Bài tập Cấp số cộng, cấp số nhân cơ bản, nâng cao (P5)

Chọn B

Ta có

$S_{10}=u_1.\frac{1-q^{10}}{1-q}=1023$

Chọn C.

Phương pháp

Công thức tổng quát của CSC có số hạng đầu là u₁ và công sai d là:

$u_n=u_1+(n-1)d$ 

Tìm công sai d rồi suy ra u₃

Chọn đáp án A

Phương pháp

Sử dụng công thức SHTQ của cấp số cộng

$u_n=u_1+(n-1)d$

Cách giải

Ta có: $u_7=u_1+6d=15$

Chọn D

Phương pháp: 

Số hạng tổng quát của CSC có số hạng đầu $u_1$ và công sai d là:

$u_n=u+(n-1)d$ . 

Cách giải:

Ta có:$u_2=u_1+d$

$\iff \frac{7}{2}=\frac{1}{2}+d\iff d=3$

Chọn D

Phương pháp

Tổng của n số hạng đầu của CSC có số hạng đầu là u₁ và công sai d:

Cách giải:

Ta có:$S_{14}=\frac{n\left[2u_1+(n-1)d\right]}{2}=280$

Chọn C.

Công thức tổng quát của CSN có số hạng đầu là u₁ và công bội $q$

$u_n=u_1.q^{n-1}$

Cách giải:

Gọi số hạng đầu và công bội của CSN lần lượt là $u_1,q$

Theo đề bài ta có hệ phương trình:

Lây (2) chia cho (1) ta được:

Chọn A

Phương pháp: 

Sử dụng công thức tính tổng của n số hạng đầu của cấp số nhân có số hạng đầu tiên

là $u_1$ và công bội q là $S_n=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$

Cách giải:

$S_n=\frac{u_1(1-q^n)}{1-q}$$\iff S_n=\frac{u_1(q^n-1)}{q-1}$

Chọn A.

Phương pháp:

Ba số x, y, z lập thành một cấp số cộng

$\iff x+z-2y$

Và số x, y, z lập thành một cấp số nhân $\iff xz=y^2$

Cách giải

Do 3 số x, y, z lập thành một cấp số cộng và có tổng bằng 21 nên ta có

$\left\{\begin{array}{l}x+z=2y\\ x+y+z=21\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x+z=14\\ y=7\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}x=14-z\\ y=7\end{array}\left(1\right)\right.$

Nếu lần lượt thêm các số 2; 3; 9 vào ba số đó (theo thứ tự của cấp số cộng)

thì được ba số lập thành một cấp số nhân nên ta có

$(x+2)(z+9)={(y+3)}^2\left(2\right)$

Thay (1) vào (2) ta có:

$(14-z+2)(z+9)={(7+3)}^2$

$\iff z^2-7z-44=0$

$\iff \left\{\begin{array}{l}z=11\\ z=-4\end{array}\right.$

$z=11\Rightarrow z=14-11=3$

$\Rightarrow F=x^2+y^2+z^2=179$

$z=-4\Rightarrow x=14-(-4)=18$

$\Rightarrow F=x^2+y^2+z^2=389$

Chọn B

Chọn C

Sử dụng tính chất của cấp số cộng và công thức tính tổng n số hạng đầu của cấp số cộng là

$S_n=n.u_1+\frac{n(n-1)}{2}.d$

Chọn A

Phương pháp: Tìm công thức số hạng tổng quát

Cách giải: Ta có:

$u\left(1\right)=1$

$u\left(2\right)=u\left(1\right)+u\left(1\right)=2u\left(1\right)+1$

$u\left(3\right)=u\left(2\right)+u\left(1\right)=3u\left(1\right)+1+2$

$u\left(4\right)=u\left(3\right)+u\left(1\right)=4u\left(1\right)+1+2+3$

$...$

$u\left(2017\right)=u\left(2016\right)+u\left(1\right)=2017u\left(1\right)+1+2+3...+2016$

