Bài tập Tổ hợp - Xác suất cơ bản, nâng cao có lời giải chi tiết (P8)

Đáp án A

Rút ngẫu nhiên 2 thẻ trong 9 thẻ có $C_9^2$ cách $\Rightarrow n\left(\Omega \right)=C_9^2$

Gọi X là biến cố “hai thẻ rút được có tích 2 số ghi trên 2 thẻ là số lẻ”

Khi đó 2 thẻ rút ra đều phải đưuọc đánh số lẻ => có $C_5^2$ cách => $n\left(X\right)=C_5^2$.

Vậy xác suất cần tính là $P=\frac{n\left(X\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{C_5^2}{C_9^2}=\frac{5}{18}$.

Đáp án A

Có $C_3^1$ cách chọn người được 2 đồ vật. Có $C_8^2$ cách chọn đồ vật đưa cho người đó.

Có $C_6^3$ cách đưa đồ vật cho 2 người còn lại mà mỗi người 3 đồ vật.

Vậy có $C_3^1.C_8^2.C_6^3=1680$ cách chọn.

Đáp án D

Chú ý 4 cạnh khác nhau

Có $C_6^4$ cách chọn 4 màu khác nhau. Từ mỗi bộ 4 màu thì có 4! = 24 cách tô màu khác nhau.

Có $C_6^3$ cách chọn 3 màu khác nhau. Từ mỗi bộ 3 màu, có 4.3 = 12 cách tô.

Có $C_6^2$ cách chọn 2 màu khác nhau khi đó có: 2.1 = 2 cách tô.

Tổng cộng: $24.C_6^4+4.3C_6^3+2.C_6^2=630$ cách.

Đáp án B

Giả sử đáy của hình chóp có n cạnh => 2n = 20 <=> n = 10 => số mặt là 10 + 1 = 11.

Đáp án C

Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh trong 20 đỉnh có $C_{20}^3$ cách => $n\left(\Omega \right)=1140$.

Đa giác đều 20 đỉnh có 10 đường chéo đi qua tâm đa giác mà cứ 2 đường chéo tạo thành 1 hình chữ nhật và 1 hình chữ nhật tạo thành 4 tam giác vuông => số tam giác vuông là $4.C_{10}^2=180$.

Tuy nhiên, trong $C_{10}^2$ hình chữ nhật có 5 hình vuông nên số tam giác vuông cân là 5.4 = 20.

Do đó, số kết quả thuận lợi cho biến cố X là n(X) = 180 – 20 = 160. Vậy $P=\frac{n\left(X\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{8}{57}$.

Đáp án B    

Số cần lập là $\overline{abcdef}$, ta có a + b + c – 1 = d + e + f <=> 20 = 2(d + e + f) <=> d + e + f = 10

Với mỗi $f\in \{1;3;5\}$ => d, e có 4 cách chọn, suy ra $\overline{abcdef}$ có 4.3! = 24 cách chọn

Suy ra có 3.24 = 72 số có thể lập thỏa mãn đề bài.

Đáp án D

Lấy ngẫu nhiên 4 bi từ hộp bi, ta có $C_{35}^4=52630$ cách.

Gọi A là biến cố “lấy được 4 bi có đủ 2 màu”, ta có

+TH1: 1 đỏ, 3 xanh, suy ra có $C_{15}^1{C}_{30}^3=17100$ cách.

+TH2: 2 đỏ, 2 xanh, suy ra có $C_{15}^2{C}_{30}^2=19950$ cách.

+TH3: 3 đỏ, 1 xanh, suy ra có $C_{15}^3{C}_{30}^1=9100$ cách.

Suy ra P(A) = $\frac{17100+19950+9100}{526300}=\frac{4615}{5263}$

Đáp án C

Số cách chọn là $C_8^4{C}_6^2=1050$ cách.

Đáp án D

Số tam giác tạo thành khi chọn ngẫu nhiên 3 điểm là: $C_{2n}^3$

Số đường chéo đi qua tâm là n => số hình chữ nhật nhận 2 đường chéo đi qua tâm làm 2 đường chéo là: $C_n^2$.

Số tam giác vuông được tạo thành là: $4.C_n^2$.

Ta có: $\frac{4C_n^2}{C_{2n}^3}=\frac{1}{5}\Rightarrow n=\frac{1}{8}.$

Đáp án A

Số đoạn thẳng được tạo thành là $C_{10}^2=45$.

Đáp án D

Số các số thỏa mãn đề bài là $A_6^3=120$ số.

Đáp án C

Số các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một là 5! = 120.

Đáp án A

Chọn ra 2 người lấy bất kỳ có: $C_{11}^2$ cách chọn.

Chọn được 1 nam và 1 nữ có: $C_6^1.C_5^1$ cách chọn.

