Bài tập Tính đạo hàm cấp hai của một số hàm đơn giản lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Tập xác định: D = ℝ

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số đa thức:

y′ = (x⁴ – 3x² + 2x – 1)′ = 4x³ – 6x + 2

⇒ y′′ = (4x³ – 6x + 2)′ = 12x² – 6.

Đáp án đúng là: B

Ta có:

y′ = [sin(3x – 1)]′ = (3x – 1)′ ⋅ cos(3x – 1) = 3cos(3x – 1)

⇒ y′′ = [3cos(3x – 1)]′ = 3[–(3x – 1)′ ⋅ sin(3x – 1)] = 3[–3sin(3x – 1)] = –9sin(3x – 1).

Đáp án đúng là: A

Ta có: f′(x) = [ln(3x + 1)]′ = \(\frac{{{{\left( {3x + 1} \right)}^\prime }}}{{3x + 1}} = \frac{3}{{3x + 1}}\)

⇒ f′′(x) = \({\left[ {\frac{3}{{3x + 1}}} \right]^\prime }\) = 3 ⋅ \(\left[ { - \frac{{{{\left( {3x + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}}} \right]\) = 3 ⋅ \(\left[ { - \frac{3}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}}} \right]\) = \( - \frac{9}{{{{\left( {3x + 1} \right)}^2}}}\)

Thay x = 1 vào f′′(x), ta được:

f′′(1) = \( - \frac{9}{{{{\left( {3 \cdot 1 + 1} \right)}^2}}} = - \frac{9}{{{4^2}}} = - \frac{9}{{16}}\).

Đáp án đúng là: A

Tập xác định: D = ℝ

Ta có: f′(x) = (x ⋅ e^3x)′ = x′ ⋅ e^3x + x ⋅ (e^3x)′ = e^3x + x ⋅ 3e^3x = e^3x(3x + 1)

⇒ f′′(x) = \({\left[ {{e^{3x}}\left( {3x + 1} \right)} \right]^\prime }\)= (e^3x)′ ⋅ (3x + 1) + e^3x(3x + 1)′

⇒ f′′(x) = 3e^3x(3x + 1) + 3e^3x = 3e^3x(3x + 1 + 1) = 3e^3x(3x + 2).

Đáp án đúng là: A

Tập xác định: D = ℝ \{–1}

Ta có: y′ = \({\left( {\frac{{2x - 1}}{{x + 1}}} \right)^\prime } = \frac{{2\left( {x + 1} \right) - \left( {2x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{3}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) = 3(x + 1)^–2

⇒ y′′ = [3(x + 1)^-2]′ = 3 ⋅ (–2) ⋅ (x + 1)^–3 = \( - \frac{6}{{{{\left( {x + 1} \right)}^3}}}\)

Thay x = –2 vào đạo hàm cấp hai, ta được:

y′′(–2) = \( - \frac{6}{{{{\left( { - 2 + 1} \right)}^3}}} = - \frac{6}{{{{\left( { - 1} \right)}^3}}}\) = 6.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: f′(x) = (x³ – 3x² + 5x – 2)′ = 3x² – 6x + 5.

b) Đúng. Theo câu a), f′(x) = 3x² – 6x + 5

⇒ f′′(x) = (3x² – 6x + 5)′ = 6x – 6.

c) Sai. Cho f′′(x) = 0 ⇔ 6x – 6 = 0 ⇔ 6x = 6 ⇔ x = 1

Do đó, nghiệm của phương trình f′′(x) = 0 là x = 1 ≠ 2.

d) Đúng. Thay x = 2 vào biểu thức f′′(x), ta được:

f′′(2) = 6 ⋅ 2 – 6 = 12 – 6 = 6.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có: y′ = (cos2x)′ = –(2x)′ ⋅ sin2x = –2sin2x.

b) Đúng. Theo câu a), y′ = –2sin2x

⇒ y′′ = (–2sin2x)′ = –2 ⋅ (2x)′ ⋅ cos2x = –4cos2x.

c) Đúng. Với mọi x ∈ ℝ, ta có: y′′ + 4y = –4cos2x + 4cos2x = 0.

d) Sai. Thay x = \(\frac{\pi }{4}\) vào biểu thức y′′, ta được:

y′′\(\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\) = –4cos\(\left( {2 \cdot \frac{\pi }{4}} \right)\) = –4cos\(\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\) = –4 ⋅ 0 = 0

