Bài tập Cấp số cộng, cấp số nhân cơ bản, nâng cao (P6)

Chọn C

Dễ thấy $\left|u_n\right|=\left|\frac{{(-1)}^{n-1}}{n+1}\right|=\frac{1}{n+1}<1$$,\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$

nên $\left(u_n\right)$ là dãy số bị chặn

Lại có $u_9=\frac{1}{10};u_{10}=\frac{-1}{11};u_{11}=\frac{1}{12};u_{12}=\frac{-1}{13}$

Suy ra dãy $\left(u_n\right)$ không phải là dãy số tăng cũng không phải là dãy số giảm.

Do đó đáp án C sai

Chọn D

Theo công thức cấp số cộng ta có:

$2(2a^2-1)=(1+2a)+(-2a)$

$\iff a^2=\frac{3}{4}\iff a=\pm =\frac{\sqrt{3}}{2}$

Chọn B.

$T=\frac{1}{u_1-u_5}+\frac{1}{u_2-u_6}+\frac{1}{u_3-u_7}+...+\frac{1}{u_{20}-u_{24}}$

$=\frac{1}{1-q^4}\left(\frac{1}{u_1}+\frac{1}{u_2}+\frac{1}{u_3}+...+\frac{1}{u_{20}}\right)$

$=\frac{1}{1-q^4}.\frac{1}{u_1}.\frac{{\left({\displaystyle \frac{1}{q}}\right)}^{20}-1}{{\displaystyle \frac{1}{q}}-1}$

$=\frac{1-2^{20}}{15.2^{19}}$

Chọn đáp án A.

Ta có $u_{n+1}-u_n=3(n+1)-2-3n+2=3$

Suy ra $d=3$ là công sai của cấp số cộng

Chọn đáp án B.

Giả sử $-192$ là số hạng thứ n của $\left(u_n\right)$ với $n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$

Ta có:

$-192=u_1.q^{n-1}\iff 64={(-2)}^{n-1}$

$\iff 6=n-1\iff 7=n$

Do đó $-192$ là số hạng thứ 7 của $\left(u_n\right)$

Chọn C

Nếu ${(u}_{}^{}$_n)n=1+∞ là cấp số cộng có $u_1\ne 0$ và công sai d

thì $S_h=u_1+u_2+...+u_n=\frac{n}{2}\left(u_1+u_n\right)$

Áp dụng với n=100, ta chọn C

Đáp án là C

Ta có $\frac{S_p}{S_q}=\frac{p^2}{q^2}$

$\iff \frac{p\left[2u_1+(p-1)d\right]}{q\left[2u_1+(q-1)d\right]}=\frac{p^2}{q^2}$

$\iff q\left[2u_1+(p-1).d\right]=p\left[2u_1+(q-1).d\right]$

$\iff 2u_1(q-p)+(p-q)d=0$

$\iff d=2u_1$

Nếu u₁ = 0 thì d = 0. Khi đó S_n = 0 với mọi n, (mâu thuẫn giả thiết).

Suy ra $u_1\ne 0$

Do đó: $\frac{u_{2018}}{u_{2019}}=\frac{u_1+2017.2u_1}{u_1+2018.2u_1}=\frac{4035}{4037}$

Đáp án là D

Ta có dãy u_n là cấp số cộng khi $u_{n+1}-u_n=d,\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$ với là hằng số

Bằng cách tính 3 số hạng đầu của các dãy số ta dự đoán đáp án D

Xét hiệu $u_{n+1}-u_n=\frac{5}{3}$$,\forall n\in \mathrm{\mathbb{N}}*$

Vậy dãy $u_n=\frac{5n-2}{3}$ là cấp số cộng

Đáp án là B

$u_1=5,u_2=6,u_3=8,u_4=11,u_5=16,u_6=20$

Vậy số là 20 số hạng thứ 6

Chọn B

Ta thấy, với $\forall n\ge 2,n\in \mathrm{\mathbb{N}}$ dãy số $\left(u_n\right)=2^n$ có tính chất:

$\frac{u_n}{u_{n-1}}=\frac{2^n}{2^{n-1}}=2$ nên là cấp số nhân với công bội $q=2,u_1=2$

Chọn D

Cấp số nhân $\left(u_n\right)$ có số hạng đầu $u_1$ và công bội $q$

Do $S_n=6^n-1$ nên $q\ne 1$

Khi đó $S_n=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}=6^n-1$

Ta có : $S_1=\frac{u_1(1-q)}{1-q}\iff u_1=5$

$S_2=\frac{u_1\left(1-q^2\right)}{1-q}\iff q=6$

Vậy $u_5=u_1.q^4=6480$

Đáp án là A

Gọi cấp cố cộng có công sai là $d$ ta có

$u_2=u_1+d; u_3=u_1+d; u_4=u_1+3d$

Khi đó $\left\{\begin{array}{l}{u}_1+u_4=8\\ u_3-u_2=2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}2u_1+3d=8\\ d=2\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=1\\ d=2\end{array}\right.$

Áp dụng công thức $S=n{u}_1+\frac{n\left(n-1\right)}{2}d$

Vậy tổng của $10$ số hạng đầu của cấp số cộng là

$S_{10}=10.1+\frac{10.9}{2}.2=100$

Đáp án là D

Do a, b, c là ba số liên tiếp của một cấp số cộng có công sai là 2

nên b = a + 2, c = a + 4

a + 1, a + 3, a + 7 là ba số liên tiếp của một cấp số nhân

$\iff \left(a+1\right)\left(a+7\right)={\left(a+3\right)}^2$

$\iff a=1$

Với $a=1$ ta có $\left\{\begin{array}{l}b=3\\ c=5\end{array}\right.$

Suy ra $a+b+c=9$

Đáp án là A

Dãy số đã cho là cấp số cộng có $u_1=5; u_2=9$

$\Rightarrow d=u_2-u_1=4$

Do đó $u_n=u_1+\left(n-1\right).d=4n+1$

Vậy $u_n=4n+1$

Đáp án là B

Ba số $2x-1; x; 2x+1$ theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân khi

