Bài tập Tổ hợp - Xác suất cơ bản, nâng cao có lời giải chi tiết (P5)

Đáp án A

Thí sinh thi được 26 điểm do đó có 6 phương án đúng và 4 phương án sai

Xác suất cần tìm sẽ là:

=>  Chọn phương án A.

Chú ý: Công thức tổng quát cho bài toán n câu hỏi và a đáp án đúng sẽ là

Đáp án D

Từ An $\to$ Bình có 4 cách.

Từ Bình $\to$ Cường có 6 cách.

Vậy theo qui tắc nhân ta có 4 x 6 = 24 cách.

Đáp án A

Số các tam giác bất kỳ là $n\left(\omega \right) = C_{18}^3$

Số các tam giác đều là $\frac{18}{3} = 6$

Có 18 các chọn một đỉnh của đa giác, mỗi đỉnh có 8 các chọn 2 đỉnh còn lại để được một tam giác đều

Số các tam giác cân là: 18.8 = 144

Số các tam giác cân không đều là: 144 - 6 = 138 => n(A) = 138

Xác suất => P(A) = $\frac{138}{C_{18}^3} = \frac{23}{136}$

Đáp án là C

Số tứ giác có 4 đỉnh là 4 điểm trong 13 điểm đã cho là $C_8^2.C_5^2$ = 280

Mỗi tứ giác đó có hai đường chéo cắt nhau tại 1 điểm thuộc góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ Oxy  

Vậy số giao điểm là 280.

Đáp án B

Sửa đúng là $0\le P\left(A\right)\le 1$

Đáp án A

+) Có 5 số TN có 1 chữ số: 0,1,2,3,4.

+) Có 4.5 = 20số TN có 2 chữ số.

+) Có 4.5.5 = 100 số tự nhiên có 3 chữ số.

Vậy có 100 + 20 + 5 = 125 số.

Đáp án A

+) Chọn 3 tiết mục bất kì có $C_9^3 = 84$ (cách).

+) Chọn 1 tiết mục của khối 10 có 3 cách. Chọn tiếp 1 tiết mục của khối 11 không trùng với nội dung đã chọn của khối 11 có 2 cách. Chọn tiếp 1 tiết mục của khối 12 không trùng với nội dung đã chọn của khối 10 và khối 11 có 1 cách. Do đó cá 6 cách chọn các tiết mục thoản mãn yêu cầu đề bài.

Vậy xác suất cần tính là $\frac{6}{84} = \frac{1}{14}$

Đáp án A

Xét 1 hàng (hay 1 cột bất kì). Giả sử trên hàng đó có x số 1 và y số -1. Ta có tổng các chữ số trên hàng đó là x - y. Theo đề bài có x - y = 0$\iff$x = y. 

Lần lượt xếp các số vào các hàng ta có số cách sắp xếp là 3!.3!.2.1 =72 (Cách)

Đáp án D

Dễ có số cách chọn 3 điểm từ 11 điểm đã cho là : $C_{11}^3 = 165$

Để 3 điểm được chọn tạo thành một tam giác thì phải thỏa mãn 3 điểm đó không thẳng hàng. Do đó có hai trường hợp xảy ra :

-   Thứ nhất có hai điểm trên đường thẳng a và một điểm trên đường thẳng b

-   Thứ hai có một điểm trên đường thẳng a và hai điểm trên đường thẳng b

Từ đây suy ra số cách chọn 3 điểm để tạo thành một tam giác là : $C_6^2{C}_5^1 + C_6^1{C}_5^2 = 135$

Vậy xác suất cần tìm là $\frac{135}{165} = \frac{9}{11}$. => Chọn đáp án D.

Đáp án D

Gọi $\overline{X}$ là biến cố: “Không có xạ thủ nào bắn trúng mục tiêu”.

Khi đó P($\overline{X}$) = P($\overline{A}$).P($\overline{B}$).P($\overline{C}$) = 0,3.0,4.0,5=0,14

=> P(X) = 1- P($\overline{X}$)=0,94.

=>  Chọn đáp án D.

Đáp án B

Vì số cách chia không tính đến thứ tự các vật nên cách chia đồ vật được tính theo công thức tổ hợp $C_8^2.C_6^3.C_3^3 = C_8^2.C_6^3$

Đáp án A

Xác suất để gieo n lần đều mặt ngửa là ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$. Từ đó

Ta cần gieo ít nhất 7 lần.

