Đề kiểm tra Ôn tập chương 7 lớp 10 (có lời giải) - Đề 3

Ta có: \(\overrightarrow {BA}  = \left( { - 1; - 3} \right)\),\(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 6;2} \right) \Rightarrow BA = \sqrt {10} ,BC = \sqrt {40} \)

\[{S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}\sqrt {10} \sqrt {40}  = 10\]

Lấy điểm \(D\) đối xứng với \(A\) qua \(B\) ta có \(\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {BD} \) nên góc giữa hai véc tơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \) bằng góc giữa hai véc tơ \(\overrightarrow {BD} \) và \(\overrightarrow {BC} \) bằng DBC^=120°

Ta có \(A\left( { - 5;2} \right),\,\,B\left( { - 2;4} \right)\) và \(C\left( {2;1} \right)\) nên \(\overrightarrow {AB}  = \left( {3;2} \right),\,\,\overrightarrow {BC}  = \left( {4; - 3} \right)\) suy ra \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {BC}  = 3.4 + 2.\left( { - 3} \right) = 6\).

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {4;3} \right),\overrightarrow {AC}  = \left( { - 2;10} \right),\overrightarrow {BC}  = \left( { - 6;7} \right)\)

\( \Rightarrow AB = 5,AC = \sqrt {104} ,BC = \sqrt {85}  \Rightarrow {P_{\Delta ABC}} = \sqrt {104}  + \sqrt 5 \left( {\sqrt 5  + \sqrt {17} } \right) \Rightarrow a = 17\)

\(\overrightarrow {OB}  =  - \overrightarrow i  + 3\overrightarrow j  \Leftrightarrow B\left( { - 1\,;\,3} \right)\) và \(\overrightarrow {OC}  = 3\overrightarrow i  + \overrightarrow j  \Leftrightarrow C\left( {3\,;\,1} \right)\)

\(\overrightarrow {BC}  = \left( {4\,;\, - 2} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = BC = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}}  = \sqrt {20}  = 2\sqrt 5 \). Vậy \(\left| {\overrightarrow {BC} } \right| = 2\sqrt 5 \).

Ta có: \[\cos \left( {\overrightarrow a ;\,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{1.\left( { - 2\sqrt 3 } \right) + \sqrt 3 .6}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 2\sqrt 3 } \right)}^2} + {6^2}} }} = \frac{1}{2} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ;\,\overrightarrow b } \right) = {60^0}\].

Ta có phương trình tổng quát của \(\left( d \right)\) là \(3\left( {x - 0} \right) + 2\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 2 = 0\).

Đường thẳng \[d:2x + y - 1 = 0\] có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {2\,;\,1} \right)\).

Suy ra vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( {1\,;\, - 2} \right)\), do đó loại các đáp án A, B, C

Phương trình chính tắc của heberbol \(\left( H \right)\) có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(\left( {a > 0,b > 0} \right)\).

Do \(\left( H \right)\) đi qua \(M\left( {2;0} \right)\)nên \(\frac{{{2^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1 \Rightarrow a = 2\)

Mà \(\left( H \right)\) có một tiêu điểm \({F_1}\left( { - 4;0} \right)\) nên \(c = 4\)

Suy ra \({b^2} = {c^2} - {a^2} = {4^2} - {2^2} = 12\)

Vậy phương trình Hyperbol \(\left( H \right)\) là: \(\frac{{{x^2}}}{4} - \frac{{{y^2}}}{{12}} = 1.\)

Ta có

 \(\frac{{{4^2}}}{{16}} - \frac{{{0^2}}}{9} = 1\) nên loại đáp án A

 \(\frac{{{{( - 4\sqrt 2 )}^2}}}{{16}} - \frac{{{3^2}}}{9} = 1\) nên loại đáp án B

 \(\frac{{{{( - 4)}^2}}}{{16}} - \frac{{{0^2}}}{9} = 1\)nên loại đáp án C

 \(\frac{{{3^2}}}{{16}} - \frac{{{1^2}}}{9} \ne 1\) nên chọn đáp án D

Đường thẳng \[d:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 + 3t\end{array} \right.\] có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {1\,;\,3} \right)\).

