Bài tập Những hằng đẳng thức đáng nhớ (có lời giải chi tiết)

Ta có ${\left(A + B\right)}^2 = A^2 + 2AB + B^2$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có $A^2 – B^{2 }=\left(A + B\right)\left(A – B\right)$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có $(x + y)(x + y) = {(x + y)}^2 = x^2 + 2xy + y^2 \ne y^2 – x^2$ nên câu D sai.

Đáp án cần chọn là: D

Ta có ${(x + 2y)}^2 = x^2 + 2x.2y + {\left(2y\right)}^2 = x^2 + 4xy + 4y^2$ nên A đúng

${(x – 2y)}^2 = x^2 – 2x.2y + {\left(2y\right)}^2= x^2 – 4xy + 4y^2$ nên B đúng, C sai.

$(x – 2y)(x + 2y) = x^2 – {\left(2y\right)}^2 = x^2 – 4y^2$ nên D đúng

Đáp án cần chọn là: C

Ta có $4x^2 – 25y^2 = {\left(2x\right)}^2 – {\left(5y\right)}^2 = (2x – 5y)(2x + 5y)$

Đáp án cần chọn là: C

Ta có 

$$\begin{gathered} \frac{1}{9}{x}^2-\frac{1}{64}{y}^2={\left(\frac{x}{3}\right)}^2-{\left(\frac{y}{8}\right)}^2 \\ =\left(\frac{x}{3}-\frac{y}{8}\right)\left(\frac{x}{3}+\frac{y}{8}\right) \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có ${(3x – 4y)}^2 = (3x{)}^2 – 2.3x.4y + {\left(4y\right)}^2 = 9x^2 – 24xy + 16y^2$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có  

$$\begin{gathered} {\left(\frac{x}{2}-2y\right)}^2={\left(\frac{x}{2}\right)}^2-2.\frac{x}{2}.2y+{\left(2y\right)}^2 \\ =\frac{x^2}{4}-2xy+4y^2 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có  

$$\begin{gathered} \frac{1}{4}{x}^2{y}^2+xy+1={\left(\frac{1}{2}xy\right)}^2+2.\frac{1}{2}xy+1^2 \\ ={\left(\frac{1}{2}xy+1\right)}^2 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: B

Ta có $25x^2 – 20xy + 4y^2 = {\left(5x\right)}^2 – 2.5x.2y + {\left(2y\right)}^2 = {(5x – 2y)}^2$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có

${\left(c + d\right)}^2 – {\left(a + b\right)}^2$= (c + d + a + b)(c + d – (a + b)) = (c + d + a + b)(c + d – a – b) nên A sai

${\left(c - d\right)}^2 – {\left(a + b\right)}^2$ = (c – d + a + b)[c – d – (a + b)] = (c – d + a + b)(c – d – a – b) nên B sai

${\left(c – d\right)}^2 – {\left(a – b\right)}^2$= (c – d + a – b)(c – d – (a – b)) = (c – d + a – b)(c – d – a + b) nên D sai

(a + b + c – d)(a + b – c + d) = [(a + b) + (c – d)][(a + b) – (c – d)] = ${\left(a + b\right)}^2 – {\left(c – d\right)}^2$ nên C đúng

Đáp án cần chọn là: C

Ta có

$$\begin{gathered} 4 – {\left(a + b\right)}^{2 }= 2^2 – {\left(a + b\right)}^2 \\ = (2 + a + b)[2 – (a + b\left)\right] \\ = (2 + a + b)(2 – a – b) \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: D

