Bài tập Hình học không gian cơ bản, nâng cao có lời giải (P1)

Đáp án A

Gọi H là hình chiếu của điểm A trên mặt phẳng (BCD). Do ABCD là tứ diện đều nên tâm H là tâm đường trong ngoại tiếp $∆$BCD.

Đặt cạnh của tứ diện là a. Gọi M  là trung điểm của CD.

Do $∆$BCD đều nên 

Ta có $∆$ABH vuông tại H nên 

Từ giả thiết ta có 

Vậy thể tích của tứ diện ABCD là

Đáp án C

Thể tích khối cầu là 

Đáp án B

Áp dụng định lý hàm số sin, ta có 

Lai có:

Khi quay $∆$ABC quanh AC thì $∆$BHC tạo thành hình nón tròn xoay (N) có đường sinh

bán kính đáy 

Diện tích xung quanh hình nón (N) là:

Đáp án B

Gọi I là hình chiếu của điểm S trên mặt phẳng (ABC). Do SA = SB = SC nên IA = IB = IC => I là tâm đường tròn ngoại tiếp $∆$ABC . Mà $∆$ABC vuông cân tại A nên I là trung điểm của BC và IA = IB = IC = BC/2 = $\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Ta có IA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng (ABC) nên 

Do $∆$SIA vuông tại I nên  vuông cân tại I, khi đó :

Đáp án C

Ta dễ dàng chứng minh được AA'//(BCC'B')

Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Suy ra A'G$\perp$(ABC)

Ta có  

Lại có 

 Ta luôn có 

Gọi M, M' lần lượt là trung điểm của BC và B'C'. Ta có  .

Mà MM'//BB' nên BC$\perp$BB' => BCC'B' là hình chữ nhật 

Từ: 

Đáp án C

Ta có 

Suy ra 

$∆$A'AC vuông tại B nên 

Suy ra:

Xét hàm số 

Xét hàm số  

Ta có 

Lập bảng biến thiên, suy ra 

Đáp án C.

+ ADC'B' là hình bình hành.

+ II'//AD => II'//(ADD'A') và $\stackrel{\rightharpoonup }{II\text{'}} = \stackrel{\rightharpoonup }{AD}$ nên đáp án A, B là đúng.

+ II'//(ABCD) nên II' và DC không có điểm chung nên đáp án D đúng.

+ (ABB'A') // (BCC'B') = BB' và tức là II' và BB' không cùng thuộc một mặt phẳng nên đáp án C sai.

Đáp án A.

Vẽ DH$\perp$A'C

Ta có: 

Vậy góc giữa hai mặt phẳng (BA'C) và (DA'C) là góc $\widehat{BHD}$

Trong $∆$A'DC vuông tại D 

Trong $∆$HBD có 

Suy ra góc giữa hai mặt phẳng (BA'C) và (DA'C) là góc 60°.

Đáp án D.

Kẻ Ax//BC, HI$\perp$Ax; HK$\perp$SI. 

Gọi M là trung điểm của AB

Ta có AI$\perp$(SHI)=> AI$\perp$HK=> HK$\perp$(SAI)=>d(H,(Sax)) = HK

Góc giữa SC và (ABC) là góc $\widehat{SCH} = {60}^0$

Ta có:

Đáp án C.

Ta có bán kính đáy khối nón là $\frac{a}{2}$ , chiều cao của khối nón là  $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Vậy: 

Đáp án B.

Gọi H là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác ABC, K là trung điểm SC.

Ta có:  

SH = SC => HK  là trung trực SC. Qua O kẻ trục d//SH => d$\perp$(ABC)

Gọi

=> I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC

Ta có

Xét $∆$HIG vuông tại G: 

Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp 

Đáp án A.

Gọi $R_1, h_1$  lần lượt là bán kính đường tròn đáy và chiều cao của hình nón lúc đầu; $R_2, h_2$ lần lượt là bán kính đường tròn đáy và chiều cao của hình nón sau khi tăng thể tích.

Diện tích xung quanh của hình nón lúc đầu: 

Diện tích xung quanh hình nón khi tăng thể tích: 

Diện tích phần giấy bạc cần tăng thêm:$S = (12\sqrt{13} - 15)\mathrm{\pi } \left({\mathrm{cm}}^2\right)$ 

Đáp án A.

Ta có: (chiều cao của hình chóp)

Diện tích hình vuông 

Thể tích khối chóp SABCD là: 

Đáp án D.

Gọi M là trung điểm BC, dựng 

$∆$AA'G vuông tại G, GH là đường cao => A'G = $\frac{1}{3}$

Vậy 

Đáp án B.

Ta có: AB = 2MN = 10 cm

Đáp án A.

Đáp án A

Ta có chiều cao của khối nón bán kính hình tròn đáy lần lượt là

h = AB = a và r = AC = 

Suy ra thể tích của khối nón là 

Phân tích phương án nhiễu.

Phương án B: Sai do HS thiếu $\frac{1}{3}$ trong công thức tính thể tích.

Phương án C: Sai do HS xác định  h = a$\sqrt{3}$  và bán kính đáy r = a nên

Phương án D: Sai do HS nhớ sai công thức tính thể tích khối nón

Đáp án A.

Đáp án C.

Ta có AC là hình chiếu vuông góc của A'C trên mặt phẳng (ABCD).

Lại do CC'$\perp$(ABCD) nên tam giác C'AC vuông tại C

Suy ra 
 

Ta có 

Phân tích phương án nhiễu

Phương án A: Sai do HS tính được $\tan \alpha \frac{\sqrt{2}}{2}$ và cho rằng $\alpha = \frac{\mathrm{\pi }}{4}$

Phương án B: Sai do HS tính sai $\tan \alpha = \frac{AC}{AC\text{'}} = \sqrt{2}$ nên suy ra 

Phương án D: Sai do HS tính sai $\tan \alpha = \frac{CC\text{'}}{AC\text{'}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ nên suy ra $\alpha = \frac{\mathrm{\pi }}{6}$

Đáp án A

Ta có 

Tam giác SAC vuông tại A có đường cao AH nên

Do đó 

Mặt khác 

Suy ra

Phân tích phương án nhiễu.

Phương án B: Sai do HS tính sai  

Do đó tính được 

Phương án C: Sai do HS tính được  nên:

Phương án D: Sai do HS nhầm với tỷ số thể tích của hai khối SABC và HABC

Đáp án A.

Gọi M là trung điểm của BC thì BC$\perp$(A'AM)

Từ A kẻ AH$\perp$A'M, 

Suy ra 

Góc giữa đường thẳng A'B và mặt phẳng (ABC) bằng góc  $\widehat{A\text{'}MA}$

Theo giả thiết ta có $\widehat{A\text{'}MA}$ = ${60}^0$

Đặt AB = 2x 

Từ giả thiết ta có 

Do đó:

Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' là $V = \frac{125\sqrt{3}}{96}{a}^3$ 

Phân tích phương án nhiễu.

Phương án B: Sai do HS tính đúng như trên nhưng nhớ nhầm công thức tính thể tích khối lăng trụ sang công thức tính thể tích khối chớp.

Cụ thể 

Phương án C: Sai do HS giải như trên  và tìm được  nhưng lại tính sai diện tích tam giác ABC. Cụ thể 

Do đó tính được 

Phương án D: Sai do HS tính đúng như trên nhưng tính sai diện tích tam giác ABC. Cụ thể: 

Do đó tính được $V = \frac{125\sqrt{3}}{48}{a}^3$