Đề kiểm tra Ôn tập chương 7 lớp 10 (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(a\). Tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) bằng
\( - \frac{{{a^2}}}{2}\).
\({a^2}\).
\(2{a^2}\).
\(\frac{{{a^2}}}{2}\).
\(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = AB.AC.\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = AB.AC.\cos \widehat {BAC} = a.a.\cos {60^o} = \frac{{{a^2}}}{2}\).
Trong mặt phẳng \[Oxy\], cho tam giác \[ABC\] có \[A = \left( { - 1;3} \right)\], \[B = \left( {2;0} \right)\], \[C = \left( {6;2} \right)\]. Tính độ dài trung tuyến \[AM\] của tam giác \[ABC\].
\[\sqrt 3 \].
\[\sqrt {10} \].
\[\sqrt {17} \].
\[\sqrt {29} \].
\[M\] là trung điểm cạnh \[BC\] nên \[{x_M} = \frac{{2 + 6}}{2} = 4;{y_M} = \frac{{0 + 2}}{2} = 1\]. Suy ra \[M\left( {4;1} \right)\].
\[\overrightarrow {AM} = \left( {5; - 2} \right) \Rightarrow AM = \sqrt {{5^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt {29} \].
Cho hai đường thẳng \({d_1}:\,11x - 12y + 1 = 0\) và \({d_2}:\,12x + 11y + 9 = 0\). Xét vị trí tương đối giữa \({d_1}\) và \({d_2}\):
\({{\rm{d}}_1}{\rm{//}}{{\rm{d}}_2}\).
\({d_1} \equiv {d_2}\).
\({d_1}\) cắt \({d_2}\) nhưng không vuông góc.
\({d_1} \bot {d_2}\).
Ta có: \({d_1}\) có VTPT là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {11; - 12} \right)\); \({d_2}\) có VTPT là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {12;11} \right)\).
Xét \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 11.12 - 12.11 = 0\) \( \Rightarrow {d_1} \bot {d_2}\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\). Biết rằng \[\Delta \] là đường thẳng song song với đường thẳng \(d\) và cắt đường thẳng \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y = 1 + 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) tại điểm có hoành độ là \( - 1\). Đáp án nào dưới đây là sai ?
\(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
\(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 3 + 4t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
\(\Delta : - 2x + y - 7 = 0\).
\(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 9 + 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
Gọi \(A\left( { - 1;{y_A}} \right)\) là giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) và đường thẳng \(d'\)
Ta có \(A \in d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y = 1 + 2t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 = 2 - 3{t_A}\\{y_A} = 1 + 2{t_A}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_A} = 1\\{y_A} = 3\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 1;3} \right)\)
+ \(\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 2t\end{array} \right.\) suy ra \(\left( d \right)\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;2} \right)\)
+ \(\Delta {\rm{//}}d \Rightarrow \Delta \) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;2} \right)\)
+ \(\Delta \) qua \(A\left( { - 1;3} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;2} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
Ta có \(\vec a = \left( {2;4} \right) = 2\vec u\) và \(B\left( {2;9} \right) \in \Delta \left( {{t_0} = 3} \right)\)
Mặt khác \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right) \Leftrightarrow \Delta : - 2x + y - 5 = 0\).
Cho đường thẳng \(d:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = t\end{array} \right.\), và điểm \(A\left( {1;2} \right)\) không thuộc đường thẳng \(d\), tìm hình chiếu \(H\) của \(A\) trên đường thẳng \(d\).
\(H\left( { - 1;3} \right)\).
\(H\left( {\frac{{ - 2}}{5};1} \right)\).
\(H\left( {2;\frac{1}{2}} \right)\).
\(H\left( {\frac{9}{5};\frac{2}{5}} \right)\).
Ta có: \(H \in d \Rightarrow H\left( {1 + 2t;t} \right)\), \(\overrightarrow {AH} = \left( {2t;t - 2} \right)\), đường thẳng \(d\) có VTCP: \(\overrightarrow u = \left( {2;1} \right)\).
Vì \(AH \bot d \Rightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow u = 0\)\( \Leftrightarrow 2.2t + t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{2}{5} \Rightarrow H\left( {\frac{9}{5};\frac{2}{5}} \right)\).