Ta có

$$\begin{gathered} A = {(3x – 1)}^2 – 9x(x + 1) \\ = {\left(3x\right)}^2 – 2.3x.1 + 1 – (9x.x + 9x) \\ = 9x^2 – 6x + 1 – 9x^2 – 9x \\ = -15x + 1 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có

$$\begin{gathered} A = 5{(x + 4)}^2 + 4{(x – 5)}^2 – 9(4 + x)(x – 4) \\ = 5(x^2 + 2.x.4 + 16) + 4(x^2 – 2.x.5 + 5^2) – 9(x^2 – 4^2) \\ = 5(x^2 + 8x + 16) + 4(x^2 – 10x + 25) – 9(x^2 – 4^2) \\ = 5x^2 + 40x + 80 + 4x^2 – 40x + 100 – 9x^2 + 144 \\ =(5x^2 + 4x^2 – 9x^2) + (40x – 40x) + (80 +100 + 144) \end{gathered}$$

= 324

Đáp án cần chọn là: C

Ta có

$$\begin{gathered} B = \left(2a-3\right)\left(a+1\right)-{\left(a-4\right)}^2-a\left(a+7\right) \\ = 2a^2 + 2a – 3a – 3 – (a^2 – 8a + 16) – (a^2 + 7a) \\ = 2a^2 + 2a – 3a – 3 – a^2 + 8a – 16 – a^2 – 7a \\ = - 19 \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: D

Đáp án cần chọn là: D

Ta có

$$\begin{gathered} C=\frac{{(x+5)}^2+{(x-5)}^2}{(x^2+25)} \\ =\frac{x^2+2.x.5+5^2+x^2-2.x.5+5^2}{(x^2+25)} \\ =\frac{x^2+10x+25+x^2-10x+25}{x^2+25} \\ =\frac{2(x^2+25)}{x^2+25}=2 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} D=\frac{{(2x+5)}^2+{(5x-2)}^2}{x^2+1} \\ =\frac{4x^2+2.2x.5+5^2+25x^2-2.5x.2+2^2}{x^2+1} \\ =\frac{29x^2+29}{x^2+1}=\frac{29(x^2+1)}{x^2+1}=29 \end{gathered}$$

Vậy D = 29; C = 2 suy ra D = 14C + 1 (do 29 = 14.2 + 1)

Đáp án cần chọn là: A

Ta có

$$\begin{gathered} M = 4{\left(x+1\right)}^2+{\left(2x+1\right)}^2-8\left(x-1\right)\left(x+1\right)-12x \\ = 4(x^2 + 2x + 1) + (4x^2 + 4x + 1) – 8(x^2 – 1) – 12x \\ = 4x^2 + 8x + 4 + 4x^2 + 4x + 1 – 8x^2 +8 – 12x \\ =\left(4x^2+4x^2-8x^2\right)+\left(8x+4x-12x\right)+4+1+8 \\ = 13 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} N = 2{(x – 1)}^2 – 4{(3 + x)}^2 + 2x(x + 14) \\ =2\left(x^2-2x+1\right)-4\left(9+6x+x^2\right)+2x^2+28x \\ =2x^2-4x+2-36-24x-4x^2+2x^2+28x \\ = (2x^2 +2x^2 – 4x^2) + (-4x – 24x + 28x) + 2 – 36 \\ = -34 \end{gathered}$$

Suy ra M = 13, N = -34 ó 2M – N = 60

Đáp án cần chọn là: B

Ta có

$\begin{array}{l}{\left(2x-1\right)}^2-{\left(5x-5\right)}^2=0\\ \left[\left(2x-1\right)-\left(5x-5\right)\right]\left[\left(2x-1\right)+\left(5x-5\right)\right]=0\\ \left(2x-1-5x+5\right)\left(2x-1+5x-5\right)=0\\ \left(-3x+4\right)\left(7x-6\right)=0\\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}-3x+4=0\\ 7x-6=0\end{array}\right.\\ \Rightarrow \left[\begin{array}{l}x=\frac{4}{3}\\ x=\frac{6}{7}\end{array}\right.\end{array}$

Vậy có hai giá trị của x thỏa mãn yêu cầu

Đáp án cần chọn là: C

Ta có

$$\begin{gathered} {(2x + 1)}^2 – 4{(x + 3)}^2 = 0 \\ {\left(2x\right)}^2+2.2x.1+1^2-4\left(x^2+6x+9\right)=0 \\ 4x^2 + 4x + 1 – 4x^2 – 24x – 36 = 0 \\ -20x = 35 \\ x=\frac{-7}{4} \end{gathered}$$

Vậy có một giá trị của x thỏa mãn yêu cầu.

