Giải SGK Toán 11 KNTT Bài 32. Các quy tắc tính đạo hàm có đáp án

Phương trình chuyển động của vật là h=v0t−12gt2

Vận tốc của vật tại thời điểm t được cho bởi v(t) = h' = v₀ – gt.

Vật đạt độ cao cực đại tại thời điểm  t1=v0g, tại đó vận tốc bằng v(t₁) = v_0­ – gt₁ = 0.

Vật chạm đất tại thời điểm t₂ mà h(t₂) = 0 nên ta có:

v0t2−12gt22=0 ⇔ t₂ = 0 (Loại) hoặc  t2=2v0g.

Khi chạm đất, vận tốc của vật là v(t₂) = v₀ – gt₂ = –v₀ = –20 (m/s).

Dấu âm của v(t₂) thể hiện độ cao của vật giảm với vận tốc 20 m/s (tức là chiều chuyển động của vật ngược với chiều dương đã chọn).

a)

Đặt y = f(x) = x³.

Với x₀ bất kì, ta có:

 y'=f'(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0=limx→x0x3−x03x−x0

=limx→x0x−x0x2+xx0+x02x−x0

=limx→x0x2+xx0+x02=3x02.

Vậy đạo hàm của hàm số đã cho là y' = 3x.

b)

Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số y = xⁿ (n ∈ ℕ^*) là y' = nx^{n – 1}.

Đặt f(x) = y=x .

Với x₀ > 0, ta có

y'=f'(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0=limx→x0x−x0x−x0

=limx→x0x−x0x−x0x+x0

=limx→x01x+x0=12x0.

Vậy đạo hàm của hàm số đã cho là y'=12x.

a)

Đặt f(x) = y = x³ + x²_­.

Với x₀ bất kì, ta có:

y'=f'(x0)=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0=limx→x0x3+x2−x03−x02x−x0

=limx→x0x3−x03+x2−x02x−x0=limx→x0x−x0x2+xx0+x02+x+x0x−x0

=limx→x0x2+xx0+x02+x+x0=3x02+2x0.

Vậy đạo hàm của hàm số y = x³ + x² là hàm số y' = 3x² + 2x.

b)

Ta có (x³)' = 3x² ; (x²)' = 2x, do đó (x³)' + (x²)' = 3x² + 2x.

Từ đó suy ra (x³ + x²)' = (x³)' + (x²)' (cùng bằng 3x² + 2x).

a) 

Với x ≥ 0 và x ≠ – 1 ta có:y'=xx+1'=x'.(x+1)−x.(x+1)'(x+1)2

=12xx+1−x.1(x+1)2=12xx+1−2x2x(x+1)2

=x+1−2x2x(x+1)2=1−x2x(x+1)2=1−x2xx+12.

b)

Với x ≥ 0 ta có:

y'=x+1x2+2'

=x+1'.x2+2+x+1x2+2'

=x'+1'.x2+2+x+1x2'+2'

=12x.x2+2+x+1.2x=x2+22x+2xx+1

a)

Công thức của hàm số hợp y = (u(x))² theo biến x là:

y = (u(x))² = (x² + 1)² = x⁴ + 2x² + 1.

b)

Ta có y'(x) = (x⁴ + 2x² + 1)' = 4x³ + 4x.

Lại có u'(x) = (x² + 1)' = 2x ; y'(u) = (u²)' = 2u.

Do đó, y' (u) . u' (x) = 2u . 2x = 4x(x² + 1) = 4x³ + 4x.

Vậy y'(x) = y' (u) . u' (x).

a)

y' = [(2x – 3)¹⁰]' = 10.(2x – 3)⁹ . (2x – 3)' = 10.(2x – 3)⁹ . 2 = 20(2x – 3)⁹.

b) Với x ∈ (– 1; 1), ta có:

y' =  1−x2'=121−x2.1−x2'=−2x21−x2=−x1−x2.

a) Với h ≠ 0, ta có:

sin(x + h) – sin x = 2cosx+h+x2.sinx+h−x2  = 2cos2x+h2.sinh2.

b)

Với x₀ bất kỳ ta có:

f'x0=limx→x0f(x)−f(x0)x−x0=limx→x0sinx−sinx0x−x0

=limx→x02cosx+x02.sinx−x02x−x0

=limx→x0sinx−x02x−x02.limx→x0cosx+x02=cosx0.

Vậy hàm số y = sin x có đạo hàm là hàm số y' = cos x.

Ta có y'=π3−3x'.cosπ3−3x=−3cosπ3−3x

Ta có

y' = (cos x)' =  sinπ2−x'=π2−x'.cosπ2−x

=−cosπ2−x=−sinx.

Vậy đạo hàm của hàm số y = cos x là hàm số y' = – sin x.

y'=2cosπ4−2x'=2.−sinπ4−2x.(−2)=4sinπ4−2x

a) Ta có

y'=(tanx)'=sinxcosx '

=(sinx)'.cosx−sinx.(cosx)'cos2x

=cos2x+sin2xcos2x=1cos2x.

a) Ta có

y'=(tanx)'=sinxcosx '

=(sinx)'.cosx−sinx.(cosx)'cos2x

=cos2x+sin2xcos2x=1cos2x.

b) Ta có

y'=(cotx)'=tanπ2−x'=−1cos2π2−x=−1sin2x.

Ta có:

y'=2tan2x'+3cotπ3−2x'

=2.2tanx.1cos2x+3.−(−2)sin2π3−2x

=4tanxcos2x+6sin2π3−2x.

