Bài tập Tính đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản lớp 11 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số lũy thừa (xⁿ)′ = n ⋅ x^n–1 với n ∈ ℕ*

Ta có: y′ = (x⁵)′ = 5x^5–1 = 5x⁴.

Đáp án đúng là: B

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số mũ f′(x) = (e^x)′ = e^x trên ℝ

Ta có: f′(0) = e⁰ = 1.

Đáp án đúng là: B

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lôgarit tự nhiên f′(x) = (ln x)′ = \(\frac{1}{x}\) với mọi x > 0

Ta có: f′\(\left( {\frac{1}{7}} \right) = \frac{1}{{\frac{1}{7}}}\) = 7.

Đáp án đúng là: D

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lôgarit f′(x) = (log_ax)′ = \(\frac{1}{{x\ln a}}\) với mọi x > 0 và 0 < a ≠ 1

Ta có: f′(x) = (log₄x)′ = \(\frac{1}{{x\ln 4}}\)

Do đó, tại điểm x₀ = 9, ta có f′(9) = \(\frac{1}{{9\ln 4}}\).

Đáp án đúng là: B

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số căn bậc hai y′ = \({\left( {\sqrt x } \right)^\prime }\) = \(\frac{1}{{2\sqrt x }}\) với mọi x ∈ (0; +\(\infty \))

Ta có: y′(16) = \(\frac{1}{{2\sqrt {16} }} = \frac{1}{{2 \cdot 4}} = \frac{1}{8}\).

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có f′(x) = (x⁵)′ = 5x⁴. Do đó f′(–1) = 5 ⋅ (–1)⁴ = 5.

b) Sai. Ta có: g′(x) = \({\left( {\sqrt x } \right)^\prime }\) = \(\frac{1}{{2\sqrt x }}\). Biểu thức \(\frac{1}{{2\sqrt x }}\) xác định khi và chỉ khi x > 0

Vậy tập xác định của g′(x) là (0; +\(\infty \)).

c) Đúng. Với mọi x > 0, g′(x) = \(\frac{1}{{2\sqrt x }}\)

Do đó g′(9) = \(\frac{1}{{2\sqrt 9 }} = \frac{1}{{2 \cdot 3}} = \frac{1}{6}\).

d) Đúng. Phương trình f′(x) = 0 ⇔ 5x⁴ = 0 ⇔ x = 0

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Hàm số y = sin x có đạo hàm trên ℝ và (sin x)′ = cos x.

b) Sai. Ta có y′ = (tan x)′ = \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) tại mọi x ≠ \(\frac{\pi }{2}\) + k\(\pi \) (k ∈ ℤ)

Do đó, tại x = 0 ta có y′(0) = \(\frac{1}{{{{\cos }^2}0}} = \frac{1}{{{1^2}}}\) = 1 ≠ 0.

c) Sai. Công thức đạo hàm đúng của hàm số y = cot x là y′ = \( - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) tại mọi x ≠ k\(\pi \) (k ∈ ℤ).

d) Đúng. Với y = sin x ⇒ y′ = cos x. Ta có y′\(\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\)= cos\(\left( {\frac{\pi }{2}} \right)\) = 0.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Áp dụng công thức (a^x)′ = a^x lna, ta có: (5^x)′ = 5^x ln5.

b) Đúng. Hàm số y = e^x có đạo hàm trên ℝ và (e^x)′ = e^x.

c) Sai. Ta có y′ = (2^x)′ = 2^xln2

Do đó tại x = 0, y′(0) = 2⁰ln2 = ln2 ≠ 1.

d) Đúng. Áp dụng công thức đạo hàm hàm số mũ, ta có: y′ = \({\left[ {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^x}} \right]^\prime } = {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\ln \left( {\frac{1}{2}} \right)\)

Vì \(\ln \left( {\frac{1}{2}} \right) = \ln \left( {{2^{ - 1}}} \right) = - \ln 2\) nên y′ = \( - {\left( {\frac{1}{2}} \right)^x}\ln 2\).

Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Sai.

a) Đúng. Hàm số y = lnx có đạo hàm trên khoảng (0; +\(\infty \)) và (lnx)′ = \(\frac{1}{x}\).

b) Sai. Ta có y′ = (lnx)′ = \(\frac{1}{x}\) với mọi x > 0

Do đó, tại x = e thì y′(e) = \(\frac{1}{e}\) ≠ 1.

c) Đúng. Với mọi x ≠ 0, ta có đạo hàm (ln|x|)′ = \(\frac{1}{x}\).

d) Sai. Hàm số y = logx là lôgarit cơ số 10

Đạo hàm của hàm số là y′ = (logx)′ = \(\frac{1}{{x\ln 10}}\) với mọi x > 0.

Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.

a) Đúng. Ta có: f′(x) = (tanx)′ = \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\)

Vì cosx ≠ 0 với mọi x ∈ \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) nên cos²x > 0

⇒ f′(x) = \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) > 0 với mọi x ∈ \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).

b) Đúng. Ta có: f′\(\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\) = \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\left( {\frac{\pi }{4}} \right)}}\) = \(\frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}}\) = \(\frac{1}{{\frac{1}{2}}}\) = 2.

c) Sai. Ta có: f′\(\left( { - \frac{\pi }{4}} \right)\) = \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\left( { - \frac{\pi }{4}} \right)}}\) = \(\frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}}\) = \(\frac{1}{{\frac{1}{2}}}\) = 2 ≠ –2.

d) Đúng. Với x ∈ \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\), ta có: f′(x) = 1 ⇔ \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) = 1 ⇔ cos²x = 1

⇔ cosx = 1 do cosx > 0 trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) ⇔ x = 0

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0 trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).

Đáp án: 10

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số mũ (a^x)′ = a^x lna với 0 < a ≠ 1

Ta có: f′(x) = (10^x)′ = 10^x ln10

⇒ f′(0) = 10⁰ ln10 = 1 ⋅ ln10 = ln10

Theo đề bài, f′(0) = lna ⇒ lna = ln10 ⇒ a = 10.

Đáp án: 0

Áp dụng công thức đạo hàm của các hàm số lượng giác:

(tanx)′ = \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) với mọi x ≠ \(\frac{\pi }{2}\) + k\(\pi \) và (cot x)′ = \( - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) với mọi x ≠ k\(\pi \) (k ∈ ℤ).

Ta có:

f′(x) = (tan x)′ = \(\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) ⇒ f′\(\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\) = \(\frac{1}{{{{\cos }^2}\left( {\frac{\pi }{4}} \right)}}\) = \(\frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}}\) = 2

g′(x) = (cot x)′ = \( - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\) ⇒ g′\(\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\) = \( - \frac{1}{{{{\sin }^2}\left( {\frac{\pi }{4}} \right)}}\) = \( - \frac{1}{{{{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}}\) = –2

Do đó, S = f′\(\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\) + g′\(\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\) = 2 + (–2) = 0.

Đáp án: 0,79

Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số lượng giác (cos x)′ = –sin x trên ℝ

Ta có: y′ = (cos x)′ = –sin x

Theo đề bài, y′ = \( - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) ⇔ –sin x = \( - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) ⇔ sin x = \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Vì x ∈ \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\) nên phương trình có nghiệm duy nhất x = \(\frac{\pi }{4}\) ≈ 0,79

Vậy phương trình có một nghiệm x ≈ 0,79.

Đáp án: 0,25

Áp dụng công thức: (log_ax)′ = \(\frac{1}{{x\ln a}}\) với mọi x > 0 (0 < a ≠ 1)

Ta có: y′ = (log₂x)′ = \(\frac{1}{{x\ln 2}}\)

Giá trị đạo hàm tại x = 4 là: y′(4) = \(\frac{1}{{4\ln 2}}\)

Khi đó, giá trị biểu thức A bằng:

A = y′(4) ⋅ ln2 = \(\frac{1}{{4\ln 2}}\) ⋅ ln2 = \(\frac{1}{4}\) = 0,25.

Đáp án: 2

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số căn bậc hai y′ = \({\left( {\sqrt x } \right)^\prime }\) = \(\frac{1}{{2\sqrt x }}\) với mọi x ∈ (0; +\(\infty \))

Ta có: y′ = \(\frac{1}{{2\sqrt x }}\)

Do đó, tại điểm x = \(\frac{1}{{16}}\), ta có: y′\(\left( {\frac{1}{{16}}} \right)\) = \(\frac{1}{{2\sqrt {\frac{1}{{16}}} }}\) = \(\frac{1}{{2 \cdot \frac{1}{4}}}\) = \(\frac{1}{{\frac{1}{2}}}\) = 2.