Trắc nghiệm Các quy tắc tính đạo hàm lớp 11 (có đúng sai, trả lời ngắn)
25 câu hỏi
PHẦN I. TRẮC NGHIỆM NHIỀU LỰA CHỌN
Đạo hàm của hàm số \(y = {x^4} - 4{x^2} - 3\) là
\(y' = - 4{x^3} + 8x\).
\(y' = 4{x^2} - 8x\).
\(y' = 4{x^3} - 8x\).
\(y' = - 4{x^2} + 8x\).
C
\(y' = {\left( {{x^4} - 4{x^3} - 3} \right)^\prime } = 4{x^3} - 8x\).
PHẦN II. TRẮC NGHIỆM ĐÚNG – SAI
Cho hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{2x + 1}}\). Khi đó:
a) \(y'\left( 0 \right) = 7\).
b) Đồ thị của hàm số \(y'\) đi qua điểm \(A\left( {1;\frac{7}{3}} \right)\).
c) \(y'\left( 1 \right) < y'\left( 2 \right)\).
d) Điểm \(M\) thuộc đồ thị \((C)\)của hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{2x + 1}}\) có hoành độ \({x_0} = 0\). Khi đó, phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) song song với đường thẳng \(y = 7x + 2024\).
\(y' = \frac{{(x - 3)'(2x + 1) - (2x + 1)'(x - 3)}}{{{{(2x + 1)}^2}}} = \frac{{2x + 1 - 2(x - 3)}}{{{{(2x + 1)}^2}}} = \frac{7}{{{{(2x + 1)}^2}}}\).
a) y'(0) = 7.
b) Thay x = 1 vào y' ta được \(y' = \frac{7}{{{{\left( {2.1 + 1} \right)}^2}}} = \frac{7}{9}\).
Do đó đồ thị hàm số y' đi qua điểm \(\left( {1;\frac{7}{9}} \right)\).
c) Có \[y'\left( 1 \right) = \frac{7}{9};y'\left( 2 \right) = \frac{7}{{25}}\]Þ y'(1) > y'(2).
d) Ta có M(0; −3).
Phương trình tiếp tuyến tại M có hệ số góc là k = y'(0) = 7.
Phương trình tiếp tuyến tại M có phương trình y = 7x – 3 và song song với đường thẳng \(y = 7x + 2024\).
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \frac{{2x}}{{x - 1}}\)
\(y' = \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).
\(y' = \frac{2}{{\left( {x - 1} \right)}}\).
\(y' = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).
\(y' = \frac{{ - 2}}{{\left( {x - 1} \right)}}\).
C
\(y = \frac{{2x}}{{x - 1}} \Rightarrow y' = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\).
Cho hàm số y = −x3 + 3x2 + 1 có đồ thị là (C).
a) y' = −3x2 + 6x.
b) Hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại điểm M(1; 3) bằng −3.
c) y'(2) = 5.
d) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M0(x0; y0) với 0 < x0 < 2 là giao điểm (C) với đường thẳng d: y = 2x + 1 có dạng y = ax + b. Khi đó 20a + b = 60.
a) Ta có y' = −3x2 + 6x.
b) Hệ số góc của tiếp tuyến của C tại M là k = y'(1) = −3.12 + 6.1 = 3.
c) y'(2) = −3.22 + 6.2 = 0.
d) Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:
−x3 + 3x2 + 1 = 2x + 1 Û −x3 + 3x2 −2x = 0 Û x = 1 (vì 0 < x < 2).
Suy ra M0(1; 3).
Theo câu b ta có hệ số góc k = 3.
Khi đó phương trình tiếp tuyến tại M0(1; 3) là y = 3(x – 1) + 3 = 3x.
Suy ra a = 3; b = 0. Do đó 20a + b = 60.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Tính đạo hàm của hàm số \[y = \sqrt x + x\] tại điểm \[{x_0} = 4\] là:
\[y'\left( 4 \right) = \frac{9}{2}\].
\[y'\left( 4 \right) = 6\].
\[y'\left( 4 \right) = \frac{3}{2}\].
\[y'\left( 4 \right) = \frac{5}{4}\].
