Bài tập Tổ hợp - Xác suất cơ bản, nâng cao có lời giải chi tiết (P7)

Đáp án B

Số phần tử của tập hợp M là: $C_{15}^3$

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đều, Xét một đỉnh A bất kỳ của đa giác: Có 7 cặp đỉnh của đa giác đối xứng với nhau qua đường thẳng OA, hay có 7 tam giác cân tại đỉnh A. Như vậy, với mỗi một đỉnh của đa giác có 7 tam giác nhận nó làm đỉnh tam giác cân.

Số tam giác đều có 3 đỉnh là các đỉnh của đa giác là $\frac{15}{3}=5$ tam giác.

Tuy nhiên, trong các tam giác cân đã xác định ở trên có cả tam giác đều, do mọi tam giác đều thì đều cân tại 3 đỉnh nên tam giác đều được đếm 3 lần.

Suy ra, số tam giác cân nhưng không phải tam giác đều có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác đã cho là: 7.15 – 3.5 = 90

Do đó xác suất cần tìm là $P=\frac{90}{C_{15}^3}=\frac{18}{91}$.

Đáp án B

Lấy mỗi hộp 1 quả cầu có: $C_{12}^1.C_{10}^1=120$ quả cầu.

Gọi A là biến cố: 2 quả cầu lấy ra cùng màu đỏ.

Khi đó: $\left|{\Omega }_A\right|=C_7^1.C_6^1=42$.

Do đó xác suất cần tìm là: $P\left(A\right)=\frac{42}{120}=\frac{7}{20}.$

Đáp án C

Số biển số xe là: 36.25.24.10.9.8 = 11232000 biển.

Đáp án A

Ta có: Không gian mẫu $\left|{\Omega }_A\right|=6.6=36$.

Lại có: 12 = 6 + 6. Do đó để tổng số chấm xuất hiện bằng 12 thì có 1 cách duy nhất là cả 2 lần đều hiện lên mặt 6. Vậy xác suất cần tìm là $p=\frac{1}{36}$.

Đáp án B

Gọi A là biến cố “Cú sút đó không vào lưới”. Nếu cầu thủ sút vào vị trí 1 hoặc 2, xác suất để bóng không vào bằng $2.\left(\frac{1}{4}.\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{8}$. Nếu cầu thủ sút cào vị trí 3 hoặc 4, xác suất để bóng không vào bằng $2.\left(\frac{1}{4}.\frac{1}{4}.\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{16}$. Suy ra xác suất để bóng không vào bằng $P\left(A\right)=\frac{1}{8}+\frac{1}{16}=\frac{3}{16}.$

Đáp án A

Số cách bằng 3.4.5 + 4.3.5 + 5.6.2 = 180 cách.

Đáp án A

Xác suất cần tìm là: $P=\frac{C_8^3.C_5^1+C_8^4}{C_{13}^4}=\frac{70}{143}$.

Đáp án B

Số tam giác được tạo bởi 2 đỉnh trên d₁ và 1 đỉnh trên d₂ là: $C_6^2.C_4^1=60$. Số tam giác được tạo bởi 1 đỉnh trên d₁ và 2 đỉnh trên d₂ là: $C_6^1.C_4^2=36$. Do đó số tam giác được tạo thành là: 60 + 36 = 96. Xác suất cần tìm là: $\frac{60}{96}=\frac{5}{8}$.

Đáp án D

Ta xét hai trường hợp chữ số hàng đơn vị bằng 2 và khác 2.

+) Chữ số hàng đơn vị là 2

Số hàng nghìn lớn hơn 2 nên có 4 cách chọn (3, 4, 5, 6). Còn 4 chữ số sắp xếp vào 4 vị trí còn lại có $A_4^4=4!=24$ cách xếp.

Như vậy tổng số chữ số thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là N₁ = 4.24 = 96 (số)

+) Chữ số hàng đơn vị khác 2 nên có thể bằng 4 hoặc 6

Số hàng nghìn lớn hơn 2 nên có 3 cách chọn (3, 5 và 6 hoặc 4). Còn 4 chữ số sắp xếp vào 4 vị trí còn lại có $A_4^4=4!=24$ cách xếp.

