Giải SBT Toán 11 KNTT Bài 33: Đạo hàm cấp 2 có đáp án
5 câu hỏi
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) y=x44−2x2+1;
b) y=2x+1x−1.
a) Có y'=x44−2x2+1'=x3−4x.
Có y" = (x3 – 4x)' = 3x2 – 4.
Vậy y" = 3x2 – 4.
b) y'=2x+1x−1'=2x+1'⋅x−1−2x+1⋅x−1'x−12
=2⋅x−1−2x+1x−12=−3x−12
y''=−3x−12'=−31x−12'=−3⋅−2x−13=6x−13
Vậy y''=6x−13
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) y = ln|2x – 1|;
b) y=tanx+π3
a) y' = (ln|2x – 1|)' = 2x−1'2x−1=22x−1
y''=22x−1'=2⋅−22x−12=−42x−12
Vậy y''=−42x−12
b) y'=tanx+π3'=x+π3'cos2x+π3=1cos2x+π31+tan2x+π3
y''=1+tan2x+π3'=2tanx+π3⋅tanx+π3'
=2tanx+π3⋅x+π3'cos2x+π3=2tanx+π3⋅1cos2x+π3
=2tanx+π3⋅1+tan2x+π3=2tanx+π3+2tan3x+π3
Vậy y''=2tanx+π3+2tan3x+π3
Cho hàm số fx=xex2+lnx+1. Tính f'(0) và f"(0).
Có f'x=xex2+lnx+1'=xex2'+lnx+1'
=ex2+xex2⋅x2'+1x+1
=ex2+2x2ex2+1x+1
f''x=ex2+2x2ex2+1x+1'=ex2'+2x2ex2'+1x+1'
=2xex2+4xex2+4x3ex2−1x+12=6xex2+4x3ex2−1x+12
Khi đó f'0=e02+2⋅0⋅e02+10+1=2
f''0=6⋅0⋅e02+4⋅03e02−10+12=−1
Vậy f'(0) = 2 và f"(0) = −1.
Cho f(x) = (x2 + a)2 + b (a, b là tham số). Biết f(0) = 2 và f"(1) = 8, tìm a và b.
Vì f(0) = 2 nên (02 + a)2 + b = 2 Û a2 + b = 2. (1)
Có f'(x) = 2(x2 + a)×(x2 + a)' = 4x×(x2 + a); f"(x) = 4×(x2 + a) + 8x2.
Mà f"(1) = 8 nên 4×(12 + a) + 8×12 = 8 Û a + 1 = 0 Û a = −1.
Thay a = −1 vào (1), ta được (−1)2 + b = 2 Û b = 1.
Vậy a = −1; b = 1.
Phương trình chuyển động của một hạt được cho bởi công thức st=15+2sin4πt+π6, trong đó s tính bằng centimét và t tính bằng giây. Tính gia tốc của hạt tại thời điểm t = 3 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).
Có s't=15+2sin4πt+π6'=2cos4πt+π6⋅4πt+π6'
=4π2cos4πt+π6
s''t=4π2cos4πt+π6'=−4π2sin4πt+π6⋅4πt+π6'
=−16π22sin4πt+π6
Gia tốc của hạt tại thời điểm t = 3 giây là
a(3) = s''3=−16π22sin12π+π6 =−8π22≈−111,7m/s2.
Vậy gia tốc của hạt tại thời điểm t = 3 giây khoảng – 111,7 m/s2.