D
Ta có \[y' = \frac{1}{{2\sqrt x }} + 1\]\[ \Rightarrow y'\left( 4 \right) = \frac{1}{{2\sqrt 4 }} + 1 = \frac{5}{4}.\]
Chuyển động của một vật có phương trình \(s\left( t \right) = 4\cos \left( {2\pi t - \frac{\pi }{{12}}} \right)\) (m) với t là thời gian tính bằng giây. Khi đó
a) Sau 5 giây vật đi được quãng đường là 3,86 m.
b) Vận tốc tức thời của vật theo thời gian là \(v\left( t \right) = 8\pi \sin \left( {2\pi t - \frac{\pi }{{12}}} \right)\).
c) Tại thời điểm \(t = \frac{{5\pi }}{6}\) s, vận tốc của vật là 11,6 m/s.
d) Vận tốc lớn nhất của vật đạt 25,13 m/s.
a) \(s\left( 5 \right) = 4\cos \left( {\frac{{119\pi }}{{12}}} \right) \approx 3,86\).
b) \(v\left( t \right) = s'\left( t \right) = - 8\pi \sin \left( {2\pi t - \frac{\pi }{{12}}} \right)\).
c) \(v\left( {\frac{{5\pi }}{6}} \right) = - 8\pi \sin \left( {2\pi .\frac{{5\pi }}{6} - \frac{\pi }{{12}}} \right) \approx 6,5\) m/s.
d) Có \( - 8\pi \le - 8\pi \sin \left( {2\pi t - \frac{\pi }{{12}}} \right) \le 8\pi \).
Vậy vận tốc lớn nhất của vật là 8π ≈ 25,13.
Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.
Đạo hàm của hàm số \[y = 5\sin x - 3\cos x\] tại \[{x_0} = \frac{\pi }{2}\] là:
\[y'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 3\].
\[y'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 5\].
\[y'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - 3\].
\[y'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - 5\].
A
Ta có: \[y' = 5\cos x + 3\sin x\]\[ \Rightarrow y'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 3\].
Cho hàm số f(x) = 2x.
a) f'(x) = 2xln2, ∀x ∈ ℝ.
b) f'(x) ≥ 2, ∀x ∈ ℝ.
c) Phương trình f'(x) = ex có nghiệm duy nhất thuộc khoảng (0; 1).
d) f'(1) = 2ln2.
a) f'(x) = 2xln2.
b) f'(x) ≥ 2 ⇔ 2xln2 ≥ 2 ⇔ 2x – 1ln2 ≥ 0 (luôn đúng ∀x ∈ ℝ).
c) f'(x) = ex ⇔ 2xln2 = ex \( \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{e}} \right)^x} = \frac{1}{{\ln 2}}\)\( \Leftrightarrow x = {\log _{\frac{2}{e}}}\frac{1}{{\ln 2}} < 0\).
d) f'(1) = 2ln2.
Đáp án: a) Đúng; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \sin 2x - \cos x\)
\(y' = 2\cos x + \sin x\).
\(y' = \cos 2x + \sin x\).
\(y' = 2\cos 2x + \sin x\).
\(y' = 2\cos x - \sin x\).
C
\(y = \sin 2x - \cos x \Rightarrow y' = 2\cos 2x + \sin x\).
Một vật chuyển động với vận tốc ban đầu là v0 (m/s) sau đó dừng lại, phương trình quãng đường của vật là s = f(t) = −t3 + 6t2 + 15t, trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét.
a) Vận tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2 s là v = 18 m/s.
b) Phương trình vận tốc của vật là v(t) = −3t2 + 12t + 15 (tính theo đơn vị m/s).
c) Vật dừng lại sau khoảng thời gian kể từ lúc bắt đầu chuyển động là t = 4 giây.
d) Vận tốc lớn nhất của vật là 27 m/s.
Ta có v(t) = f'(t) = −3t2 + 12t + 15.
a) v(2) = 27 m/s.
b) v(t) = f'(t) = −3t2 + 12t + 15.
c) Vật dừng lại khi v(t) = 0 ⇔ −3t2 + 12t + 15 = 0 ⇔ t = 5 (vì t > 0).
d) Ta có v(t) = −3t2 + 12t + 15 = −3(t − 2)2 + 27 ≤ 27.
Vậy vận tốc lớn nhất của vật là 27 m/s khi t = 2.
Đáp án: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Đúng.
Đạo hàm của hàm số \(f\left( x \right) = {\sin ^2}x\) là:
\(f'\left( x \right) = 2\sin x\).
\(f'\left( x \right) = 2\cos x\).
\(f'\left( x \right) = - \sin \left( {2x} \right)\).
