Bài tập Tính chất đường phân giác của tam giác (có lời giải chi tiết)

Ta có: AB = AC = 10cm

Suy ra ΔABC cân tại A

Có I là giao các đường phân giác của ΔABC

Suy ra AI, BI là đường phân giác của ΔABC

Gọi H là giao của AI và BC

Khi đó ta có AH vừa là đường phân giác, vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy của tam giác cân ABC (tính chất tam giác cân).

=> H là trung điểm của cạnh BC

=> BH = HC = $\frac{BC}{2}=\frac{12}{2}$ = 6cm

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác ABH vuông tại H, ta có:

$$\begin{gathered} A{H}^2 + B{H}^2 = A{B}^2 \\ \iff A{H}^2 + 6^2 = {10}^2 \\ \iff A{H}^2 = 100 – 36 = 64 \\ \Rightarrow AH = 8 \end{gathered}$$

Vì BI là phân giác của tam giác ABH nên: $\frac{AI}{IH}=\frac{AB}{BH}=\frac{10}{6}=\frac{5}{3}$

$\iff \frac{AI}{5}=\frac{IH}{3}$

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$$\begin{gathered} \frac{AI}{5}=\frac{IH}{3}=\frac{AI+IH}{5+3} \\ =\frac{AH}{8}=\frac{8}{8}=1 \end{gathered}$$

=> AI = 5(cm)

Đáp án: C

Theo tính chất đường phân giác, ta có: $\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC}=\frac{1}{2};\frac{AC}{BC}=\frac{AE}{EB}=\frac{3}{4}$

Nên $\frac{AB}{2}=\frac{BC}{4}=\frac{AC}{3}$

Do đó:

$$\begin{gathered} \frac{AB}{2}=\frac{BC}{4}=\frac{AC}{3} \\ =\frac{AB+BC+AC}{2+4+3}=\frac{18}{9}=2 \end{gathered}$$

Vậy AB = 4cm, BC = 8cm, AC = 6cm

Đáp án: C

Ta có: $\frac{AD}{AB}=\frac{DC}{BC}$ (t/c)

$\Rightarrow \frac{AD}{4}=\frac{DC}{6}=\frac{AD+DC}{4+6}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$

=> AD = 4.$\frac{1}{2}$ = 2, DC = 6.$\frac{1}{2}$ = 3

Suy ra:

$$\begin{gathered} \frac{DI}{IB}=\frac{DC}{CB}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}\Rightarrow \frac{DI}{DB}=\frac{1}{3} \\ \frac{BE}{EA}=\frac{BC}{AC}=\frac{6}{5}\Rightarrow \frac{BE}{BA}=\frac{6}{11} \\ \frac{AD}{DC}=\frac{2}{3}\Rightarrow \frac{AD}{AC}=\frac{2}{5} \end{gathered}$$

Suy ra $S_{DIE}=\frac{1}{3}{S}_{BDE}$

$\Rightarrow S_{DIE}=\frac{1}{3}.\frac{6}{11}.\frac{2}{5}=\frac{4}{55}{S}_{ABC}$

Vậy $\frac{S_{DIE}}{S_{ABC}}=\frac{4}{55}$

Đáp án: A

Vì MD và ME lần lượt là phân giác của $\widehat{AMB},\widehat{AMC}$ nên $\frac{DA}{DB}=\frac{MA}{MB},\frac{EA}{EC}=\frac{MA}{MC}$

Mà MB = MC nên $\frac{DA}{DB}=\frac{EA}{EC}$ => DE // BC (định lí Talet đảo)

Vì DE // BC nên $\frac{DI}{BM}=\frac{AI}{AM}=\frac{IE}{MC}$ (hệ quả định lí Talet) mà BM = MC nên DI = IE.

Nên cả A, B đều đúng.

Đáp án: D

Vì DI = IE (cmt) nên MI là đường trung tuyến của tam giác MDE.

ΔMDE vuông (vì MD, ME là tia phân giác của góc kề bù) nên MI = DI = IE

Đặt DI = MI = x, ta có $\frac{DI}{BM}=\frac{AI}{AM}$ (cmt) nên $\frac{x}{15}=\frac{10-x}{10}$

Từ đó x = 6 suy ra DE = 12cm

Đáp án: D

Gọi D, M là giao điểm của AI, AG với BC.

Vì AD là tia phân giác góc $\widehat{BAC}$ nên $\frac{BD}{AB}=\frac{DC}{AC}$ (t/c)

$\Rightarrow \frac{BD}{12}=\frac{DC}{18}=\frac{BD+DC}{12+18}=\frac{15}{30}=\frac{1}{2}$

=> BD = 12.$\frac{1}{2}$ = 6, DC =18.$\frac{1}{2}$ = 9

Lại có: BI là tia phân giác $\widehat{ABD}$ nên $\frac{AI}{ID}=\frac{AB}{BD}=\frac{12}{6}=2$ (tính chất)

=> $\frac{ID}{AD}=\frac{MG}{MA}=\frac{1}{3}$ hay D đúng

Mà AG = 2GM (vì G là trọng tâm)

Nên $\frac{AI}{ID}=\frac{AG}{GM}=2$ hay B đúng

Theo định lí đảo của định lí Talet ta có:

IG // DM => IG // BC hay A đúng

Chỉ có C sai

Đáp án: C

Do M là trung điểm BC nên MB = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$.15 = 7,5 cm

Mà BD = 6cm nên DM = 7,5 cm – 6cm = 1,5 cm

Do IG // DM nên $\frac{IG}{DM}=\frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}$ => IG = $\frac{2}{3}$DM = $\frac{1}{3}$.1,5 = 1 cm

Đáp án: A