Như vậy tổng số chữ số thỏa mãn bài toán trong trường hợp này là N₂ = 2.3.24 = 144 (số)

=> Tổng số các chữ số thỏa mãn bài toán N = N₁ + N₂ = 96 + 144 = 240  (số).

Đáp án C

Gọi A₁ là biến cố viên thứ nhất trúng mục tiêu

Gọi A₂ là biến cố viên thứ hai trúng mục tiêu

Do A₁, A₂  là hai biến cố độc lập nên xác suất để có một viên trúng mục tiêu và một viên trượt mục tiêu là

$p=p\left(A_1\overline{A_2}\right)+p\left(\overline{A_1}{A}_2\right)=0,6.0,4+0,4.0,6=0,48$.

Đáp án B

+) B1: Chọn 3 HS trong 6 HS có $C_6^3=20$  (cách)

+) B2: Xếp 3 HS thành 1 hàng dọc có 3! = 6 (cách)

Vậy có 120 cách.

Đáp án D

Ta có bộ 3 số có tổng chia hết cho 3 là: {1;2;3}, {1;2;6}, {1;2;9}, {1;3;5}, {1;3;8}, {1;4;7}, {1;5;6},{1;5;9}, {1;6;8}, {1;8;9}, {2;3;4}, {2;3;7}, {2;4;6}, {2;4;9}, {2;5;8}, {2;6;7}, {2;7;9}, {3;4;5}, {3;4;8}, {3;5;7}, {3;6;9}, {3;7;8}, {4;5;6}, {4;5;9}, {4;6;8}, {5;6;7}, {6;7;8}, {7;8;9}.

Mỗi bộ số ta lập được 3! = 6 số.

Vậy có 30.6=180 số.

Đáp án B

Theo đề bài ta có

Đáp án A

Phương pháp:

- Coi hai ông Trum và Kim là một người thì bài toán trở thành xếp 9 người vào dãy ghế.

- Lại có 2 cách đổi chỗ hai ông Trum và Kim nên từ đó suy ra đáp số.

Cách giải:

Kí hiệu 10 vị nguyên thủ là a, b, c, d, e, f, g, h, i, k.

Và hai ông Trum, Kim lần lượt là a, b.

Nếu ông Trum ngồi lên bên trái ông Kim, tương đương xếp $\overline{ab}$, c, d, e, f , g, h ,i ,k vào 9 vị trí. Ta có $A_9^9$ cách.

Vậy tổng hợp lại, có $A_9^9+A_9^9=2.9!$ cách.

Đáp án B

Số cách sắp ngẫu nhiên là $C_9^3.C_6^3.C_3^3=1680$ (cách).

Số cách sắp để ba đội của Việt Nam ở 3 bảng khác nhau là

$\left(C_6^2{C}_3^1\right) \left(C_4^2{C}_2^1\right) \left(C_2^2{C}_2^1\right) = 540$ cách.

Xác suất để 3 đội bóng của Việt Nam ở 3 bảng khác nhau là: $\frac{540}{1680}=\frac{9}{28}$.

Đáp án C

Gọi $\overline{abcde}$ là số thỏa mãn đề bài, ta có

+) a có 4 cách chọn

+) b có 4 cách chọn

+) e có 3 cách chọn

+) d có 2 cách chọn

+) e có 1 cách chọn

Suy ra có 4.4.3.2.1 = 96 cách chọn.

Đáp án B

Phải chọn 2 học sinh nam và 4 học sinh nữ => Theo quy tắc nhân số cách chọn là $C_6^2.C_9^4$ (cách).

Đáp án B.

Số cách chọn ngẫu nhiên một học sinh của tổ đó trực nhật là: 5+6=11 (cách).

Đáp án A.

Số cách lấy thỏa mãn đề bài là $C_5^1.C_4^1=20$ cách.

Đáp án C.

Số cách chọn 5 học sinh trong đó có cả nam lẫn nữ là:

Đáp án A.

Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo lớn hơn hoặc bằng 11 khi các kết quả là (6;6), (5;6), (6;5)

Gọi x là xác suất xuất hiện mặt 6 chấm suy ra $\frac{x}{2}$ là xác suất xuất hiện các mặt còn lại.

Ta có: $5\frac{x}{2}+x = 1\Rightarrow x=-\frac{2}{7}$

Do đó xác suất cần tìm là: ${\left(\frac{2}{7}\right)}^2+\frac{2}{7}.\frac{1}{7}+\frac{1}{7}.\frac{2}{7}=\frac{8}{49}$.