Đáp án B

$n\left(\Omega \right) = C_{12}^4$

Gọi H:” Không có quá 2 trong 3 lớp”

Đáp án là A

Mỗi số lập được bằng cách chọn 4 chữ số trong 5 chữ số đã cho và xếp thành một dãy. Số các số là 

Đáp án A

Tổng số quyển sách trên giá là: 4 + 3 + 2 = 9 (quyển).

Số cách lấy ra 3 quyển sách từ 9 quyển sách đó là: $C_9^3$ .

Số cách lấy ra 3 quyển sách trong đó không có quyển sách toán nào là: $C_5^3$.

Xác suất để 3 quyển được lấy ra có ít nhất một quyển là toán là $\frac{C_9^3 - C_5^3}{C_9^3} = \frac{37}{42}$

Đáp án C

Coi 9 chữ số của số được thành lập là 9 vị trí.

Chọn 4 vị trí trong 9 vị trí cho chữ số 4 có $C_9^4$ cách chọn.

Chọn 3 vị trí trong 5 vị trí còn lại cho chữ số 3 có $C_5^3$.

Còn 2 vị trí còn lại cho chữ số 1 và 2 có 2 cách chọn.

Vậy số các số lập được là: 2.$C_9^4$.$C_5^3$ = 2510

Đáp án D

Học sinh đó làm đúng được 5 điểm khi làm được đúng 25 câu bất kỳ trong số 50 câu, 25 câu còn lại làm sai.

Xác suất để học sinh là đúng một câu bất kỳ là $\frac{1}{4}$, làm sai một câu là $\frac{3}{4}$. Do đó xác suất để học sinh đó làm đúng 25 câu bất kỳ trong số 50 câu là $C_{50}^{25}.{\left(\frac{1}{4}\right)}^{25}$.

Xác suất để hoạc sinh đó làm sai 25 câu còn lại là ${\left(\frac{3}{4}\right)}^{25}$.

Vậy xác suất để học sinh đó làm được đúng 5 điểm là: $C_{50}^{25}$.${\left(\frac{1}{4}\right)}^{25}$.${\left(\frac{3}{4}\right)}^{25}$

Đáp án B

Mỗi số thỏa mãn điều kiện bài toán gồm 3 số chẵn và 4 số lẻ, do sắp xếp từ bé đến lớn nên với 7 số chọn ra chỉ có duy nhất một cách sắp xếp.

+) Số cách chọn ra 3 số chẵn từ 5 số chẵn là: $C_5^3$

+) Số cách chọn ra 4 số lẻ từ 5 số chẵn là: $C_5^4$

Đáp án D

Để thi đậu thí sinh có thể vượt qua kì thi ở một trong 3 vòng.

Xác suất thí sinh đậu vòng 1 là p₁ = 0,9

Xác suất thí sinh đậu vòng 2 là p₂ = 0,1.0,7 = 0,07

Xác suất thí sinh đậu vòng 3 là p₃ = 0,1.0,3.0,3 = 0,009

Vậy xác suất thí sinh đậu kì thi là: p = p₁ + p₂ + p₃ = 0,9 + 0,07 + 0,009 = 0,979

Đáp án D

Gọi số cần tìm có 4 chữ số $\overline{abcd}$

·   Trường hợp chọn $a \in$ {5; 7; 9}có 3 cách

Chọn d $\in$ {0; 2; 4; 6; 8}có 5 cách

Chọn đồng thời b, c có $A_8^2$ cách

Theo quy tắc nhân ta có 840 số

·     Trường hợp chọn $a \in \left\{6\right\}$

Chọn d $\in${0; 2; 4; 8} có 4 cách

Chọn đồng thời b, c có $A_8^2$ cách

Theo quy tắc nhân ta có 224 số

·  Trường hợp chọn $a \in \left\{8\right\}$

Chọn $d \in \{0; 2; 4; 6\}$ có 4 cách

Chọn đồng thời b, c có $A_8^2$ cách

Theo quy tắc nhân ta có 224 số

Theo quy tắc cộng ta có: 1288 số

Đáp án B

 Số phần tử KGM là: 9!. Mà số phần tử của biến cố các học sinh nữ luôn ngồi cạnh nhau là: 3!7! 

Xác suất để các học sinh nữ luôn ngồi cạnh nhau là: $\frac{3!7!}{9!} = \frac{1}{12}$

Đáp án D.

Gọi A:”Bạn được chọn có số thứ tự lớn hơn số thứ tự của Nam”.

Đáp án D.

Sô cách lấy bằng số cách chọn ra 6 quyển để bỏ lại. Yêu cầu đặt ra là 6 quyển để lại phải đủ cả 3 môn.