Suy ra vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n  = \left( {3\,;\, - 1} \right)\), do đó loại các đáp án A, C,D

Ta có \({x^2} + {y^2} + 4x + 6y - 12 = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 4 + {y^2} + 6y + 9 = 25 \Leftrightarrow {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 25\).

a) (C) có tâm \(I( - 3;2)\) và bán kính \(R = 2\).

b) (C) có tâm \(O(0;0)\) và bán kính \(R = 1\).

c) Đặt \(a = \frac{{ - 6}}{{ - 2}} = 3,b = \frac{2}{{ - 2}} =  - 1,c =  - 6\). Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(3; - 1)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c}  = \sqrt {9 + 1 + 6}  = 4\).

d) Đặt \(a = \frac{{ - 4}}{{ - 2}} = 2,b = \frac{0}{{ - 2}} = 0,c =  - 5\). Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(2;0)\) và bán kính \(R = \sqrt {{a^2} + {b^2} - c}  = \sqrt {4 + 0 + 5}  = 3\).

a) Đường tròn \((C)\) có tâm \(I( - 2; - 3)\) bán kính \(R = 5\).

b) Phương trình tiếp tuyến \(\Delta \) là: \((1 + 2)(x - 1) + (1 + 3)(y - 1) = 0 \Leftrightarrow 3x + 4y - 7 = 0.\)

c) Vì \(\Delta \) nhận  là vectơ pháp tuyến mà \({\Delta ^\prime } \bot \Delta \) nên có thể lấy vectơ pháp tuyến của \({\Delta ^\prime }\) là \(\vec m = (4; - 3)\). Suy ra phương trình \({\Delta ^\prime }\) có dạng: \(4x - 3y + c = 0\).

Để \({\Delta ^\prime }\) là tiếp tuyến của \((C)\) thì \(d\left( {I,{\Delta ^\prime }} \right) = R \Leftrightarrow \frac{{|4 \cdot ( - 2) - 3 \cdot ( - 3) + c|}}{{\sqrt {{4^2} + {{( - 3)}^2}} }} = 5 \Leftrightarrow |c + 1| = 25.{\rm{ }}\)

Vậy \(c = 24\) hoặc \(c =  - 26\) nên có hai trường hợp của phương trình \({\Delta ^\prime }\) là: \(4x - 3y + 24 = 0\) hoặc \(4x - 3y - 26 = 0.\)

a) Ta có: \(p = 6 \Rightarrow \frac{p}{2} = \frac{6}{2} = 3\). Vậy \((P)\) có tiêu điểm \(F(3;0)\), đường chuẩn \(x =  - 3\).

b) Gọi \(M\) là điểm trên \((P)\) có hoành độ \(x = 2 \Rightarrow MF = {x_M} + \frac{p}{2} = 2 + 3 = 5\)

c) Đường thẳng đi qua \(F(3;0)\) và vuông góc với trục đối xứng có dạng: \(x = 3(d)\).

Tọa độ giao điểm của \((P)\) và \((d)\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{{y^2} = 12x}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3}\\{y =  \pm 6}\end{array}} \right.} \right.\) Vậy \((d)\) cắt \((P)\) tại \(M(3; - 6),N(3;6) \Rightarrow MN = \sqrt {{{(3 - 3)}^2} + {{(6 + 6)}^2}}  = 12\).

d) Phương trình đường thẳng đi qua \(I(2;0)\) có dạng: \(A(x - 2) + B(y - 0) = 0\left( {{A^2} + {B^2} \ne 0} \right) \Leftrightarrow Ax + By - 2A = 0(d)\)

Tọa độ giao điểm của \((P)\) và \((d)\) là nghiệm của hệ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{Ax + By - 2A = 0(1)}\\{{y^2} = 12x(2)}\end{array}(*)} \right.\)

(2) \( \Leftrightarrow x = \frac{{{y^2}}}{{12}}\)

Thế vào (1) ta được \(A\frac{{{y^2}}}{{12}} + By - 2A = 0 \Leftrightarrow A{y^2} + 12By - 24A = 0\)

Do \({\Delta ^\prime } = 36{B^2} + 24{A^2} > 0,\forall {A^2} + {B^2} \ne 0\) nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt. Gọi \({y_A}\) và \({y_B}\) là nghiệm của phương trình trên nên \(d(A;Ox) \cdot d(B;Ox) = \left| {{y_A} \cdot {y_B}} \right| = 24\) (không đổi).

Ta có \({a^2} = 16 \Rightarrow a = 4,{b^2} = 9 \Rightarrow b = 3;{c^2} = {a^2} + {b^2} = 16 + 9 = 25 \Rightarrow c = 5\)

Tiêu điểm: \({F_1}( - 5;0),{F_2}(5;0)\)

Có 4 điểm thỏa mãn yêu cầu:

\({M_1}\left( { - \frac{{4\sqrt {34} }}{5};\frac{9}{5}} \right) \cdot ,{M_2}\left( { - \frac{{4\sqrt {34} }}{5}; - \frac{9}{5}} \right),{M_3}\left( {\frac{{4\sqrt {34} }}{5}; - \frac{9}{5}} \right),{M_4}\left( {\frac{{4\sqrt {34} }}{5};\frac{9}{5}} \right){\rm{. }}\)

(C) có tâm \(I(2;2),R = 2\)

Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua \(M(4;6)\).