Do đó: $P=\frac{C_6^1{C}_5^1}{C_{11}^2}$.

Đáp án A

Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh trong 20 đỉnh có $C_{20}^4$ cách => $n\left(\Omega \right)=4845$

Đa giác 20 cạnh có 10 đường chéo đi qua tâm mà cứ 2 đường chéo đi qua tâm tạo thành một hình chữ nhật. Suy ra số hình chữ nhật tạo từ 10 đường chéo là $C_{10}^2=45$.

Tuy nhiên trong 45 hình chữ nhật này có 5 hình vuông => Số hình chữ nhật cần tính là 40

Vậy xác suất cần tính là $P=\frac{40}{n\left(\Omega \right)}=\frac{40}{4845}=\frac{8}{969}$.

Đáp án C

Gieo 2 lần ta có 36 kết quả, trong đó có 18 trường hợp ra tổng 2 lần chẵn, 18 trường hợp ra lẻ.

Đến lần gieo thứ 3, ta có

+) Nếu tổng 2 lần trước là chẵn, lần 3 là chẵn thì tổng 3 lần chẵn, suy ra có 3 kết quả

+) Nếu tổng 2 lần trước là lẻ, lần 3 là lẻ thì tổng 3 lần chẵn, suy ra có 3 kết quả

Với 18 lần chẵn và 18 lần được lẻ trong 2 lần gieo trước, số các kết quả thỏa mãn là 18.3 + 18.3 = 108.

Đáp án D

Đáp án B

Gọi số cần lập là $\overline{abcd}$

TH1: d = 0 có 5.4.3 = 60 số thỏa mãn

TH2: d = {2;4} có 2.4.4.3 = 96 số thỏa mãn

Vậy có 156 số

Đáp án C

Số tam giác tạo được bằng $C_6^2=15$.

Đáp án B

Tổng số người tăng lên trong năm 2027 là: 1,5(1+1,5%)¹⁰ - 1,5(1+1,5%)⁹ = 25726 người.

Số dân tăng lên này bằng số người sinh ra trừ số người tử vong năm 2027

Do đó trong năm 2027 có 25723 + 2700 = 28426 người.

Đáp án A

Phương trình vận tốc của vật là v(t) = s’(t) = 3t² – 4t + 3

Phương trình gia tốc là: a = v’(t) = 6t – 4 => a(2) = 8 m/s².

Đáp án B

Có các cách chọn sau:

+) 1 bi đỏ, 1 bi vàng, 3 bi xanh, suy ra có $C_6^1{C}_7^1{C}_5^3=420$ cách.

+) 2 bi đỏ, 2 bi vàng, 1 bi xanh, suy ra có $C_6^2{C}_7^2{C}_5^1=1575$ cách.

Suy ra xác suất bằng $\frac{420+1575}{C_{18}^5}=\frac{95}{408}$.

Đáp án B

Kí hiệu 10 ghế như sau:  

Trong đó: D là ghế đỏ (dành cho nữ) và X là ghế xanh (dành cho nam)

+ Số cách xếp nữ vào ghế đỏ, nam vào ghế xanh là M = 4!6!

+ Số cách xếp sao cho Quang được ngồi cạnh Huyền (kí hiệu là N)

- Chọn 2 ghế liên tiếp khác màu: $C_6^1$ cách

- Xếp Quang và Huyền vào 2 ghế đó (1 cách) và xếp các bạn kia vào các ghế còn lại (3!5! cách)

=> N = 3!5!.6 => N = 3!.6!

+ Số cách xếp thỏa mãn điều kiện đề bài là M – N = 12960 cách

Xác suất cần tìm là $\frac{12960}{10!}=\frac{1}{280}$.

Đáp án D

Số giao điểm tối đa của 10 đường thẳng phân biệt khi không có 3 đường thẳng nào đồng quy và không có hai đường thẳng nào song song. Và cứ hai đường thẳng ta lại có 1 giao điểm suy ra số giao điểm chính là số cặp đường thẳng bất kì lấy từ 10 đường thẳng phân biệt. Như vậy, ta có $C_{10}^2=45$ giao điểm.

Đáp án D

Áp dụng công thức 73 = 50(1+r)⁸ ta được lãi suất một quý là $r=\sqrt[8]{\frac{73}{50}}-1\approx 0,0484$.

Do đó lãi suất một tháng là $r:3\approx 0,0161$.

Đáp án B

Có $n\left(\Omega \right)=C_{12}^3$

Giả sử chọn 3 người có số thứ tự trong hàng lần lượt là a, b, c

Theo giả thiết ta có: a < b < c, b – a > 1, c – b > 1, $a, b, c\in \{1, 2,...,12\}.$