Hình 3.10a):

Xét ΔBCM vuông tại C, có:

$\sin \widehat{BMC}=\frac{BC}{BM}=\frac{a}{2R}$

Mà $\widehat{BMC}=\widehat{A}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn $\stackrel{⏜}{BC}$)

$\Rightarrow \sin A=\frac{a}{2R}$

 

Hình 3.10b):

Xét ΔBCM vuông tại C, có:

$\sin \widehat{BMC}=\frac{BC}{BM}=\frac{a}{2R}$

Mà $\widehat{BMC}+\widehat{A}=\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{BAC}+\frac{1}{2}sđ\stackrel{⏜}{BMC}=\frac{1}{2}{.360}^0={180}^0\Rightarrow \widehat{BMC}={180}^0-\widehat{A}$

$\Rightarrow \sin A=\sin \left({180}^0-\widehat{BMC}\right)=\sin \widehat{BMC}=\frac{a}{2R}$

$\Rightarrow R=\frac{a}{2\sin A}.$

Xét ΔABC, có:

Theo định lý Cos, ta có:

BC² = AB² + AC² – 2.AB.AC.cosA

= 32² + 45² – 2.32.45.cos87⁰ ≈ 2898,27

BC ≈ 53,84

Theo định lí Sin, ta có:

$$\begin{gathered} \frac{53,84}{\sin {87}^0}=\frac{32}{\mathrm{sinB}}=\frac{45}{\mathrm{sinC}} \\ \Rightarrow \frac{53,84}{\sin {87}^0}=\frac{32}{\mathrm{sinB}}\Rightarrow \mathrm{sinB}=0,59\iff \widehat{\mathrm{B}}=36,4^0 \\ \Rightarrow \widehat{\mathrm{C}}=56,6^0 \end{gathered}$$

Vậy $\widehat{B}=36,4^0,\widehat{C}=56,6^0$ và BC = 53,84.

b) Gọi D,E, F lần lượt là hình chiếu của I trên AB, BC, AC.

Ta có:

$S_{IAB}=\frac{1}{2}.ID.AB=\frac{1}{2}r.c$;

$S_{IBC}=\frac{1}{2}.IE.BC=\frac{1}{2}r.a$;

$S_{ICA}=\frac{1}{2}.IF.AC=\frac{1}{2}r.b$.

Do đó: S_ABC = S_IAB + S_IBC + S_ICA

$=\frac{1}{2}r.a+\frac{1}{2}r.b+\frac{1}{2}r.c=\frac{1}{2}r.(a+b+c)$.

Vậydiện tích tam giác ABC tính theo r, a, b, c là: $S_{ABC}=\frac{1}{2}r.(a+b+c)$.

a)

TH1: Đường cao BD nằm trong tam giác ABC

 Xét ΔABD vuông tại D, có:

BD = sinA.AB

TH2: Đường cao BD nằm ngoài tam giác ABC

Xét ΔABD vuông tại D, có:

$BD=\sin \widehat{BAD}.AB$

 $$\begin{gathered} Mà \widehat{BAD}+\widehat{BAC}={180}^0 \\ \Rightarrow \sin \widehat{BAC}=\sin \left({180}^0-\widehat{BAD}\right)=\sin \widehat{BAD} \\ \Rightarrow BD=\sin \widehat{BAC}.AB=\sin A.AB \end{gathered}$$

Vậy trong cả hai trường hợp ta đều có BD = sinA.AB.

b) TH1. Đường cao BD nằm trong tam giác ABC:

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{2}AC.AB.\sin A=\frac{1}{2}.b.c\sin A.$

TH2. Đường cao BD nằm ngoài tam giác ABC:

$S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AC.BD=\frac{1}{2}AC.AB.\sin A=\frac{1}{2}.b.c\sin A.$

Vậy cả hai trường hợp $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.b.c\sin A.$

Xét ΔABC, có:

Theo định lí sin, ta có:

$\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}\iff \frac{2}{\sin {30}^0}=\frac{AB}{\sin {45}^0}\iff AB=\frac{2.\sin {45}^0}{\sin {30}^0}=2\sqrt{2}.$

Ta có: $\widehat{A}={180}^0-\widehat{B}-\widehat{C}={180}^0-{30}^0-{45}^0={105}^0$

Diện tích tam giác ABC là: $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}.AB.AC.\sin A=\frac{1}{2}.2\sqrt{2}\mathrm{.2.}\sin {105}^0=1+\sqrt{3}$(đvdt)

Vậy diện tích tam giác ABC là $1+\sqrt{3}$ đvdt.