Đáp án cần chọn là: B

Ta có:

$\begin{array}{l}\left(x-6\right)\left(x+6\right)-{\left(x+3\right)}^2=9\\ \left(x^2-36\right)-\left(x^2+6x+9\right)=9\\ x^2-36-x^2-6x-9-9=0\\ -6x-54=0\\ -6x=54\\ x=-9\end{array}$

Vậy x = -9.

Đáp án cần chọn là: A

Ta có:

$$\begin{gathered} {(3x – 1)}^2 + 2{(x + 3)}^2 + 11(1 + x)(1 – x) = 6 \\ {\left(3x\right)}^2 – 2.3x.1 + 1^2 + 2(x^2 + 6x + 9) + 11(1 – x^2) = 6 \\ 9x^2 – 6x + 1 + 2x^2 + 12x + 18 + 11 – 11x^2 = 6 \\ (9x^2 + 2x^2 – 11x^2) + (-6x + 12x) = 6 – 1 – 11 – 18 \end{gathered}$$

6x = -24

x = -4

Vậy x = -4

Đáp án cần chọn là: A

Ta có A = 2016.2018.a = (2017 – 1)(2017 + 1)a = (${2017}^2$ – 1)a

Vì ${2017}^2 – 1 < {2017}^2$ và a > 0 nên $\left({2017}^2 – 1\right)a < {2017}^{2}a$ hay A < B

Đáp án cần chọn là: B

Ta có A = 2019.2021.a = (2020 – 1)(2020 + 1)a = (${2020}^2$ – 1)a

Và $B = ({2019}^2 + 2.2019 + 1)a = {(2019 + 1)}^{2}a = {2020}^{2}a$

Vì ${2020}^2 – 1 < {2020}^2$ và a > 0 nên $({2020}^2 – 1)a < {2020}^{2}a$ hay A < B

Đáp án cần chọn là: D

Ta có

$$\begin{gathered} N = (2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) (2^{16} + 1) \\ = 3(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1) (2^{16} + 1) \\ = \left[\right(2^2 – 1\left)\right(2^2 + 1\left)\right](2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) \\ = (2^4 – 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) \\ = (2^8 – 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1) \\ = (2^{16} - 1)(2^{16} + 1) \\ =\left({\left(2^{16}\right)}^2-1\right)=2^{32}-1 \\ Mà 2^{32}-1>2^{32}\Rightarrow N<M \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: A

Ta có

$$\begin{gathered} A = 1 + 15(4^2 + 1)(4^4 + 1)(4^8 + 1) \\ = 1 + (4^2 – 1)(4^2 + 1)(4^4 + 1)(4^8 + 1) \\ =1+\left[{\left(4^2\right)}^2-1\right]\left(4^4+1\right)\left(4^8+1\right) \\ =1+\left(4^4-1\right)\left(4^4+1\right)\left(4^8+1\right) \\ =1+\left[{\left(4^4\right)}^2-1\right]\left(4^8+1\right) =1+\left(4^8-1\right)\left(4^8+1\right) \\ =1+\left[{\left(4^8\right)}^2-1\right] =1+4^{16}-1=4^{16} ={4.4}^{15} ={\mathrm{2.2.4}}^{15} \end{gathered}$$

Và $B = {\left(4^3\right)}^5+{\left(4^5\right)}^3 =4^{3.5}+4^{5.3}=4^{15}+4^{15}={2.4}^{15}$

Vì $A = 2.2.4^{15}; B = 2.4^{15}$ => A = 2B

Đáp án cần chọn là: C

Ta có

$$\begin{gathered} P = -4x^2 + 4x – 2 \\ = -4x^2 + 4x – 1 – 1 \\ = -(4x^2 – 4x + 1) – 1 \\ = - 1 – {(2x – 1)}^2 \end{gathered}$$

Nhận thấy $–{(2x – 1)}^2 \le 0$

=> $-1 – {(2x – 1)}^2 \le -1$, Ɐx hay P ≤ -1.

