π2cos2πt.
Một chuyển động thẳng có phương trình s=2t2+12t4 (s tính bằng mét, t tính bằng giây). Tìm gia tốc của vật tại thời điểm t = 4 giây.
Vận tốc tại thời điểm t là v(t) = s'(t) = 4t + 2t3.
Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t là a(t) = v'(t) = 4 + 6t2.
Tại thời điểm t = 4 giây, gia tốc của vật là:
a(4) = 4 + 6 . 42 = 100 (m/s2).
Cho hàm số f(x) = x2ex. Tính f''(0).
Với f(x) = x2ex, ta có:
f'(x) = (x2)' . ex + x2 . (ex)' = 2x.ex + x2.ex.
f''(x) = (2ex + 2x.ex) + (2x.ex + x2.ex) = 4xex + 2ex + x2ex.
Vậy f''(0) = 4 . 0 . e0 + 2 . e0 + 02 . e0 = 2.
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) y = ln(x + 1);
b) y = tan2x.
a) Ta có y'=lnx+1'=x+1'x+1=1x+1
⇒y''=1x+1'=−1x+12
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
b) y = tan2x.
b)
Ta có y'=tan2x'=2cos22x
⇒y''=−2cos22x'cos42x=−2.2cos2x.(cos2x)'cos42x
=4.2sin2xcos32x=8sin2xcos32x.
Cho hàm số P(x) = ax2 + bx + 3 (a, b là hằng số). Tìm a, b biết P'(1) = 0 và P''(1) = –2.
Ta có:
P'(x) = 2ax + b
P''(x) = 2a
Do P'(1) = 0 và P''(1) = –2 nên ta có
P'(1)=2a+b=0P''(1)=2a=−2⇔a=−1b=2.
Vậy a = – 1 và b = 2.
Cho hàm số f(x) = 2sin2x+π4. Chứng minh rằng |f''(x)| ≤ 4 với mọi x.
Ta có:
f'(x)=2.2sinx+π4.sinx+π4'
=4sinx+π4cosx+π4=2sin2x+π2.
Khi đó f''x=2.2x+π2'.cos2x+π2=4cos2x+π2.
Vì cos2x+π2≤1 với mọi x nên 4cos2x+π2≤4 với mọi x.
Vậy |f''(x)| ≤ 4 với mọi x.
Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi s(t) = 10 + 0,5sin 2πt+π5, trong đó s tính bằng centimet và t tính bằng giây. Tính gia tốc của hạt tại thời điểm t = 5 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Vận tốc tại thời điểm t là:
v(t) = s'(t) = 0,5.2πcos 2πt+π5 = πcos 2πt+π5.
Gia tốc tức thời của vật tại thời điểm t là:
a(t) = v'(t) = –π.2πsin 2πt+π5= –2π2sin 2πt+π5.
Tại thời điểm t = 5 giây, gia tốc của vật là:
a(5) = –2π2sin 2π.5+π5 ≈ –11,6 (cm/s2).