Û sin²A = 1 – cos²A

Þ $\sin A=\pm \sqrt{1-{\cos }^{2}A}$

Do  nên sin A > 0 hay

Ta có:$\sin A=\sqrt{1-{\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{{(b^2+c^2-a^2)}^2}{4b^2{c}^2}}$

$=\sqrt{\frac{4b^2{c}^2-{(b^2+c^2-a^2)}^2}{4b^2{c}^2}}=\frac{\sqrt{4b^2{c}^2-{(b^2+c^2-a^2)}^2}}{2bc}$

Khi đó diện tích tam giác ABC là:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}bc.\sin A=\frac{1}{2}bc.\frac{\sqrt{4b^2{c}^2-{(b^2+c^2-a^2)}^2}}{2bc}$.

$=\frac{1}{4}\sqrt{4b^2{c}^2-{(b^2+c^2-a^2)}^2}$

$$\begin{gathered} =\frac{1}{4}\sqrt{\left[a^2-{\left(b-c\right)}^2\right]\left[{\left(b+c\right)}^2-a^2\right]} \\ =\frac{1}{4}\sqrt{\left(a-b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(b+c+a\right)} \end{gathered}$$

Vậy sin A và diện tích S có tính được theo độ dài cạnh của tam giác ABC.

Nửa chu vi của tam giác ABE là: $p_1=\frac{476+256+401}{2}=\frac{1133}{2}$

Diện tích tam giác ABE là:

$$\begin{gathered} 476\left({\mathrm{p}}_1-256\right)\left({\mathrm{p}}_1-401\right) \\ {\mathrm{S}}_1=\sqrt{\frac{1133}{2}\left(\frac{1133}{2}-476\right)\left(\frac{1133}{2}-256\right)\left(\frac{1133}{2}-401\right)}=51327,97\left({\mathrm{m}}^2\right) \end{gathered}$$

Nửa chu vi của tam giác ADE là: $p_2=\frac{476+538+217}{2}=\frac{1231}{2}$

Diện tích tam giác ADE là:

$S_2=\sqrt{p_2\left(p_2-476\right)\left(p_2-538\right)\left(p_2-217\right)}$

$S_2=\sqrt{\frac{1231}{2}\left(\frac{1231}{2}-476\right)\left(\frac{1231}{2}-538\right)\left(\frac{1231}{2}-217\right)}\approx 51495,13\left(m^2\right)$

Nửa chu vi của tam giác BDC là: $p_3=\frac{538+575+441}{2}=777$

Diện tích tam giác BDC là:

$S_3=\sqrt{p_3\left(p_3-538\right)\left(p_3-575\right)\left(p_3-441\right)}$

$S_3=\sqrt{777\left(777-538\right)\left(777-575\right)\left(777-441\right)}=112267,69\left(m^2\right)$

Do diện tích ngũ giác ABCDE bằng diện tích của tam giác ABE, diện tích tam giác DBE và diện tích tam giác DBC nên ta có:

$S_{ABCDE}=S_{ABE}+S_{DBE}+S_{DBC}=51327,97+51495,13+112267,69=215090,79m^2$

Vậy diện tích của công viên Hòa Bình là 215090,79 m².

Xét ΔABC, có:

$\text{cos}A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{5^2+8^2-6^2}{\mathrm{2.5.8}}=0,6625$(định lí cos)

$\Rightarrow \widehat{A}=48,{51}^0$

$\Rightarrow \sin A\approx 0,749$

Diện tích tam giác ABC là:

$S_{ABC}=\frac{1}{2}.b.c.\sin A=\frac{1}{2}\mathrm{.5.8.0},749=14,98$(đvdt).

Nửa chu vi của tam giác ABC là: $p=\frac{5+8+6}{2}=\frac{19}{2}$

Ta có: S = pr

$\Rightarrow r=\frac{S}{p}=\frac{14,98}{\frac{19}{2}}\approx 1,577.$

Vậy cosA = 0,6625, S $\approx$ 14,98 đvdt, r $\approx$1,577.

