Bài tập Hình học không gian cơ bản, nâng cao có lời giải (P2)

Đáp án D.

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.vì S.ABCD là hình chop đều nên SO$\perp$(ABCD)

Từ giả thiết, ta có 

Khối nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có chiều cao 

và bán kính đáy là  

và bán kính đáy là 

Suy ra

Ta có SO là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD. Đường trung trực của SB nằm trong mặt phẳng (SBD) cắt SB, SO lần lượt tại M, I. Ta có IS = IB = IA = IC = ID nên I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

Ta có SI.SO = SM.SB

Suy ra 

Do đó $\frac{V_1}{V_2} = \frac{108}{25}$

Phân tích phương án nhiễu.

Phương án A: Sai do HS nhớ nhầm công thức tính thể tích khối cầu là

Do đó tính được $\frac{V_1}{V_2} = \frac{324}{25}$

Phương án B: Sai do HS nhớ nhầm công thức tính thể tích khối nón là

Do đó tính được $\frac{V_1}{V_2} = \frac{18\sqrt{30}}{25}$

Phương án C: Sai do HS nhớ sai công thức tính thể tích khối nón là

Do đó tính được $\frac{V_1}{V_2} = \frac{36}{25}$

Đáp án B.

Gọi H là trung điểm của cạnh AB. Khi đó SH$\perp$(ABCD)

Ta có SH$\perp$AB; AB$\perp$HN; HN$\perp$SH và SH = $\sqrt{3}$

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz sao cho H trùng với O, B thuộc tia Ox, N thuộc tia Oy và S thuộc tia Oz. Khi đó:  B(1;0;0), A(-1;0;0), N(0;2$\sqrt{3}$;0), C(1;2$\sqrt{3}$;0)

D(-1;2$\sqrt{3}$;0), S(0;0;$\sqrt{3}$), M($-\frac{1}{2};0;\frac{\sqrt{3}}{2}$), P(1;$\sqrt{3}$;0)

Mặt phẳng (SCD) nhận 

làm một vectơ pháp tuyến; mặt phẳng (MNP) nhận 

làm một vectơ pháp tuyến.

Gọi $\phi$ là góc tạo bởi hai mặt phẳng (MNP) và (SCD) thì

Phân tích phương án nhiễu.

Phương án A: Sai do HS tính đúng 

nhưng lại tính sai Do đó tính được

Phương án B: Sai do HS tính đúng  nhưng lại tính sai 

Do đó tính được 

Phương án C: Sai do HS tính đúng  nhưng lại tính sai 

Do đó tính được 

Đáp án B.

Trước hết ta có kết quả: Khối tứ diện ABCD có thể tích được tính theo công thức 

Áp dụng kết quả này, ta có 

= 6h

trong đó MN = PQ = 6 dm và h = d(MN;PQ) là chiều cao của hình trụ.

Từ giả thiết ta có h = 5 dm

Suy ra thể tích khối trụ là , với r = 3 dm

Do đó thể tích của lượng đá bị cắt bỏ là

Vậy phương án đúng là B.

Phân tích phương án nhiễu.

Phương án A và C: Sai do HS giải đúng nhưng làm tròn số bị sai hoặc lấy  

Phương án D: Sai do HS chọn  $\mathrm{\pi }$= 3,141

Đáp án B.

Như vậy, khối lập phương và khối bát diện đều có số cạnh bằng nhau (12 cạnh).

Đáp án D.

Đáp án D.

Đáp án A.

Đường sinh của hình non (N) là 

Diện tích xung quanh của hình nón (N) là $S_{xq} = \mathrm{\pi rl}$

Diện tích toàn phần của hình nón (N) là 

= $\mathrm{\pi r}(1+\mathrm{r})$

Thể tích của khối nón (N) là 

Đáp án A.

Gọi r và h lần lượt là bán kính đáy và chiều cao của hình trụ. Khi đó r = a.

