Đề kiểm tra Ôn tập chương 7 lớp 10 (có lời giải) - Đề 2

Ta có \[\overrightarrow {OA}  = \left( {2;0} \right)\], \[\overrightarrow {OB}  = \left( {0;2} \right)\], \[\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;2} \right)\].

Suy ra \[OA = 2\], \[OB = 2\], \[AB = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 2 \].

Khi đó \[OA = OB\], \[O{A^2} + O{B^2} = A{B^2}\] nên tam giác \[OAB\] vuông cân tại \[O\].

Do đó đường phân giác trong \[OD\] của tam giác \[OAB\] vừa là đường trung tuyến.

Vậy \[OD = \frac{1}{2}.AB = \frac{1}{2}.2\sqrt 2  = \sqrt 2 \].

Ta có \(\cos \left( {\vec a,\vec b} \right) = \frac{{\vec a.\vec b}}{{\left| {\vec a} \right|.\left| {\vec b} \right|}} = \frac{{1.\left( { - 1} \right) + \left( { - 2} \right).\left( { - 3} \right)}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)

Như vậy a→,b→=45°

Ta có phương trình tham số của đường thẳng \(\left( \Delta  \right)\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + 2t\\y = t\end{array} \right.\,\left( {\forall \,t \in \mathbb{R}} \right)\)

Vì \(\left( d \right)\) có vecto chỉ phương \(\vec u = \left( {3;2} \right)\) nên \(\left( d \right)\) có một vecto pháp tuyến là \(\vec n = \left( { - 2;3} \right)\)

Ta có phương trình tổng quát của \(\left( d \right)\) là: \( - 2\left( {x - 2} \right) + 3\left( {y + 1} \right) = 0 \Leftrightarrow  - 2x + 3y + 7 = 0\).

Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2\,;\,2} \right)\).

Vì \(\Delta \) đi qua điểm \(A\left( {1\,;\,2} \right)\) và \(B\left( {3\,;\,4} \right)\) nên \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {1\,;\,1} \right)\).

Vậy phương trình tham số của \(\Delta \) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + t\end{array} \right.\).

Ta có: Đường kính bằng 10 suy ra bán kính bằng 5. Vậy phương trình đường tròng tâm \(I\left( {1; - 2} \right)\) bán kính bằng 5 là: \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} = 25\).

Phương trình chính tắc của elip có dạng \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1;(a,b > 0)\)

Nên \(a = 4;b = 2\).

Vì \(M{F_1} = M{F_2}\) nên \(M\)thuộc đường trung trực của \({F_1}{F_2}\), chính là trục \(Oy\).

\(M\)là điểm thuộc \(\left( E \right)\) nên \(M\)là giao điểm của elip với trục \(Oy\).

Vậy \({M_1}\left( {0;2} \right);{M_2}\left( {0; - 2} \right)\).

\(\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {NM}  = \left| {\overrightarrow {MN} \left| . \right|\overrightarrow {NM} } \right|.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {NM} } \right) = M{N^2}.{\rm{cos}}{180^ \circ } =  - M{N^2}\).

Do đó: \( - M{N^2} =  - 4 \Rightarrow MN = 2\).

Gọi \[H\] là chân đường cao xuất phát từ đỉnh \[A\] của tam giác \[ABC\].

\[\overrightarrow {BC}  = \left( {4;0} \right) \Rightarrow BC = 4\].

\[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AH.BC \Rightarrow AH = \frac{{2.{S_{\Delta ABC}}}}{{BC}} = \frac{{2.16}}{4} = 8.\]

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng  là \[\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {6; - 5} \right)\;\].

Véctơ chỉ phương của \[{\Delta _2}\;\] là \[\overrightarrow {{u_1}}  = \left( { - 6;5} \right)\;\]\[ \Rightarrow \;\]vectơ pháp tuyến của đường thẳng  là \[\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {5;6} \right)\;\].

Ta có:\[\overrightarrow {{n_1}} \overrightarrow {{n_2}}  = 0 \Leftrightarrow \;\overrightarrow {{n_1}}  \bot \overrightarrow {{n_2}} \].

Ta có: \({d_{\left( {M,\left( d \right)} \right)}} = \frac{{\left| {{x_M} - 2{y_M} + 5} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 2\sqrt 5 \).