Đáp án cần chọn là: A

Ta có

$$\begin{gathered} T = -9x^2 + 6x – 5 \\ = -9x^2 + 6x – 1 – 4 \\ = -4 – (9x^2 – 6x + 1) \\ = -4 – {(3x – 1)}^2 \end{gathered}$$

Nhận thấy $–{(3x – 1)}^2 \le 0 => -4 – {(3x – 1)}^2 \le -4$, Ɐx hay T ≤ -4

Đáp án cần chọn là: D

Ta có

$$\begin{gathered} Q = 8 – 8x – x^2 \\ = -x^2 – 8x – 16 + 16 + 8 \\ = -{(x + 4)}^2 + 24 \\ = 24 – {(x + 4)}^2 \end{gathered}$$

Nhận thấy ${(x + 4)}^2 \ge 0$; Ɐx

=>$24 – {(x + 4)}^2 \le 24$

Dấu “=” xảy ra khi ${(x + 4)}^2 = 0$ ó x = -4

Giá trị lớn nhất của Q là 24 khi x = -4

Đáp án cần chọn là: D

Ta có

$$\begin{gathered} B = 4 – 16x^2 – 8x \\ = 5 – (16x^2 + 8x + 1) \\ = 5 – [{\left(4x\right)}^2 + 2.4x.1 + 1^2] \\ = 5 – {(4x + 1)}^2 \end{gathered}$$

Nhận thấy ${\left(4x + 1\right)}^2$ ≥ 0; Ɐx

=> 5 – ${\left(4x + 1\right)}^2$ ≤ 5

Dấu “=” xảy ra khi ${\left(4x + 1\right)}^2$ = 0 ó x =$\frac{-1}{4}$

Vậy giá trị lớn nhất của B bằng $5$ tại $x=-\frac{1}{4}$.

Đáp án cần chọn là: A

Ta có

$$\begin{gathered} E = x^2 – 20x +101 \\ = x^2 – 2.x.10 + 100 + 1 \\ = {(x – 10)}^2 + 1 \end{gathered}$$

Vì ${\left(x – 10\right)}^2$ ≥ 0; Ɐx => ${\left(x – 10\right)}^2$ + 1 ≥ 1

Dấu “=” xảy ra khi ${\left(x – 10\right)}^2$ = 0 ó x – 10 = 0 ó x = 10

Vậy giá trị nhỏ nhất của E là 1 khi x = 10

Đáp án cần chọn là: B

Ta có

$$\begin{gathered} F = x^2 – 12x +34 \\ = x^2 – 2.x.6 + 6^2 – 2 \\ = {\left(x – 6\right)}^2 – 2 \end{gathered}$$

Vì ${\left(x – 6\right)}^2$ ≥ 0; Ɐx => ${\left(x – 6\right)}^2$ – 2 ≥ - 2

Dấu “=” xảy ra khi ${\left(x – 6\right)}^2$ = 0 ó x – 6 = 0 ó x = 6

Vậy giá trị nhỏ nhất của E là -2 khi x = 6

Đáp án cần chọn là: A

Ta có

$$\begin{gathered} K = x^2 – 6x + y^2 – 4y + 6 \\ = x^2 – 2x.3 + 9 + y^2 – 2.y.2 + 4 – 7 \\ = {(x – 3)}^2 + {(y – 2)}^2 – 7 \end{gathered}$$

Vì ${(x – 3)}^2 \ge 0; {(y – 2)}^2 \ge 0$; Ɐx; y nên ${(x – 3)}^2 + {(y – 2)}^2$ – 7 ≥ -7