Đáp án A

Goi A là số tự nhiên có hai chữ số lẻ khác nhau lấy từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6 số cách chọn được A là $A_3^2=6$. Số chẵn có 5 chữ số mà hai số lẻ đứng kề nhau phải chứa A và ba trong 4 chữ số 0; 2; 4; 6. Gọi $\overline{abcd}$; a, b, c, d $\in$ {A, 0, 2, 4, 6} là số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

*TH1: Nếu d = 0 số cách lập là: $1A_4^3=24$.

*TH2: Nếu $d\ne 0$ thì d có 3 cách chọn, a có 3 cách chọn, b có 3 cách chọn, c có 2 cách chọn nên số cách lập là: 3.3.3.2 = 54

Số cách lập: 6(24+54) = 468 cách.

Đáp án D

Tìm công thức tính số đường chéo: Số đoạn thẳng tạo bởi n đỉnh là $C_n^2$, trong đó có n cạnh, suy ra số đường chéo là $C_n^2-n$.

+ Đa giác đã cho có 135 đường chéo nên $C_n^2-n = 135$.

+ Giải phương trình

$\frac{n!}{(n-2)!2!}=135 (n\in N,n\ge 2)$

$\iff (n-1)n-2n=270$

$\iff n^2-3n-270=0$

<=> n = 18

Đáp án C

Nếu mỗi người đều bắt tay với tất cả thì có $C_{26}^2$cái bắt tay, trong đó có $C_{13}^2$ cái bắt tay giữa các bà vợ và 13 cái bắt tay giữa các cặp vợ chồng.

Như vậy theo điều kiện bài toán sẽ có: $C_{26}^2-C_{13}^2-13=234$ (cái bắt tay).

Đáp án A

Chọn 10 tấm bất kỳ có: $C_{30}^{10}$, trong 30 thẻ có 15 thẻ mang số chẵn, 15 thẻ mang số lẻ và 3 số chia hết cho 10.

Ta chọn 10 tấm thẻ lấy ra 5 tấm thẻ mang số lẻ và 5 tấm thẻ mang số chẵn, trong đó chỉ có một tấm mang số chia hết cho 10 có: $C_{15}^5.C_3^1.C_{12}^4$ cách

Do đó xác suất cần tìm là: $\frac{C_{15}^5.C_3^1.C_{12}^4}{C_{30}^{10}}=\frac{99}{667}$.

Đáp án C

Số các số tự nhiên có 5 chữ số là: 9.9.8.7.6 = 27216.

Số thỏa mãn có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước (tính từ trái sang phải ) là $\overline{abcde}$ suy ra $a\ne 0 \Rightarrow b,c,d,e\ne 0$.

Với mỗi cách chọn ra 5 số trong 9 số từ 1 đến 9 ta được 1 số thỏa mãn có chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước. Vậy có $C_9^5=126$ số.

Vậy xác suất là: $\frac{126}{27216}=\frac{1}{216}$.

Đáp án D

Để được 6 điểm học sinh đó cần trả lời đúng 30 câu.

Khi đó xác suất sẽ bằng $0,{25}^{30}.0,{75}^{20}.C_{50}^{20}$.

Đáp án D

Có 3!(3!4!5!) = 103680 cách.

Đáp án B

Chọn 3 đoàn viên trong 20 đoàn viên có $C_{20}^3$ cách $\Rightarrow n\left(\Omega \right)=C_{20}^3$.

Gọi X là biến cố “chọn được 3 đoàn viên có ít nhất 1 đoàn viên nữ”

TH1: Chọn được 2 nam và 1 nữ => có $C_{12}^2.C_8^1=528$ cách.

TH2: Chọn được 1 nam và 2 nữ => có $C_{12}^1.C_8^2=336$ cách.

TH3: Chọn được 0 nam và 3 nữ => có $C_{12}^0.C_8^3=56$ cách.

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến có X là n = 528 + 336 + 56 = 920.

Vậy xác suất cần tính là: $P=\frac{n\left(X\right)}{n\left(\Omega \right)}=\frac{920}{C_{20}^3}=\frac{46}{57}.$

Đáp án A

Số các số thỏa mãn đề bài là $A_6^3=120$.