\(\Delta \) có dạng \(Ax + By - 4A - 6B = 0\)

\(\Delta \) là tiếp tuyến của \((C) \Rightarrow d[I,\Delta ] = R\)

\( \Leftrightarrow \frac{{|2A + 2B - 4A - 6B|}}{{\sqrt {{A^2} + {B^2}} }} = 2 \Leftrightarrow |2A + 4B| = 2\sqrt {{A^2} + {B^2}} \)\(\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 4{A^2} + 16{B^2} + 16AB = 4{A^2} + 4{B^2} \Leftrightarrow 12{A^2} + 16AB = 0 \Leftrightarrow 4B(3B + 4A) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{B = 0}\\{B = \frac{{4A}}{3}}\end{array}{\rm{.  }}} \right.\end{array}\)

Chọn \(A = 3 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{B = 0}\\{B = 4}\end{array}.} \right.\)

Vậy \(A = 3,B = 0 \Rightarrow \left( {{\Delta _1}} \right):x - 4 = 0;A = 3,B = 4 \Rightarrow \left( {{\Delta _2}} \right):3x + 4y + 12 = 0\).

Đường tròn màu đỏ mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sóng có tâm \(I( - 2;1)\) và bán kính phủ sóng \(3\;km\) nên phương trình đường tròn đó là: \({(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} = 9\)

Giả sử vị trí đứng của người đó là \(B( - 3;4)\).

Gọi \(A\) (như trên hình vẽ) là giao điểm thứ nhất của đường tròn tâm \(I\) và \(BI\)

\( \Rightarrow \) Khoảng cách ngắn nhất để người đó di chuyển được từ vị trí \(B( - 3;4)\) tới vùng phủ sóng là \(BA\)

Ta có: \(IB = \sqrt {{{( - 3 + 2)}^2} + {{(4 - 1)}^2}}  = \sqrt {10} \), suy ra \(AB = IB - IA = \sqrt {10}  - 3 = 0,16\).

Gọi \((H):\frac{{{x^2}}}{{25}} - \frac{{{y^2}}}{{16}} = 1\)

\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{a^2} = 25}\\{{b^2} = 16}\end{array} \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 5}\\{b = 4}\end{array} \Rightarrow c = \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt {39} .} \right.} \right.\)

Tiêu điểm của gương là \({F_1}( - \sqrt {39} ;0)\) và \({F_2}(\sqrt {39} ;0)\).

Đỉnh của gương là \({A_1}( - 5;0)\).

Vậy khoảng cách từ tâm của máy ảnh tới đỉnh của gương là \({F_2}{A_1} = \sqrt {{{( - 5 - \sqrt {39} )}^2}}  = 5 + \sqrt {39} \).

Đường tròn \((C)\) có tâm \(I(3; - 1)\) bán kính \(R = \sqrt {{3^2} + 1 - 6}  = 2\).

Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\) có dạng:

\(a(x - 1) + b(y - 3) = 0{\rm{ }}\) với \({\rm{( }}{a^2} + {b^2} \ne 0{\rm{ ) hay }}ax + by - a - 3b = 0\)

Đường thẳng \(\Delta \) là tiếp tuyến của đường tròn

\( \Leftrightarrow d(I;\Delta ) = R \Leftrightarrow \frac{{|3a - b - a - 3b|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = 2 \Leftrightarrow {(a - 2b)^2} = {a^2} + {b^2} \Leftrightarrow 3{b^2} - 4ab = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{b = 0}\\{3b = 4a}\end{array}} \right.\)

+ Nếu \(b = 0\), chọn \(a = 1\) suy ra phương trình tiếp tuyến là \(x = 1\).

+ Nếu \(3b = 4a\), chọn \(a = 3,b = 4\) suy ra phương trình tiếp tuyến là \(3x + 4y - 15 = 0\).

Ta có \((C)\): \({x^2} + {y^2} - 2x - 6y + 6 = 0\) có tâm \(I(1;3)\), bán kính \(R = 2\) \(IM = \sqrt {{{(2 - 1)}^2} + {{(4 - 3)}^2}}  = \sqrt 2  < 2 = R\).

Vậy \(M\) nằm trong đường tròn \((C)\).

Vì \(M\) là trung điểm đoạn \(AB\) nên

\(AB \bot IM\)

Vi \(AB \bot IM \Rightarrow \) Vectơ pháp tuyến của \(AB\) là \(\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \overrightarrow {IM}  = (1;1)\).

Vậy phương trình đường thẳng \(AB\) là: \(1(x - 2) + 1(y - 4) = 0 \Leftrightarrow x + y - 6 = 0.{\rm{ }}\)

\((E):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {{a^2} = {b^2} + {c^2};a,b,c > 0} \right) \cdot \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{c}{a} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}}\\{2(2a + 2b) = 20 \Rightarrow {a^2} = 9,{b^2} = 4.}\\{{c^2} = {a^2} - {b^2}}\end{array}} \right.\)

\((E):\frac{{{x^2}}}{9} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).