Ta có:

v(t) = s'(t) = 4cos2πt−π8'=−4.2π.sin2πt−π8=−8π.sin2πt−π8 .

Vậy vận tốc của vật khi t = 5 giây là:

v(5)=−8π.sin2π.5−π8≈9,6 (m/s).

a)

Ta có: t = 1x , nên khi x → 0 thì t → + ∞ do đó:

limx→01+x1x=limt→+∞1+1tt=e.

b) Với y=1+x1x, ta có:

ln y =ln1+x1x=1xln1+x .

Khi đó, limx→0lny=limx→0ln1+xx=1 .

c)

t = e^x – 1 ⇔ e^x = t + 1 ⇔ x = ln(t + 1).

Ta có: limx→0ex−1x=limt→0tlnt+1=1.

a)

Với x bất kì và h = x – x₀, ta có:

f'x0=limh→0f(x0+h)−f(x0)h=limh→0ex0+h−ex0h

=limh→0ex0eh−1h=limh→0ex0.limh→0eh−1h=ex0.

Vậy hàm số y = e^x có đạo hàm là hàm số y' = e^x.

b)

Ta có: a^x = e^{x.ln a} nên (a^x)' = (e^{x.ln a})' = (x.ln a)' . e^{x.ln a} = e^{x.ln a}.ln a = a^x.ln a.

a)

y'=ex2−x'=ex2−x.x2−x'=2x−1ex2−x.

b)

y' = (3^{sin x})' = 3^sin x . (sin x)' . ln3 = 3^sin x.cos x. ln3.

a)

Với x > 0 bất kì và h = x – x₀ ta có:

f'x0=limh→0f(x0+h)−fx0h=limh→0ln(x0+h)−lnx0h

=limh→0ln1+hx0hx0.x0=limh→01x0.limh→0ln1+hx0hx0=1x0.

Vậy hàm số y = ln x có đạo hàm là hàm số y' = 1x.

b)

Ta có logax=lnxlna nên logax'=lnxlna'=1xlna.

Điều kiện: 2x – 1 > 0 ⇔ x > 12. Hàm số đã cho xác định trên 12;+∞ .

Ta có: y'=2x−1'2x−1ln2=22x−1ln2.

Tốc độ thay đổi của pH với nồng độ [H⁺] là đạo hàm của pH. Ta có:

pH = –log[H⁺] ⇒ (pH)' = (–log[H⁺])' = =−H+'[H+].ln10=−1[H+].ln10.

Vậy tốc độ thay đổi của pH với nồng độ [H⁺] là −1[H+]ln10 .

a)

y' = (x³)' – 3.(x²)' + 2.(x)' + 1' = 3x²  – 6x + 2.

b) Với x > 0, ta có:

y' = (x²)' – 4. ' + 3' = 2x –  2x.

a) Với x ≠ – 2, ta có:

y'=2x−1x+2'=(2x−1)'.(x+2)−(2x−1).(x+2)'(x+2)2

=2(x+2)−(2x−1)(x+2)2=5(x+2)2.

b) y'=2xx2+1'=(2x)'(x2+1)−2x.(x2+1)'(x2+1)2

=2(x2+1)−2x.2x(x2+1)2=−2x2+2(x2+1)2.

a)

y' = (x)' . sin²x + x . (sin²x)' = sin²x + x . 2 . sinx . cosx = sin²x + xsin2x.

b)

y' = (cos²x)' + (sin2x)' = 2cosx.(–sinx) + 2cos2x

= –2cosx.sinx + 2cos2x = –sin2x + 2cos2x.

c)

y' = (sin3x)' – (3sinx)' = 3cos3x – 3cosx.

d) Với , ta có:

y' = (tanx)' + (cotx)' = 1cos2x−1sin2x .

a) y'=23x−x2'=3x−x2'.23x−x2.ln2=3−2x.23x−x2.ln2.

b) Với x>−14, ta có:

y'=log34x+1=4x+1'4x+1ln3=44x+1ln3.

Ta có: f'(x)=4sin3x−π4.sin3x−π4'

=4.3.cos3x−π4.sin3x−π4

=12cos3x−π4.sin3x−π4=6sin6x−π2

Vì:

−1≤sin6x−π2≤1⇔−6≤6sin6x−π2≤6

⇔ –6 ≤ f'(x) ≤ 6 với mọi x.

Vậy |f'(x)| ≤ 6 với mọi x.

Ta có: v(t) = h'(t) = –9,8t.

a) Vận tốc tại thời điểm t = 5 giây là:

v(5) = –9,8 . 5 = –49 (m/s).

Vậy vận tốc của vật tại thời điểm t = 5s là 49 m/s.

b)

Khi vật chạm đất h(t) = 0, tức là 100 – 4,9t² = 0 ⇒t=10107.

Vậy vận tốc của vật khi chạm đất là v10107=−9,8.10107=−1410 (m/s).

Ở đây, dấu âm trong các kết quả tính vận tốc thể hiện vật chuyển động thẳng đứng xuống dưới (ngược với chiều dương).

Vận tốc của hạt sau t giây là:

v(t) = s'(t) = 0,5.(4πt)'.cos(4πt) = 2πcos(4πt) (m/s).

Vì –1 ≤ cos(4πt) ≤ 1 ⇔ –2π ≤ 2πcos(4πt) ≤ 2π ⇔ –2π ≤ v(t) ≤ 2π với mọi t.

Do đó vận tốc cực đại của hạt là 2π cm/s.