\(f'\left( x \right) = \sin \left( {2x} \right)\).
D
\(f'\left( x \right) = 2\sin x.{\left( {\sin x} \right)^\prime } = 2\sin x.\cos x = \sin 2x\).
Tìm đạo hàm của hàm số \[y = {\rm{log}}\,x\].
\(y' = \frac{{\ln 10}}{x}\)
\(y' = \frac{1}{{x\ln 10}}\)
\(y' = \frac{1}{{10\ln x}}\)
\(y' = \frac{1}{x}\)
B
Áp dụng công thức \({\left( {{{\log }_a}x} \right)^\prime } = \frac{1}{{x\ln a}}\), ta được \[y' = \frac{1}{{x{\rm{ln}}\,10}}\].
Hàm số \(y = {2^{{x^2} - x}}\) có đạo hàm là
\({2^{{x^2} - x}}.\ln 2\).
\((2x - 1){.2^{{x^2} - x}}.\ln 2\).
\(({x^2} - x){.2^{{x^2} - x - 1}}\).
\((2x - 1){.2^{{x^2} - x}}\).
B
Ta có \(y' = ({x^2} - x)'{.2^{{x^2} - x}}.\ln 2 = (2x - 1){.2^{{x^2} - x}}.\ln 2\).
Đạo hàm của hàm số \(y = {e^{1 - 2x}}\) là
\(y' = 2{e^{1 - 2x}}\).
\(y' = - 2{e^{1 - 2x}}\).
\(y' = - \frac{{{e^{1 - 2x}}}}{2}\)
\(y' = {e^{1 - 2x}}\)
B
\(y' = {e^{1 - 2x}}.{\left( {1 - 2x} \right)^\prime } = - 2.{e^{1 - 2x}}\).
Đạo hàm của hàm số \[y = {\log _2}\left( {x - 1} \right)\] là:
\[y' = \frac{{x - 1}}{{\ln 2}}\].
\[y' = \frac{1}{{\ln 2}}\].
\[y' = \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)\ln 2}}\].
\[y' = \frac{1}{{x - 1}}\].
C
Ta có \[y' = \frac{1}{{\left( {x - 1} \right)\ln 2}}\].
Tính đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt {4x + 3} \).
\(y' = \frac{2}{{\sqrt {4x + 3} }}\).
\(y' = \frac{4}{{\sqrt {4x + 3} }}\).
\(y' = \frac{1}{{2\sqrt {4x + 3} }}\).
\(y' = \frac{1}{{\sqrt {4x + 3} }}\).
A
Ta có \(y' = {\left( {\sqrt {4x + 3} } \right)^\prime } = \frac{{{{\left( {4x + 3} \right)}^\prime }}}{{2\sqrt {4x + 3} }} = \frac{2}{{\sqrt {4x + 3} }}\).
Một chất điểm chuyển động theo quy luật s(t) = −t3 + 6t2 với t là thời gian tính từ lúc bắt đầu chuyển động, s(t) là quãng đường đi được trong khoảng thời gian t. Tính thời điểm t tại đó vận tốc đạt giá trị lớn nhất.
3s.
2s.
4s.
3,5s.
B
Ta có v(t) = s'(t) = −3t2 + 12t = −3(t − 2)2 + 12 ≥ 12.
Dấu “=” xảy ra khi t = 2.
Một chất điểm chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t3 + 2t2 + 4t + 1 trong đó t tính bằng giây, s tính bằng mét. Tìm thời điểm mà vận tốc của chất điểm bằng 24 m/s.
6s.
3s.
2s.
5s.
C
Ta có v(t) = s'(t) = 3t2 + 4t + 4.
Vì v(t) = 24 nên 3t2 + 4t + 4 = 24 Û t = 2 (vì t > 0).
Cho các hàm số f(x), g(x) có đạo hàm trên ℝ và thỏa mãn f(3) = 0; g(3) = 1; g'(3) = f'(3) = 2. Đạo hàm của hàm số h(x) = f(x).g(x) tại x0 = 3 bằng
2.
4.
6.
15.
A
Ta có h'(x) = f'(x).g(x) + f(x).g'(x).
Do đó h'(3) = f'(3).g(3) + f(3).g'(3) = 2.1 + 0.2 = 2.