TH1: 1 văn, 2 âm nhạc, 3 hội họa: $C_5^1.C_4^2.C_3^3$

TH2: 1 văn, 3 âm nhạc, 2 hội họa: $C_5^1.C_4^3.C_3^2$

TH3: 1 văn, 4 âm nhạc, 1 hội họa: $C_5^1.C_4^4.C_3^1$

TH4: 2 văn, 1 âm nhạc, 3 hội họa: $C_5^2.C_4^1.C_3^3$

TH5: 2 văn, 2 âm nhạc, 2 hội họa: $C_5^2.C_4^2.C_3^2$

TH6: 2 văn, 3 âm nhạc, 1 hội họa: $C_5^2.C_4^3.C_3^1$

TH7: 3 văn, 1 âm nhạc, 2 hội họa: $C_5^3.C_4^1.C_3^2$

TH8: 3 văn, 2 âm nhạc, 1 hội họa: $C_5^3.C_4^2.C_3^1$

TH9: 4 văn, 1 âm nhạc, 1 hội họa: $C_5^4.C_4^1.C_3^1$

Lấy 6 quyển sách chia cho 6 bạn: 6! = 720

Nhân lại  ta có : 579600 cách

Đáp án C.

Để hoạt động tốt, mạch điện có thẻ có các trường hợp sau:

TH1: 1 tốt, 2 tốt,3 tốt, 4 tốt: P₁ = 0,8.0,9.0,95.0,98 = 0,67032

TH2: 1 tốt, 2 tốt,3 cháy, 4 tốt: P₁ = 0,8.0,9.0,05.0,98 = 0,03528

TH3: 1 tốt, 2 cháy,3 tốt, 4 tốt: P₁ = 0,8.0,1.0,95.0,98 = 0,07448

Từ đó xác suất để mạch hoạt động tốt là 0,67032 +  0,03528 + 0,07448 = 0,78008

Đáp án B

Sắp xếp 4 số tự nhiên 1, 2, 3, 4 theo thứ tự khác nhau ta sẽ được các số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau => Có 4! = 24 số.

Đáp án là A.

Gọi số cần lập có dạng:  $\overline{a_1{a}_2{a}_3{a}_4{a}_5}$

          • Chọn 2 số lẻ thuộc nhóm {1 ;3 ;5 ;7} $\Rightarrow C_4^2$

          • Chọn 3 số chẳn trong nhóm {0;2;4;6}$\Rightarrow C_4^3$

          • Hoán vị 2 nhóm trên có 5! cách

          * Các số có số a₁ = 0

          • Chọn 2 số lẻ thuộc nhóm {1 ;3 ;5 ;7} $\Rightarrow C_4^2$

          • Chọn 2 số chẳn trong nhóm {0;2;4;6} $\Rightarrow C_3^2$

          • Hoán vị 2 nhóm trên có 4! cách

          Vậy các số cần tìm: $C_4^2.C_4^3.5! - C_4^2.C_3^2.4! = 2448$ số

Đáp án là D.

          • Số phần tử không gian mẫu $n\left(\Omega \right) = 6!$

          • Gọi biến cố A" đứa bé ngồi giữa hai người đàn bà".

          + Xếp 2 người đàn bà ngồi 2 bên đứa bé có: 2! cách

          + Xem 2 người đàn bà và đứa bé là 1 vị trí sắp xếp với 3 người đàn ông còn lại có: 4! cách

          + Số phần tử của A: n(A) = 2!.4!

          Xác suất cần tìm $P\left(A\right) = \frac{2!.4!}{6!}=\frac{1}{15}$

Đáp án là D.

          Gọi số cần lập có dạng $\overline{abc}$

          • a có 6 cách chọn; b có 6 cách chọn; c có 6 cách chọn.

          • Vậy có 6.6.6 = 216 số.

Đáp án là A.

• Số phần tử không gian mẫu $n\left(\Omega \right) = 36$

• Gọi biến cố A: " Số chấm xuất hiện trên mặt của hai con súc sắc là số chẳn".

Ta có các khả năng xảy ra:

Đáp án C.

Số cách chọn ngẫu nhiên 2 lá phiếu là: $C_9^2 = 36$ (cách)

Các cặp số có tổng là một số lẻ lớn hơn hoặc bằng 15 là: (9;8); (9;6); (8;7). Xác suất để tổng của hai số ghi trên hai lá phiếu rút được là một số lẻ lớn hơn hoặc bằng 15 là: $\frac{3}{36} = \frac{1}{12}$