Giải SBT Toán 11 KNTT Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm có đáp án

a) Ta có: y' = ((x + 1)²)'(x² – 1) + (x + 1)²(x² – 1)'

= 2(x + 1)(x² – 1) + 2x(x + 1)²

= 2x³ – 2x + 2x² – 2 + 2x³ + 4x² + 2x = 4x³ + 6x² – 2.

Vậy y' = 4x³ + 6x² – 2.

b) y'=3x2−2x2x2−2x'

 =3x2−2x22x+1xx

a) y'=x2−x+1x+2'

 =x2−x+1'⋅x+2−x2−x+1⋅x+2'x+22

=2x−1⋅x+2−x2−x+1x+22=2x2+3x−2−x2+x−1x+22=x2+4x−3x+22

Vậy y'=x2+4x−3x+22

b) y'=1−x2x2+1'

 =1−x2'⋅x2+1−1−x2⋅x2+1'x2+12=−2x⋅x2+1−1−x2⋅2xx2+12=−2x3−2x−2x−2x3x2+12=−4xx2+12

Có f'x=x4−x2' =x'⋅4−x2−x⋅4−x2'4−x2

=4−x2−x⋅−2x24−x24−x2=4−x2+x24−x24−x2

=4−x2+x24−x24−x2=44−x24−x2

Khi đó f'0=44−04−0=12

Có g'x=1x+1x+x2'=1x'+1x'+x2'=−1x2−12xx+2x

Khi đó g'1=−112−12.11+2⋅1=12

Do đó f'(0) – g'(1) = 12−12=0. Vậy f'(0) – g'(1) = 0.

Có y'=3tanx+π4−2cotπ4−x'

=3tanx+π4'−2cotπ4−x'

=3⋅x+π4'cos2x+π4+2⋅π4−x'sin2π4−x

=3cos2x+π4−2sin2π4−x

=3cos2x+π4−2sin2π2−π4+x

=3cos2x+π4−2cos2x+π4

 =1cos2x+π4=1+tan2x+π4

Có f'x=cos2x+cos22π3+x+cos22π3−x'

=cos2x'+cos22π3+x'+cos22π3−x'

=2cosx⋅cosx'+2cos2π3+x⋅cos2π3+x'+2cos2π3−x⋅cos2π3−x'

=−2cosx⋅sinx−2cos2π3+xsin2π3+x+2cos2π3−xsin2π3−x

=−sin2x−sin4π3+2x+sin4π3−2x

=−sin2x−sinπ+π3+2x+sinπ+π3−2x

=−sin2x+sinπ3+2x−sinπ3−2x=−sin2x+2cosπ3sin2x=−sin2x+sin2x=0

Vậy f'(x) = 0 với mọi x Î ℝ.

+ Có f'x=4sin22x−π3'=8sin2x−π3sin2x−π3'

=8sin2x−π3cos2x−π3⋅2x−π3'

=8⋅2sin2x−π3cos2x−π3=8sin4x−2π3

Vì sin4x−2π3≤1 với mọi x Î ℝ nên 8sin4x−2π3≤8 với mọi x Î ℝ .

Vậy |f'(x)| ≤ 8 với mọi x Î ℝ.

+ Có f'(x) = 8 ⇔8sin4x−2π3=8

 ⇔sin4x−2π3=1

 ⇔4x−2π3=π2+k2π (k Î ℤ)

  ⇔4x=7π6+k2π (k Î ℤ)

⇔x=7π24+kπ2 (k Î ℤ).

Vậy f'(x) = 8 khi x=7π24+kπ2 với k Î ℤ.

Đạo hàm hai vế của phương trình đã cho, ta có

(xy)' = (1 + lny)' ⇔y+xy'=y'y

⇔y=y'y−xy'⇔y=1y−xy'

⇔y=1−xyyy'⇔y'=y21−xy

Tại x = 0 thay vào phương trình xy = 1 + lny ta được lny = −1 Û y = e⁻¹.

Do đó y'0=e−21−0⋅e−1=e−2=1e2

Vậy y'0=1e2

Vận tốc của vật tại thời điểm t là v(t) = h'(t) = v0t−12gt2'=v0−gt

Tại thời điểm vật chạm đất thì h = 0 (t > 0) tức là v0t−12gt2=0

⇔tv0−12gt=0⇔v0−12gt=0⇔t=2v0g

Vận tốc khi vật chạm đất là v2v0g=v0−g.2v0g=−v0 (m/s).

Vậy vận tốc khi vật chạm đất là −v₀ m/s.

Vận tốc của hạt sau t giây là v(t) = s'(t) = 10+2sin4πt+π6'

=2cos4πt+π6⋅4πt+π6'=42πcos4πt+π6

Vì cos4πt+π6≤1 nên 42πcos4πt+π6≤42π  hay vt≤42π

Do đó vận tốc cực đại của hạt là 42π≈17,8 m/s đạt được khi cos4πt+π6=1⇔sin4πt+π6=0⇔4πt+π6=kπ⇔t=−124+14k, với k Î ℕ^*.

Vậy vận tốc cực đại của hạt khoảng 17,8 m/s khi t=−124+14k,với k Î ℕ^*.

Vậy vận tốc cực đại của hạt khoảng 17,8 m/s khi ,với k Î ℕ^*.