Do đó, y′′\(\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\) = 0 ≠ 4.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.

a) Đúng. Ta có: y′ = (\({e^{ - {x^2}}}\))′ = (–x²)′ ⋅ \({e^{ - {x^2}}}\) = –2x\({e^{ - {x^2}}}\).

b) Đúng. Theo câu a), ta có: y′ = –2x\({e^{ - {x^2}}}\)

⇒ y′′ = (–2x\({e^{ - {x^2}}}\))′ = (–2x)′ ⋅ \({e^{ - {x^2}}}\) + (–2x) ⋅ (\({e^{ - {x^2}}}\))′

⇒ y′′ = –2\({e^{ - {x^2}}}\) + (–2x)(–2x\({e^{ - {x^2}}}\)) = –2\({e^{ - {x^2}}}\) + 4x²\({e^{ - {x^2}}}\) = (4x² – 2)\({e^{ - {x^2}}}\).

c) Sai. Thay x = 0 vào biểu thức y′′, ta được: y′′(0) = (4 ⋅ 0² – 2)\({e^{ - {0^2}}}\) = –2 ⋅ 1 = –2.

Do đó, y′′(0) = –2 ≠ 2.

d) Sai. Ta có: \({e^{ - {x^2}}}\) > 0 với mọi x ∈ ℝ

Do đó, y′′ > 0 ⇔ (4x² – 2)\({e^{ - {x^2}}}\) > 0 ⇔ 4x² – 2 > 0

⇔ x² > \(\frac{1}{2}\) ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x > \frac{{\sqrt 2 }}{2}\\x < - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\end{array} \right.\)

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S = \(\left( { - \infty ; - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) \cup \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}; + \infty } \right)\).

Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Đúng.

a) Sai. Ta có: f′(x) = [ln(2x – 1)]′ = \(\frac{{{{\left( {2x - 1} \right)}^\prime }}}{{2x - 1}} = \frac{2}{{2x - 1}}\).

Do đó, f′(x) = \(\frac{2}{{2x - 1}}\).

b) Đúng. Đạo hàm cấp hai của hàm số là: f′′(x) = \({\left( {\frac{2}{{2x - 1}}} \right)^\prime } = \frac{{ - 2 \cdot {{\left( {2x - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}} = - \frac{4}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\).

c) Đúng. Thay x = 1 vào biểu thức f′′(x), ta được:

f′′(1) = \( - \frac{4}{{{{\left( {2 \cdot 1 - 1} \right)}^2}}} = \frac{{ - 4}}{{{1^2}}}\) = –4.

d) Đúng. Với mọi x ∈ \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\), ta có 2x – 1 > 0 ⇒ (2x – 1)² > 0

⇒ f′′(x) = \(\frac{{ - 4}}{{{{\left( {2x - 1} \right)}^2}}}\) < 0 với mọi x ∈ \(\left( {\frac{1}{2}; + \infty } \right)\).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có: y′ = \({\left( {\sqrt {2x + 3} } \right)^\prime } = \frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {2x + 3} }} = \frac{2}{{2\sqrt {2x + 3} }} = \frac{1}{{\sqrt {2x + 3} }}\).

b) Đúng. Đạo hàm cấp hai của hàm số là:

y′′ = \({\left( {\frac{1}{{\sqrt {2x + 3} }}} \right)^\prime } = \left( {{{\left( {2x + 3} \right)}^{ - \frac{1}{2}}}} \right)\) = \( - \frac{1}{2}\) ⋅ (2x + 3)′ ⋅ \({\left( {2x + 3} \right)^{ - \frac{3}{2}}}\)

= \( - \frac{1}{2}\) ⋅ 2 ⋅ \(\frac{1}{{\sqrt {{{\left( {2x + 3} \right)}^3}} }}\) = \( - \frac{1}{{\sqrt {{{\left( {2x + 3} \right)}^3}} }}\).

c) Đúng. Thay x = 3 vào biểu thức y′′, ta được:

y′′(3) = \( - \frac{1}{{\sqrt {{{\left( {2 \cdot 3 + 3} \right)}^3}} }} = - \frac{1}{{\sqrt {{9^3}} }} = - \frac{1}{{{3^3}}} = - \frac{1}{{27}}\).