Thiết diện qua trục của hình trụ là một hình chữ nhật có các kích thước lần lượt là h và 2r. Từ giả thiết ta có:

2(h + 2r) = 12a $\iff$h = 6a - 2r = 4a

Vậy thể tích khối trụ là:  (đvtt).

Đáp án C

Gọi H là trung điểm của AB. Do $∆$SAB đều nên SH$\perp$AB và 

Mà (SAB)$\perp$(ABCD) nên SH$\perp$(ABCD).

Từ

Ta có 

Lại có 

* Phương án A:

* Phương án B:

* Phương án C:

* Phương án D:

Đáp án A.

Gọi R là bán kính của hình cầu (S). Bài toán có thể quy về: “Cho đường tròn tâm O, bán kính R ngoại tiếp hình vuông ABCD và nội tiếp $∆$SEF đều” (hình vẽ).

=>Bán kính đáy và chiều cao của hình trụ (T) lần lượt là 

và 

Thể tích khối trụ là 

Ta có $∆$SEF đều và ngoại tiếp đường tròn (O) nên O là trọng tâm của$∆$SEF.

Gọi H là trung điểm của EF thì 

Hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O) nên SH = 3OH = 3R

 Bán kính đáy và chiều cao của hình nón (N) lần lượt là 

Thể tích khối nón là 

Đáp án B.

Ta có AD//BC, => AD//(SBC)

=> d(AD;SC) = d(AD;(SBC)) = d(D;(SBC)).

Qua I kẻ đường thẳng song song với AD, cắt CD tại H.

Suy ra IH$\perp$CD

Từ CD$\perp$IH, CD$\perp$SI=> CD$\perp$(SIH)=> CD$\perp$SH

Suy ra 

Lại có 

Từ 

Suy ra 

Từ (1) và (2), suy ra 

Vậy 

Đáp án D.

* Khối bát diện đều có 8 mặt là các tam giác đều.

* Khối nhị thập diện đều có 20 mặt là các tam giác đều.

* Tứ diện đều có 4 mặt là các tam giác đều.

* Khối thập nhị diện đều có 12 mặt là các ngũ giác đều.

 Đáp án A.

Ta có hình vẽ bên.

Từ AC = 3 

là trung điểm của HG. 

Suy ra BI = 

=> $∆$BIJ vuông cân tại B

Đáp án C.

* Phương án A: Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này mà vương góc với giao tuyến cũng vuông góc với mặt phẳng kia. Cụ thể:

* Phương án B: Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba, hoặc hai mặt phẳng đó song song với nhau. Cụ thể:

* Phương án C: Một đường thẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì vuông góc với mặt phẳng kia. Cụ thể 

* Phương án D: Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì tồn tại hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó và song song với nhau (hai mặt phẳng này cùng vuông góc với đường thẳng thứ 3).

Cụ thể: 

Đáp án B.

Gọi  lần lượt là trung điểm của AD và BC. Ta có $∆$ABD và $∆$ACD đều cạnh bằng a nên 

=> $∆$MBC cân tại M và MN là đường cao của $∆$MBC => MN$\perp$BC

Tương tự, $∆$NAD cân tại N nên NM là đường cao của $∆$NAD => NM$\perp$AD

Suy ra MN là đoạn vuông góc cung của AD và BC.

Vậy 

Đáp án B.

Diện tích toàn phần hình trụ (T) là 

$\iff$h = 3R 

Thể tích của khối trụ (T) là 

Đáp án D.

 Giả sử hình nón có đỉnh S, đáy là đường tròn tâm I bán kính r, thiết diện đi qua đỉnh là $∆$SAD cân tại S.

Gọi J là trung điểm của AB, ta có 

=> (SAB)$\perp$(SIJ)

Trong mặt phẳng (SIJ): Kẻ IH $\perp$(SAB) => IH = d(I;(SAB)) = 24 (cm)

Vậy= 2000 $c{m}^2$

Đáp án B.