Khi đó: \({S_{\Delta MNP}} = \frac{1}{2}{d_{\left( {M,\left( d \right)} \right)}}.NP = \frac{1}{2}2\sqrt 5 .4 = 4\sqrt 5 \)

a) Qua \(M(2; - 3)\) và vuông góc với \(AB\) và \(A(1,5),B( - 4,7)\)

\(M(2; - 3) \in \Delta \). Vì \(\Delta  \bot AB \Rightarrow \) Vectơ pháp tuyến của \(\Delta \) là \(\vec n = \overrightarrow {AB}  = ( - 5,2)\)

\(\Delta : - 5(x - 2) + 2(y + 3) = 0 \Leftrightarrow  - 5x + 2y + 16 = 0\)

b) Vì \(\Delta \) đi qua \(A\) và \(B\)

\( \Rightarrow \) vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\overrightarrow {{u_\Delta }}  = \overrightarrow {AB}  = (4, - 3)\)

\( \Rightarrow \) vectơ pháp tuyến của \(\Delta \) là \(\overrightarrow {{n_\Delta }}  = (3,4)\)

Ta có: \(A( - 1,2) \in \Delta \) nên

Phương trình tổng quát của \(\Delta :3(x + 1) + 4(y - 2) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 5 = 0\)

c) Qua \(A( - 3,5),\Delta  \bot d:x - 2y + 3 = 0\)

\(A( - 3,5) \in \Delta \). Vì \(\Delta  \bot d \Rightarrow \) vectơ pháp tuyến của \(\Delta \) là \(\overrightarrow {{n_\Delta }}  \bot \overrightarrow {{n_d}}  = (1, - 2)\)

\( \Rightarrow \) Vectơ pháp tuyến của \(\Delta :\overrightarrow {{n_\Delta }}  = (2,1)\)

Phương trình tổng quát của \(\Delta :2(x + 3) + 1(y - 5) = 0 \Leftrightarrow 2x + y + 1 = 0\)

d) Qua \(A( - 1,2),\Delta //d:x = 3\)

\(A( - 1,2) \in \Delta \).

Vì \(\Delta //d:x + 0y - 3 = 0 \Rightarrow \) vectơ pháp tuyến của \(\Delta :\overrightarrow {{n_\Delta }}  = \overrightarrow {{n_d}}  = (1,0)\)

Phương trình tổng quát của \(\Delta :1(x + 1) + 0(y - 2) = 0 \Leftrightarrow x + 1 = 0\)

Phương trình đường tròn (C) có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) \(\left( {{a^2} + {b^2} - c > 0} \right)\) tâm \(I(a;b)\).

Vì \((C)\) tiếp xúc với \(Oy\) tại \(K(0;6) \Rightarrow I(a;b) \in \Delta :y = 6 \Rightarrow b = 6\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}A(9;9) \in (C) \Rightarrow  - 18a - 18b + c =  - 102\\K(0;6) \in (C) \Rightarrow  - 12b + c =  - 36\end{array}\)

Ta có hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{18a + 18b - c = 162}\\{12b - c = 36}\\{b =  - 6}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = 5}\\{b = 6.{\rm{ }}}\\{c = 36}\end{array}} \right.} \right.\).

Vậy \((C):{x^2} + {y^2} - 10x - 12y + 36 = 0\).

a) Giả sử \(M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \in (P)\) suy ra \(y_M^2 = 8{x_M}\).

Từ phương trình \((P)\) có \(p = 4\) nên \(F(2;0)\).

Ta có \(FM = {x_M} + \frac{p}{2}\) suy ra \({x_M} = 1\), thay vào \(y_M^2 = 8{x_M} \Rightarrow {y_M} =  \pm 2\sqrt 2 \)

b) Vậy có hai điểm thỏa mãn là \({M_1}(1;2\sqrt 2 ),{M_2}(1; - 2\sqrt 2 )\).

c) Ta có \(M \in (P) \Rightarrow M\left( {\frac{{{a^2}}}{8};a} \right)\) với \(a \ge 0\).

