Bài tập Sử dụng các công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương các hàm số và đạo hàm của hàm số hợp lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Hàm số y = sin(2x – 1) là hàm số hợp có dạng y = sinu với u = u(x) = 2x – 1

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số hợp (sin u)′ = u′ ⋅ cos u, ta có:

y′ = (2x – 1)′ ⋅ cos(2x – 1) ⇔ y′ = 2cos(2x – 1).

Đáp án đúng là: C

Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích (uv)′ = u′v + uv′ với u = 2x + 7 và v = 3x – 5, ta có:

y′ = (2x + 7)′(3x – 5) + (2x + 7)(3x – 5)′ ⇔ y′ = 2(3x – 5) + 3(2x + 7)

⇔ y′ = 6x – 10 + 6x + 21 = 12x + 11

Tính giá trị đạo hàm tại điểm x₀ = 4: y′(4) = 12 ⋅ 4 + 11 = 48 + 11 = 59.

Đáp án đúng là: D

Hàm số y = (–x – 6)⁵ là hàm số hợp có dạng y = u⁵ với u = u(x) = –x – 6

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số hợp (uⁿ)′ = n ⋅ u^n–1 ⋅ u′, ta có:

y′ = 5(–x – 6)⁴ ⋅ (–x – 6)′ ⇔ y′ = 5(–x – 6)⁴ ⋅ (–1) ⇔ y′ = –5(–x – 6)⁴

Tính giá trị đạo hàm tại điểm x₀ = –3:

y′(–3) = –5[–(–3) – 6]⁴ = –5(3 – 6)⁴ = –5 ⋅ (–3)⁴ = –5 ⋅ 81 = –405.

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức đạo hàm của thương \({\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\) với u = 3x – 1 và v = x + 2, ta có:

y′ = \(\frac{{{{\left( {3x - 1} \right)}^\prime }\left( {x + 2} \right) - \left( {3x - 1} \right){{\left( {x + 2} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{3\left( {x + 2} \right) - \left( {3x - 1} \right) \cdot 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\)

y′ = \(\frac{{3x + 6 - 3x + 1}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}} = \frac{7}{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}\).

Đáp án đúng là: A

Hàm số y = (3x² – 2)⁴ là hàm số hợp có dạng y = u⁴ với u = u(x) = 3x² – 2

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số hợp (uⁿ)′ = n ⋅ u^n–1 ⋅ u′, ta có:

y′ = 4(3x² – 2)³ ⋅ (3x² – 2)′ ⇔ y′ = 4(3x² – 2)³ ⋅ 6x ⇔ y′ = 24x(3x² – 2)³.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng

a) Đúng. Áp dụng các quy tắc đạo hàm cơ bản, ta có:

f′(x) = (x⁴)′ – 2(x²)′ + (1)′ = 4x³ – 4x.

b) Sai. Giải phương trình f′(x) = 0: 4x³ – 4x = 0 ⇔ 4x(x² – 1) = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = - 1\end{array} \right.\)

Vậy phương trình f′(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt là x = 0, x = 1 và x = –1.

c) Đúng. Thay x = –1 vào biểu thức f′(x), ta được: f′(–1) = 4(–1)³ – 4(–1) = –4 + 4 = 0.

d) Đúng. Xét phương trình f′(x) = 24:

4x³ – 4x = 24 ⇔ x³ – x – 6 = 0

⇔ (x – 2)(x² + 2x + 3) = 0 ⇔ \(\left[ \begin{array}{l}x - 2 = 0\\{x^2} + 2x + 3 = 0\end{array} \right.\) ⇔ x = 2 (do x² + 2x + 3 = 0 vô nghiệm)

Vậy phương trình f′(x) = 24 có duy nhất một nghiệm thực x = 2.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Điều kiện: x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ –1

Vậy tập xác định của hàm số là D = ℝ \ {–1}.

b) Đúng. Áp dụng công thức đạo hàm của thương \({\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\) với u = 2x – 3 và v = x + 1, ta có:

y′ = \(\frac{{{{\left( {2x - 3} \right)}^\prime }\left( {x + 1} \right) - \left( {2x - 3} \right){{\left( {x + 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{2\left( {x + 1} \right) - \left( {2x - 3} \right) \cdot 1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

y′ = \(\frac{{2x + 2 - 2x + 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{5}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

c) Đúng. Vì 5 > 0 và (x + 1)² > 0 với mọi x ≠ –1 nên: y′ = \(\frac{5}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) > 0, với mọi x ≠ –1.