Do H là trung điểm AB nên 

=> d(B;(ACC'A'))= 2d(H;(ACC'A'))

Ta có A'H$\perp$(ABC) nên 

Gọi D là trung điểm của AC thì BD$\perp$AC

 Kẻ HE$\perp$AC, 

Ta có 

Trong (A'HE) kẻ HK$\perp$A'E, 

Suy ra = 2HK

Ta có 

Xét tam giác vuông A'AH có 

Xét tam giác vuông A'HE có 

Đáp án B.

Vì M,N lần lượt là trung điểm của BB' và CC' nên ta có:

Lại có:

Vậy tỉ số 

Đáp án B.

Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với MN, đường thẳng này cắt MN, PQ, cung AB,AQ lần lượt tại  

Độ dài cung AB là chu vi đường tròn đáy của hình nón nên

Lại có 

Áp dụng định lý cosin trong tam giác OAB có

Do OD$\perp$AB nên OD là tia phân giác của . Xét tam giác vuông OMH có OH = 

Xét tam giác OPQ có 

Mà

Xét tam giác DOQ có:

Xét tam giác vuông DQF có

=> HF = OD - OH - DF = 

= MQ - NP

Gọi R là bán kính đáy của hình trụ tạo bởi hình chữ nhật MNPQ. Chu vi đáy của hình trụ chính là độ dài của PQ nên 

Khi đó thể tích khối trụ tạo ra bởi hình chữ nhật MNPQ là:

Đáp án C.

+ (ABD) và (IMK) có điểm chung là k và lần lượt chứa hai đường thẳng AB // MI

=> Giao tuyến của (ABD) và (IMK) là đường thẳng đi qua K và song song với AB  và AD tại E Thiết diện cần tìm là tứ giác MKEI có 

Từ (1) và (2) => Tứ giác MKEI là hình thang cân với đáy lớn là MI

+ Có 

Gọi H là hình chiếu vuông góc của E lên MI 2IH + EK = IM 

Đáp án B.

Xét các mệnh đề sau: II và III sai.

Số mệnh đề sai là 2.

Đáp án B.

Ta có 

$∆$IA'B' vuông tại A'( do IA’ vuông góc với đáy) 

Ta có 

Xét $∆$BB'I có 

Đáp án C.

+ Trong  mặt phẳng (BB’D’D) gọi I = MO$\cap$DD', H = MO$\cap$B'D'

Trong  mặt phẳng (DD’C’C) gọi J = NI$\cap$DC

Trong  mặt phẳng (ABCD) gọi K = JO$\cap$AB

Trong  mặt phẳng (AA’B’B) gọi F = MK$\cap$A'B'

Trong  mặt phẳng (A’B’C’D’) gọi E = B'C'$\cap$FN=> E = BC$\cap$(MNO)

Đáp án D

Gọi H là hình chiếu của B lên SI 

Đáp án A.

Ta có 

Đáp án B.

Ta có: 

Xét hàm số 

(V là hằng số)

Bảng biến thiên:

Đáp án A.

Gọi hình nón tạo thành có bán kính là r

Chu vi đáy là 

chu vi của hình tròn đầu)

=> r = R/3

Hình nón có đường sinh là R => Chiều cao 

Thể tích khối nón tạo thành là 

Đáp án B.

Gọi B’, C’, D’ lần lượt thuộc AB, AC, AD sao cho AB' = AC' = AD' = a

=> Tứ diện AB’C’D’ là tứ diện đều cạnh a 

(công thức cần nhớ)

Mà 

Đáp án C.

Gọi G là trọng tâm , I là trung điểm AB

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ: Ox qua G và song song AB

CA = CB = CD => C là tâm đường tròn ngoại tiếp $∆$ABD

Gọi d là đường thẳng qua  và vuông góc với (ABD)

Gọi tâm mặt cầu ngoại tiếp SABD là 

Mà

=> R =