d) Sai. Với mọi x > \( - \frac{3}{2}\), ta có:

y′′ ⋅ (2x + 3) + (y′)² = \(\left[ { - \frac{1}{{\sqrt {{{\left( {2x + 3} \right)}^3}} }}} \right]\) ⋅ (2x + 3) + \({\left( {\frac{1}{{\sqrt {2x + 3} }}} \right)^2}\)

= \( - \frac{1}{{\sqrt {2x + 3} }}\) + \(\frac{1}{{2x + 3}}\) ≠ 0

Do đó, biểu thức y′′ ⋅ (2x + 3) + (y′)² = \( - \frac{1}{{\sqrt {2x + 3} }}\) + \(\frac{1}{{2x + 3}}\) ≠ 0.

Đáp án: -8

Tập xác định: D = ℝ

Ta có: y′ = (x⁵ – 2x³ + x)′ = 5x⁴ – 6x² + 1

⇒ y′′ = (5x⁴ – 6x² + 1)′ = 20x³ – 12x

Thay x = –1 vào biểu thức y′′, ta được:

y′′(–1) = 20 ⋅ (–1)³ – 12 ⋅ (–1) = –20 + 12 = –8.

Đáp án: -6

Tập xác định: D = ℝ

Ta có: f′(x) = (sin2x + cos2x)′ = 2cos2x – 2sin2x

⇒ f′′(x) = (2cos2x – 2sin2x)′ = –4sin2x – 4cos2x

Tính giá trị các đạo hàm tại các điểm yêu cầu:

f′′(0) = –4sin(0) – 4cos(0) = –4 ⋅ 0 – 4 ⋅ 1 = –4

f′\(\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\) = 2cos\(\left( {2 \cdot \frac{\pi }{4}} \right)\) – 2sin\(\left( {2 \cdot \frac{\pi }{4}} \right)\) = 2cos\(\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\) – 2sin\(\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\) = 2 ⋅ 0 – 2 ⋅ 1 = –2

Do đó, giá trị của biểu thức P là: P = f′′(0) + f′\(\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\) = –4 + (–2) = –6.

Đáp án: 4

Tập xác định: D = ℝ

Ta có: y′ = (e^{2x – 1})′ = (2x – 1)′ ⋅ e^{2x – 1} = 2e^{2x – 1}

⇒ y′′ = (2e^{2x – 1})′ = 2 ⋅ (2x – 1)′ ⋅ e^{2x – 1} = 2 ⋅ 2 ⋅ e^{2x – 1} = 4e^{2x – 1}

Theo đề bài, y′′ = a ⋅ e^{2x – 1}

Đồng nhất hệ số ⇒ a = 4

Vậy a = 4.

Đáp án: 0

Tập xác định: D = ℝ (vì x² + 1 > 0 với mọi x ∈ ℝ)

Ta có: y′ = [ln(x² + 1)]′ = \(\frac{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}\)

⇒ y′′ = \({\left( {\frac{{2x}}{{{x^2} + 1}}} \right)^\prime } = \frac{{{{\left( {2x} \right)}^\prime }\left( {{x^2} + 1} \right) - 2x{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\)

⇒ y′′ = \(\frac{{2\left( {{x^2} + 1} \right) - 2x \cdot 2x}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} + 2 - 4{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2 - 2{x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}}\)

Thay x = 1 vào biểu thức y′′, ta được: y′′(1) = \(\frac{{2 - 2 \cdot {1^2}}}{{{{\left( {{1^2} + 1} \right)}^2}}} = \frac{{2 - 2}}{{{2^2}}} = \frac{0}{4}\) = 0.

Đáp án: 2

Tập xác định: D = ℝ

Ta có: y′ = \({\left( {\frac{1}{3}{x^3} - m{x^2} + \left( {m + 2} \right)x - 5} \right)^\prime }\) = x² – 2mx + m + 2

⇒ y′′ = (x² – 2mx + m + 2)′ = 2x – 2m

Theo bài ra, ta có y′′(2) = 0

⇒ 2 ⋅ 2 – 2m = 0 ⇔ 4 – 2m = 0 ⇔ 2m = 4 ⇔ m = 2

Vậy giá trị m cần tìm là m = 2.