d) Sai. Thay x = 1 vào biểu thức y′, ta được: y′(1) = \(\frac{5}{{{{\left( {1 + 1} \right)}^2}}} = \frac{5}{{{2^2}}} = \frac{5}{4}\) = 1,25 ≠ 1.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Với mọi x ∈ (0; +\(\infty \)), áp dụng quy tắc tính đạo hàm cơ bản ta có:

u′(x) = (x² + 2)′ = 2x ⇔ v′(x) = (\(\sqrt x \))′ = \(\frac{1}{{2\sqrt x }}\)

b) Đúng. Áp dụng công thức đạo hàm của tích (uv)′ = u′v + uv′, ta được:

f′(x) = u′(x) ⋅ v(x) + u(x) ⋅ v′(x) ⇔ f′(x) = 2x ⋅ \(\sqrt x \) + (x² + 2) ⋅ \(\frac{1}{{2\sqrt x }}\) = 2x\(\sqrt x \) + \(\frac{{{x^2} + 2}}{{2\sqrt x }}\)

c) Đúng. Quy đồng mẫu số biểu thức f′(x):

f′(x) = \(\frac{{2x\sqrt x \cdot 2\sqrt x + {x^2} + 2}}{{2\sqrt x }} = \frac{{4{x^2} + {x^2} + 2}}{{2\sqrt x }} = \frac{{5{x^2} + 2}}{{2\sqrt x }}\)

d) Sai. Thay x = 1 vào biểu thức f′(x), ta có: f′(1) = \(\frac{{5 \cdot {1^2} + 2}}{{2\sqrt 1 }} = \frac{7}{2} \ne \frac{5}{2}\).

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: u = 3x + 1 ⇒ u′ = (3x + 1)′ = 3.

b) Sai. Hàm số y = \(\sqrt {3x + 1} \) có dạng y = \(\sqrt u \) với u = 3x + 1

Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp \({\left( {\sqrt u } \right)^\prime } = \frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\), ta có: y′ = \(\frac{{{{\left( {3x + 1} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {3x + 1} }} = \frac{3}{{2\sqrt {3x + 1} }}\).

c) Đúng. Thay x = 1 vào biểu thức y′, ta được: y′(1) = \(\frac{3}{{2\sqrt {3 \cdot 1 + 1} }} = \frac{3}{{2\sqrt 4 }} = \frac{3}{{2 \cdot 2}} = \frac{3}{4}\).

d) Đúng. Với mọi x > \( - \frac{1}{3}\) thì 3x + 1 > 0 ⇒ \(\sqrt {3x + 1} \) > 0

Do đó, y′ = \(\frac{3}{{2\sqrt {3x + 1} }}\) > 0 với mọi x > \( - \frac{1}{3}\).

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Ta có u′ = (x² – 3x)′ = 2x – 3.

b) Đúng. Áp dụng quy tắc đạo hàm của tích (uv)′ = u′v + uv′:

y′ = (x² – 3x)′(2x + 1) + (x² – 3x)(2x + 1)′ = (2x – 3)(2x + 1) + 2(x² – 3x).

c) Đúng. Rút gọn biểu thức đạo hàm, ta được:

y′ = (2x – 3)(2x + 1) + 2(x² – 3x) = (4x² + 2x – 6x – 3) + (2x² – 6x) = 6x² – 10x – 3.

d) Sai. Thay x = 1 vào y′, ta có: y′(1) = 6 ⋅ 1² – 10 ⋅ 1 – 3 = 6 – 10 – 3 = –7 ≠ –6.