Cho hàm số f(x) = x2023 – x2 + 3x. Giá trị của f'(1) bằng
f'(1) = 2021.
f'(1) = −2021.
f'(1) = 2024.
f'(1) = −2024.
C
Ta có f'(x) = 2023x2022 – 2x + 3.
Suy ra f'(1) = 2023 – 2 + 3 = 2024.
PHẦN II. TRẢ LỜI NGẮN
Nhiệt độ cơ thể của một người trong thời gian bị bệnh được cho bởi công thức:
T(t) = −0,1t2 + 1,2t +98,6. Trong đó T là nhiệt độ (tính theo đơn vị đo Fahrenheit) tại thời điểm t (tính theo ngày). Tìm tốc độ thay đổi nhiệt đội ở thời điểm t = 3.
Ta có T'(t) = −0,2t + 1,2.
Vậy tốc độ thay đổi nhiệt độ tại thời điểm t = 3 là T'(3) = −0,2.3 + 1,2 = 0,6.
Trả lời: 0,6.
Cho hàm số \(y = \frac{1}{3}{x^3} + {x^2} - 2x + 1\) có đồ thị là (C). Tiếp tuyến của (C) tại điểm \(M\left( {1;\frac{1}{3}} \right)\) cắt đường thẳng \(x = \frac{5}{3}\) tại điểm có tung độ bằng bao nhiêu?
Ta có \(y' = {x^2} + 2x - 2\).
Hệ số góc của tiếp tuyến là k = y'(1) = 1.
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là \(y = x - 1 + \frac{1}{3} = x - \frac{2}{3}\).
Tung độ giao điểm của tiếp tuyến với đường thẳng \(x = \frac{5}{3}\) là \(y = \frac{5}{3} - \frac{2}{3} = 1\).
Trả lời: 1.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \ln \frac{{2018x}}{{x + 1}}\). Tính tổng S = f'(1) + f'(2) + …+f'(2018) thu được phân số tối giản \(\frac{a}{b}\left( {a,b \in \mathbb{N}} \right)\). Tính 2b – a.
Ta có \(f'\left( x \right) = \frac{{x + 1}}{{2018x}}.{\left( {\frac{{2018x}}{{x + 1}}} \right)^\prime } = \frac{1}{{x\left( {x + 1} \right)}} = \frac{1}{x} - \frac{1}{{x + 1}}\).
Do đó \(f'\left( 1 \right) = \frac{1}{1} - \frac{1}{2};f'\left( 2 \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3};...;f'\left( {2018} \right) = \frac{1}{{2018}} - \frac{1}{{2019}}\).
Suy ra S = f'(1) + f'(2) + …+f'(2018) = \(1 - \frac{1}{{2019}} = \frac{{2018}}{{2019}}\).
Suy ra a = 2018; b = 2019. Do đó 2b – a = 2020.
Trả lời: 2020.
Hàm số \(y = \frac{1}{{{x^2} - 2x + 5}}\) có đạo hàm \(y' = \frac{{ax + b}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}^2}}}\). Tính giá trị P = a + b.
Ta có \(y' = {\left( {\frac{1}{{{x^2} - 2x + 5}}} \right)^\prime } = - \frac{{{{\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}^\prime }}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}^2}}}\)\( = \frac{{ - 2x + 2}}{{{{\left( {{x^2} - 2x + 5} \right)}^2}}}\).
Suy ra a = −2; b = 2. Do đó a + b = 0.
Trả lời: 0.
Cho hàm số \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - 3{x^2} + mx + 6\), tồn tại hai giá trị a, b phân biệt thỏa mãn f'(a) = f'(b) = 0 và a + 3b = 16. Tính f'(3).
Có f'(x) = x2 – 6x + m.
Theo đề ta có a2−6a+m=0 1b2−6b+m=0 2a+3b=16 3
Lấy (1) – (2), ta được \({a^2} - {b^2} - 6\left( {a - b} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left( {a - b} \right)\left( {a + b - 6} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b\\a + b = 6\end{array} \right.\).
Do a, b phân biệt nên a = b (loại).
Từ a + b = 6 Þ a = 6 – b thay vào (3) ta được 6 – b + 3b = 16 Û b = 5 suy ra a = 1.
Thay a = 1 vào phương trình (1) ta được 12 – 6.1 + m = 0 Û m = 5.
Do đó f'(x) = x2 − 6x + 5. Vậy f'(3) = 32 – 6.3 + 5 = −4.
Trả lời: −4.