$x^2=\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)$

$\iff x^2=4x^2-1\iff x=\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$

Đáp án là D

Ta có: $u_{11}=\frac{{11}^2+2.11-1}{11+1}=\frac{71}{6}$

Đáp án là A

Ta có:

$S=3^{19}{C}_{20}^0+3^{18}{C}_{20}^1+3^{17}{C}_{20}^2+...+\frac{1}{3}{C}_{20}^{20}$

$3S=3^{20}{C}_{20}^0+3^{19}{C}_{20}^1+3^{18}{C}_{20}^2+..+C_{20}^{20}$

Xét khai triển:

${\left(3+1\right)}^{20}=C_{20}^0{3}^{20}{1}^0+C_{20}^1{3}^{19}{1}^1+C_{20}^2{3}^{18}{1}^2+...+C_{20}^{20}{3}^0{1}^{20}$

$\iff 3S=4^{20}$

Đáp án là A

Ta có:$\left\{\begin{array}{l}{u}_4=-12\\ u_{14}=18\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1+3d=-12\\ u_1+13d=18\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_1=-21\\ d=3\end{array}\right.$

Tổng của 16 số hạng đầu tiên của cấp số cộng là:

$S_{16}=16.(-21)+\frac{16.15}{2}.3=24$

Đáp án B

Ta có $u_4=u_1+3d=17$

Chọn D

Ta có: u₁ = 5 nên thay n = 1 vào 4 đáp án thấy chỉ có đáp án D đúng

Chọn D.

Ta có: $\left\{\begin{array}{l}{u}_1-u_3+u_5=65\\ u_1+u_7=325\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}{u}_1(1-q^2+q^4)=65\left(1\right)\\ u_1(1+q^6)=325\left(2\right)\end{array}\right.$

Chia từng vế của (1) cho (2) ta được phương trình:

$\frac{1-q^2+q^4}{1+q^6}=\frac{1}{5}$

$\iff q^6-5q^4+5q^2-4=0(*)$

Đặt $t=q^2,t\ge 0$

Phương trình (*) trở thành:

$t^3-5t^2+5t-4=0$

$\iff \left(t-4\right)(t^2-t+1)=0$

$\iff \left\{\begin{array}{l}t=4\\ t^2-t+1=0\left(vn\right)\end{array}\right.$

Với $t=4\Rightarrow q^2=4\iff q=\pm 2$

Với $q=\pm 2$ thay vào (2) ta được u₁ = 5

Vậy $u_3=u_1.q^2=20$

Chọn B

Từ $8^x,4^x,2$ theo thứ tự lập thành một cấp số nhân nên công bội $q=\frac{2}{4^4}=\frac{1}{2^7}$

Suy ra $4^4=8^x.\frac{1}{2^7}\Rightarrow x=5$

Mặt khác ${\log }_{2}45,{\log }_{2}y,{\log }_{2}x$ theo thứ tự lập thành cấp số cộng suy ra

$\iff {\log }_{2}y=\left({\log }_{2}45+{\log }_{2}5\right):2$

$\iff {\log }_{2}y={\log }_2\sqrt{225}$

$\iff y=15$

Chọn A.

Phương trình hoành độ giao điểm:

$x+1=\frac{2x+4}{x-1}\iff x^2-2x-5=0$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=1+\sqrt{6}\\ x=1-\sqrt{6}\end{array}\right.$

Suy ra hoành độ trung điểm của đoạn MN là

$x_1=\frac{1+\sqrt{6}+1-\sqrt{6}}{2}=1$

Chọn D.

Cấp số cộng 1,4,7,.. có số hạng đầu u₁ = 1 và công sai d = 3

Chọn A.

Ta thấy S là tổng của 2019 số hạng đầu tiên của cấp số nhân với số hạng đầu là

u₁ = 1, công bội q = 3.

Áp dụng công thức tính tổng của cấp số nhân ta có

$S=\frac{3^{2019}-1}{2}$

Phương pháp

Sử dụng tính chất của cấp số cộng

$u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}$ tìm x

Tính công sai d và sử dụng công thức tìm số hạng thứ n là

$u_n=u_1+(n-1)d$

Cách giải:

Áp dụng tính chất các số hạng của cấp số cộng ta có

$x=\frac{-2+6}{2}=2$

Suy ra $d=u_2-u_1=4$

$\Rightarrow u_5=u_1+4d=14$

Chọn D

Chọn B.

Xét dãy số $\left(u_n\right):u_n=u_{n-1}-2, \forall n\ge 2$

Ta có $u_n-u_{n-1}=2,\forall n\ge 2$

Do đó (u_n) là một cấp số cộng

Chọn D.

Phương án A có

$u_1=2,u_2=5,u_3=10$ nên không phải cấp số cộng

Phương án B có

$u_1=2,u_2=4,u_3=8$ nên không phải cấp số cộng

Phương án C có

$u_1=\sqrt{2},u_2=\sqrt{3},u_3=2$ nên không phải cấp số cộng

Bằng phương pháp loại trừ, ta chọn đáp án D

Chọn D

Chọn D

Ta có $u_n=\frac{1}{n^2}+\frac{3}{n^2}+...+\frac{2n-1}{n^2}$

$\frac{\left({\displaystyle \frac{n\left(1+\left(2n-1\right)\right)}{2}}\right)}{n^2}=1$

Vậy $lim{u}_1=lim1=1$