\({S_{\Delta OMF}} = 8 \Leftrightarrow \frac{1}{2}OF.d(M;OF) = 8 \Leftrightarrow a = 8.\)

Vậy điểm cần tìm là \(M(8;8)\).

d) Với mọi điểm \(A \in (P),B \in \Delta \) ta luôn có \(AB \ge d(A;\Delta )\). \(A \in (P) \Rightarrow A\left( {\frac{{{a^2}}}{8};a} \right)\) với \(a \ge 0\), khi đó \(d(A;\Delta ) = \frac{{\left| {4 \cdot \frac{{{a^2}}}{8} - 3 \cdot a + 5} \right|}}{5} = \frac{{{{(a - 3)}^2} + 1}}{{10}} \ge \frac{1}{{10}}\). Suy ra \(AB\) nhỏ nhất khi và chỉ khi \(A\left( {\frac{9}{8};3} \right)\) và \(B\) là hình chiếu của \(A\) lên \(\Delta \).

Đường thẳng đi qua \(A\) vuông góc với \(\Delta \) nhận \(\vec u(3;4)\) làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình là \(3\left( {x - \frac{9}{8}} \right) + 4(y - 3) = 0\) hay \(24x + 32y - 123 = 0\).

Do đó tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{4x - 3y + 5 = 0}\\{24x + 32y - 123 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{{209}}{{200}}}\\{y = \frac{{153}}{{50}}}\end{array}} \right.} \right.\).

Vậy \(A\left( {\frac{9}{8};3} \right),B\left( {\frac{{209}}{{200}};\frac{{153}}{{50}}} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

a) Ta có \({y^2} = 2x\) có dạng: \({y^2} = 2px \Rightarrow 2p = 2 \Rightarrow \frac{p}{2} = \frac{1}{2} \Rightarrow F\left( {\frac{1}{2};0} \right) \Rightarrow x =  - \frac{1}{2}\).

b) Gọi \(M\left( {\frac{{{m^2}}}{2};m} \right) \in (P);d(M;d) = \frac{{\left| {\frac{{{m^2}}}{2} - 2m + 6} \right|}}{{\sqrt 5 }} = \frac{1}{{2\sqrt 5 }}\left[ {{m^2} - 4m + 12} \right]\)

\(\begin{array}{l} = \frac{1}{{2\sqrt 5 }}\left[ {{{(m - 2)}^2} + 8} \right] = \frac{1}{{2\sqrt 5 }}{(m - 2)^2} + \frac{4}{{\sqrt 5 }} \cdot \\d{(M;d)_{\min }} = \frac{4}{{\sqrt 5 }} = \frac{{4\sqrt 5 }}{5} \Rightarrow m = 2\end{array}\).

\((C):{x^2} + {y^2} - 7x - y = 0\).

(C) có tâm \(I\left( {\frac{7}{2};\frac{1}{2}} \right)\), bán kính \(R = \frac{5}{{\sqrt 2 }}\).

Ta có \(d[I,\Delta ] = 0\).

Vậy \(\Delta \) đi qua tâm của \((C)\) và cắt \((C)\) tại 2 điểm phân biệt.

Tọa độ giao điểm \(\Delta \) của đi qua tâm của \((C)\) là nghiệm của hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - y - 3 = 0}&{(1)}\\{{x^2} + {y^2} - 7x - y = 0}&{(2)}\end{array}} \right.\)

Từ \((1) \Leftrightarrow y = x - 3\) thay vào \((2)\) ta được:

\({x^2} + {(x - 3)^2} - 7x - (x - 3) = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} - 14x + 12 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 \Rightarrow y =  - 2}\\{x = 6 \Rightarrow y = 3}\end{array}.} \right.\)

Vậy \(\Delta \) cắt \((C)\) tại hai điểm \(A(1; - 2)\) và \(A(6;3)\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = (2;2)\).