Xét ΔABC, có:

$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}\iff b=\frac{a.\sin B}{\sin A}=\frac{10\sin {70}^0}{\sin {45}^0}\approx 13,29$ (định lí sin)

Ta lại có: $\frac{a}{\sin A}=2R\iff R=\frac{a}{2\sin A}=\frac{10}{2\sin {45}^0}=5\sqrt{2}.$

Ta có: $\widehat{C}={180}^0-\widehat{A}-\widehat{B}={180}^0-{45}^0-{70}^0={65}^0$.

$\frac{a}{\sin A}=\frac{c}{\sin C}\iff c=\frac{a.\sin C}{\sin A}=\frac{10\sin {65}^0}{\sin {45}^0}\approx 12,82.$

Vậy $R=5\sqrt{2}$, b = 13,29, c = 12,82.

Xét ΔABC, có:

$\widehat{C}={180}^0-{130}^0-{15}^0={35}^0$

Theo định lí sin ta có:

$$\begin{gathered} \frac{\mathrm{a}}{\sin {15}^0}=\frac{\mathrm{b}}{\sin {130}^0}=\frac{6}{\sin {35}^0}\approx 10,46 \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{a}}{\sin {15}^0}=10,46\iff \mathrm{a}=10,46\sin {15}^0\approx 2,7 \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{b}}{\sin {130}^0}=10,46\iff \mathrm{b}=10,46\sin {130}^0\approx 8,0. \end{gathered}$$

Vậy a $\approx$ 2,7, b $\approx$ 8,S ≈ 6,212, $\widehat{C}={30}^0.$

a) Ta có: $\widehat{BAC}={50}^0-{40}^0={10}^0$

Xét ΔABH, vuông tại H, có: $\widehat{CBA}+\widehat{BAH}={90}^0$ (hai góc phụ nhau)

Xét ΔABC, có: $\widehat{ACB}={180}^0-\widehat{BAC}-\widehat{CBA}={180}^0-{10}^0-{40}^0={130}^0.$

b) Áp dụng định lí sin cho tam giác ABC, ta được:

$\frac{AB}{\sin \widehat{BCA}}=\frac{BC}{\sin \widehat{BAC}}\iff \frac{AB}{\sin {130}^0}=\frac{5}{\sin {10}^0}\iff AB\approx 22,06\left(m\right)$.

Xét ΔABH, có:

$BH=AB.\sin \widehat{BAC}\approx 22,06.\sin {50}^0\approx 16,9\left(m\right)$

Do đó chiều cao của tòa nhà là: 16,9 + 7 = 23,9 (m).

Vậy chiều cao của tòa nhà xấp xỉ bằng 23,9 m.

- Giả sử từ một điểm A trên bãi biển Vũng Chùa ta nhìn thấy Đảo Yến với đỉnh bên trái là B và đỉnh bên phải là C nên chiều rộng của hòn đảo là đoạn BC.

- Lấy các điểm D và E bất kì trên bãi biển Vũng Chùa sao cho E, A, D thẳng hàng và ta đo được các khoảng cách AD và AE.

Ngắm và đo các góc $\widehat{BAC}, \widehat{BAE},\widehat{BEA},\widehat{CAD},\widehat{CDA}$ .

Áp dụng định lí sin trong các tam giác ABE và ACD, ta tính được các khoảng cách AB và AC.

Sau đó, áp dụng định lí côsin cho tam giác ABC với góc , các cạnh AB, AC đã biết, tính được khoảng cách BC (bề rộng của Đảo Yến mà ta nhìn thấy).

AC² = AB² + BC² – 2AB.BC.cosB (định lí cos)

= 8² + 6² – 2.8.6.cos105⁰≈ 124,85

⇒ AC ≈ 11,2 km.

$\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}}=\frac{AC}{\sin \widehat{ABC}}\iff \sin \widehat{ACB}=\frac{AB.\sin \widehat{ABC}}{AC}\approx 0,69\Rightarrow \widehat{ACB}=43,6^0$

$\Rightarrow \widehat{ACD}=\widehat{BCD}-\widehat{ACB}={135}^0-43,6^0=91,4^0.$

AD² = AC² + DC² – 2AC.DC.cosACD (định lí cos)

= 11,17² + 12² – 2.11,2.12.cos91,4⁰

⇒ AD ≈ 16,6 km.