$\Rightarrow u\left(2017\right)=1+2+3...+2016+2017=2035153$

Chọn A

Phương pháp:

Cách giải: Ta có:

$u_{n+1}=n=-4(u_n+n-1)$

$\iff u_{n+1}+n=-4(u_n+n-1)$

$\iff \left\{\begin{array}{l}{v}_n=u_n+n-1\\ v_{n+1}=-4v_n\end{array}\right.$

Dãy $\left(v_n\right)$ là cấp số nhân với công bội -4 và $v_1=u_1+0=2$

$S=u_{2018}-2u_{2017}$

$=v_{2018}-2v_{2017}+2015$

$=2015-3.4^{2017}$

Chọn C

Phương pháp: Dễ thấy $u_n=u_{n-1}+6,\forall n\ge 2$ suy ra dãy số đã cho là cấp số cộng công sai bằng 6.

Vậy ta cần tìm số hạng đầu.

Cách giải: Ta có

${\log }_2{u}_5+{\log }_{\sqrt{2}}\sqrt{u_9+8}=11$

$Vậy u_1=u_5-4.6=8$

Do đó:

$S_n=u_1+u_2+..+u_n$

$=n{u}_1+\frac{n(n-1)}{2}d$

$=3n^2+5n$

$\iff 3n^2+5n-32>0$

Vậy số tự nhiên n nhỏ nhất thỏa mãn $S_n\ge 2^5$ là 3.

Chọn B.

Phương pháp:

Cách giải: Ta có:

$x_{n+1}=\frac{x_n}{2(2n+1)x_n+1}$

$\iff \frac{1}{x_{n+1}}=2(2n+1)+\frac{1}{x_n}$

Đặt $u_n=\frac{1}{x_n}$

ta có: $u_{n+1}=2(2n+1)+u_n$

Vậy $u_{100}=2(2.99+1)+2(2.98+1)+...2(2.1+1)+\frac{3}{2}$

$\Rightarrow =\frac{39999}{2}$

Vậy $x_{100}=\frac{39999}{2}$

Chọn đáp án D

$u_4=u_1.q^3=48$

Chọn C

Phương pháp: Sử dụng định nghĩa về cấp số cộng.

Cách giải: Vì a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên

$\left\{\begin{array}{l}b=a+d\\ c=b+d\end{array}\right.$với d là công sai

Từ đó suy ra:

Chọn B

Tổng các cạnh nằm trên tia Ax của các hình vuông đó là

$10+5+\frac{5}{2}+\frac{5}{2^2}+...=20\left(cm\right)$

Đáp án C

Ta có $u_4=u_1.q^3\Rightarrow q=3$

Đáp án D

Chọn đáp án A

Chọn đáp án B

$AB=a,BC=b\Rightarrow AM=\sqrt{a^2-\frac{b^2}{4}}$

độ dài cạnh BC, trung tuyến AM và độ dài cạnh AB theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân

Chọn A

Phương pháp:

Cấp số cộng $\left(u_n\right)$ có công sai d

$u_n=u_1+(n-1)d$

$d=\frac{u_n-u_1}{n-1}$

Cách giải:

${u_3}^2+{u_4}^2={(u}^{}$₁+2d)2+(u₁+3d)2

$={(u}^{}$₁-8)2+(u₁-12)2

$=2{(u}^{}$₁-10)2+8≥8

Vậy ${u_3}^2+{u_4}^2$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $u_1=10$

$\Rightarrow u_{2019}=-8062$

Chọn C

3 số : $\ln 2; \ln (2^x-1); \ln (2^x+3)$ lập thành cấp số cộng

$\Rightarrow 2^x=2+\sqrt{11}\Rightarrow x\approx 25$

Chọn đáp án C

$\Rightarrow u_4=u_1+15=4u_1$

$\Rightarrow u_{100}=5+99.5=500$

Đáp án C