Đường trung trực \(d\) của đoạn \(AB\) đi qua \(M(1;5)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec n = \frac{1}{2}\overrightarrow {AB}  = (1;1)\) là

\(d:x + y - 6 = 0.\)

- Tâm \(I\) là giao điểm của \(d\) và \(\Delta \) nên tọa độ \(I\) là nghiệm của hệ phương trình sau:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 6 = 0}\\{x - 2y + 5 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = \frac{7}{3}}\\{y = \frac{{11}}{3}}\end{array} \Rightarrow I\left( {\frac{7}{3};\frac{{11}}{3}} \right).} \right.} \right.\)

- Bán kính: \(R = IA = \sqrt {{{\left( {0 - \frac{7}{3}} \right)}^2} + {{\left( {4 - \frac{{11}}{3}} \right)}^2}}  = \frac{{5\sqrt 2 }}{3}\).

Vậy phương trình đường tròn là \((C):{\left( {x - \frac{7}{3}} \right)^2} + {\left( {y - \frac{{11}}{3}} \right)^2} = \frac{{50}}{9}\).

Tìm \(a\) để \((d)\) cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt \(A\) và \(B\) sao cho AOB^=120°

Ta có: \(x = a \Rightarrow {y^2} = 16a \Rightarrow y =  \pm 4\sqrt a (a > 0) \Rightarrow A(a; - 4\sqrt a ),B(a;4\sqrt a )\).

AOB^=120°⇔(OA→,OB→)=120°⇔cos(OA→,⇔a2−16aa2+16a⋅a2+16a=−12⇔a=163.

Khi \(AB = 2\) thì \(\Delta IAB\) đều do đó \(d[I,AB] = \frac{{2\sqrt 3 }}{2} = \sqrt 3 \).

Đường thẳng đi qua \(M\) có dạng: \(d:Ax + By - 4A - 6B = 0\).

Ta có \(d[I,AB] = d[I,d] = \sqrt 3  \Leftrightarrow |2A + 4B| = \sqrt 3  \cdot \sqrt {{A^2} + {B^2}}  \Leftrightarrow {A^2} + 16AB + 13{B^2} = 0\).

Chọn \(B = 1\) ta được \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{A =  - 8 + \sqrt {51} }\\{A =  - 8 - \sqrt {51} }\end{array}} \right.\).

\(\begin{array}{l}A =  - 8 + \sqrt {51} ,B = 1 \Rightarrow {\Delta _1}:(\sqrt {51}  - 8)x + y + 26 - 4\sqrt {51}  = 0.\\A =  - 8 - \sqrt {51} ,B = 1 \Rightarrow {\Delta _2}:(\sqrt {51}  + 8)x - y - 26 - 4\sqrt {51}  = 0.\end{array}\)

(1) có dạng \({x^2} + {y^2} - 2ax - 2by + c = 0\) với \(a = m,b =  - 2m,c = 6m - 1\).

Vậy để (1) là phương trình đường tròn thì

\({a^2} + {b^2} - c > 0 \Leftrightarrow {m^2} + 4{m^2} - 6m + 1 > 0 \Leftrightarrow 5{m^2} - 6m + 1 > 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < \frac{1}{5}}\\{m > 1}\end{array}} \right.\)

Vậy \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < \frac{1}{5}}\\{m > 1}\end{array}} \right.\) thì \((1)\) trở thành phương trình đường tròn.

Gọi đường tròn cần tìm là \((I;R)\) với \(I(a;b)\) là tâm đường tròn.

Đường tròn \((I;R)\) tiếp xúc với các trục \(Ox;Oy\) nên

\(d(I;Ox) = d(I;Oy) = R \Rightarrow |a| = |b| = R \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = b = R}\\{a =  - b = R}\end{array}.} \right.\)

Nếu \(a = b\) thì phương trình đường tròn có dạng \({(x - a)^2} + {(y - a)^2} = {a^2}\)

Mà điểm \(A(2; - 1) \in (I;R)\) nên \({(2 - a)^2} + {( - 1 - a)^2} = {a^2}\) \( \Rightarrow {a^2} - 2a + 5 = 0\) vô nghiệm.

Vậy trường hợp này không có giá trị thoả mãn.

Nếu \(a =  - b\) thì phương trình đường tròn có dạng \({(x - a)^2} + {(y + a)^2} = {a^2}\)

Mà điểm \(A(2; - 1) \in (I;R)\) nên \({(2 - a)^2} + {( - 1 + a)^2} = {a^2}\)

\( \Rightarrow {a^2} - 6a + 5 = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 1}\\{a = 5}\end{array}} \right.\)