Đáp án: -0,16

Hàm số y = \(\frac{1}{{4{x^5} + 3{x^3} - 8{x^2} + 10}}\) có dạng y = \(\frac{1}{u}\) với u = u(x) = 4x⁵ + 3x³ – 8x² + 10

Áp dụng công thức đạo hàm \({\left( {\frac{1}{u}} \right)^\prime } = - \frac{{u'}}{{{u^2}}}\), ta có:

y′ = \( - \frac{{{{\left( {4{x^5} + 3{x^3} - 8{x^2} + 10} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {4{x^5} + 3{x^3} - 8{x^2} + 10} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{4 \cdot 5{x^4} + 3 \cdot 3{x^2} - 8 \cdot 2x}}{{{{\left( {4{x^5} + 3{x^3} - 8{x^2} + 10} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{20{x^4} + 9{x^2} - 16x}}{{{{\left( {4{x^5} + 3{x^3} - 8{x^2} + 10} \right)}^2}}}\)

Tính giá trị đạo hàm tại x₀ = 1:

y′(1) = \(\frac{{20 \cdot {1^4} + 9 \cdot {1^2} - 16 \cdot 1}}{{{{\left( {4 \cdot {1^5} + 3 \cdot {1^3} - 8 \cdot {1^2} + 10} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{20 + 9 - 16}}{{{{\left( {4 + 3 - 8 + 10} \right)}^2}}} = - \frac{{13}}{{{9^2}}} = - \frac{{13}}{{81}}\) ≈ –0,16.

Vậy y′(1) ≈ –0,16.

Đáp án: 2,44

Ta có: f′(x) = \(\frac{{5 \cdot 3 - \left( { - 8} \right) \cdot 2}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{15 + 16}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}} = \frac{{31}}{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}\)

Thay x₀ = 0 vào biểu thức f′(x): a = f′(0) = \(\frac{{31}}{{{{\left( {2 \cdot 0 + 3} \right)}^2}}} = \frac{{31}}{{{3^2}}} = \frac{{31}}{9}\)

Lại có: g′(x) = (1 – x)′ ⋅ cos(1 – x) = –1 ⋅ cos(1 – x) = –cos(1 – x)

Thay x₀ = 1 vào biểu thức g′(x): b = g′(1) = –cos(1 – 1) = –cos(0) = –1

⇒ a + b = \(\frac{{31}}{9} + \left( { - 1} \right) = \frac{{31}}{9} - \frac{9}{9} = \frac{{22}}{9}\) ≈ 2,44.

Đáp án: -3,8

Hàm số y = \(\frac{{x + 2}}{{x - 1}}\) có dạng hàm thương y = \(\frac{u}{v}\) với u = x + 2 và v = x – 1

Áp dụng công thức đạo hàm hàm thương, ta có:

y′ = \(\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^\prime }\left( {x - 1} \right) - \left( {x + 2} \right){{\left( {x - 1} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{\left( {x - 1} \right) - \left( {x + 2} \right)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{x - 1 - x - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = - \frac{3}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

Thay x = 2 vào biểu thức y′: y′(2) = \( - \frac{3}{{{{\left( {2 - 1} \right)}^2}}} = - \frac{3}{{{1^2}}}\) = –3

Thay x = 3 vào biểu thức y′: y′(3) = \( - \frac{3}{{{{\left( {3 - 1} \right)}^2}}} = - \frac{3}{{{2^2}}} = - \frac{3}{4}\) = –0,75

⇒ S = y′(2) + y′(3) = (–3) + (–0,75) = –3,75

Vậy S = –3,75 ≈ −3,8.

Đáp án: 0,67

Hàm số y = \(\sqrt {{x^2} + 5} \) có dạng hàm hợp y = \(\sqrt u \) với u = x² + 5

Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp (\(\sqrt u \))′ = \(\frac{{u'}}{{2\sqrt u }}\), ta có:

y′ = \(\frac{{{{\left( {{x^2} + 5} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {{x^2} + 5} }} = \frac{{2x}}{{2\sqrt {{x^2} + 5} }} = \frac{x}{{\sqrt {{x^2} + 5} }}\)

Thay x = 2 vào biểu thức y′: y′(2) = \(\frac{2}{{\sqrt {{2^2} + 5} }} = \frac{2}{{\sqrt 9 }} = \frac{2}{3}\) ≈ 0,67.

Vậy y′(2) ≈ 0,67.

Đáp án: 2

Áp dụng công thức (uv)′ = u′v + uv′ với u = x² + 1 và v = 2x – 3:

f′(x) = (x² + 1)′(2x – 3) + (x² + 1)(2x – 3)′

f′(x) = 2x(2x – 3) + 2(x² + 1)

f′(x) = 4x² – 6x + 2x² + 2 = 6x² – 6x + 2

⇒ a = 6, b = –6, c = 2

⇒ a + b + c = 6 + (–6) + 2 = 2

Vậy a + b + c = 2.