Phương trình chính tắc của Elip \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a > b > 0} \right)\)biết \(\frac{c}{a} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\) và nhận \(F\left( {4;0} \right)\)là một tiêu điểm là?
\(\frac{{{x^2}}}{{10}} + \frac{{{y^2}}}{8} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{20}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\).
Phương trình chính tắc của Elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a > b > 0} \right)\)
Ta có \(F\left( {4;0} \right) \Rightarrow c = 4\); \(\frac{{2\sqrt 5 }}{5} = \frac{c}{a} \Rightarrow a = 2\sqrt 5 \)
Suy ra \({b^2} = {a^2} - {c^2} = 20 - 16 = 4\).
Vậy phương trình chính tắc của Elip là \(\frac{{{x^2}}}{{20}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).
Phương trình tham số của đường thẳng \[d\] đi qua hai điểm \[A\left( { - 2;3} \right)\] và \[B\left( {3;1} \right)\] là
\[\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 5t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 5t\\y = 3 - 2t\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 2t\\y = 3 + 5t\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 5t\\y = 1 - 2t\end{array} \right.\]
Đường thẳng \[d\] đi qua điểm \[A\left( { - 2;3} \right)\] và nhận vec tơ \[\overrightarrow {AB} \left( {5;\, - 2} \right)\] làm vectơ chỉ phương.
Vậy phương trình tham số của đường thẳng \[d\] là \[\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 5t\\y = 3 - 2t\end{array} \right.,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\].
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \({d_1}:\,\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = - 2 - 2t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t'\\y = - 8 + 4t'\end{array} \right.\).
\({{\rm{d}}_1}{\rm{//}}{{\rm{d}}_2}\).
\({d_1} \bot {d_2}\).
\({d_1} \equiv {d_2}\).
\({d_1}\) cắt \({d_2}\) nhưng không vuông góc.
Ta có \({d_1}\) có VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 2} \right)\), \({d_2}\) có VTCP là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 2;4} \right)\) và có điểm \(B\left( {2; - 8} \right) \in {d_2}\)
Thay toạ độ \(B\) vào phương trình đường thẳng \({d_1}\) ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}2 = - 1 + t\\ - 8 = - 2 - 2t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 3\\t = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 3\)
\( \Rightarrow B \in {d_1}\)
Lại có \(\overrightarrow {{u_2}} = - 2\overrightarrow {{u_1}} \)
Vậy \({d_1} \equiv {d_2}\).
Côsin của góc giữa \[2\] đường thẳng \[{\Delta _1}\]: \[2x + 3y - 10 = 0\]và \[{\Delta _2}\]: \[2x - 3y + 4 = 0\] bằng:
\[\frac{7}{{13}}\].
\[\frac{6}{{13}}\].
\[\sqrt {13} .\]
\[\frac{5}{{13}}.\]
Véctơ pháp tuyến của \[{\Delta _1},\,\,\;{\Delta _2}\;\]lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} (2;3),\,\,\overrightarrow {{n_2}} (2; - 3).\)
Ta có: \[\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = |c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)| = \frac{{\overrightarrow {|{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}|} }}{{|\overrightarrow {{n_1}|} |\overrightarrow {{n_2}|} }} = \frac{5}{{13}}.\]
Góc giữa \[2\] đường thẳng \[{\Delta _1}\]: \[\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 10 + 2t\end{array} \right.\]và \[{\Delta _2}\]: \[\left\{ \begin{array}{l}x = - 6 + 3t\\y = 1 + t\end{array} \right.\] bằng:
45°
0°.
90°.
60°.
Đường thẳng \({d_1}\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {2; - 1} \right)\).
Đường thẳng \({d_2}\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {n'} \left( {3;1} \right)\).
cosd1;d2=n→.n'→n→.n'→=2.3−15.10=12⇒d1;d2=450
Tính góc giữa hai đường thẳng \({d_1}:2x - y - 3 = 0\)và \({d_2}:3x + y + 2 = 0\).
450
600
300
900
Đường thẳng \({d_1}\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {2; - 1} \right)\).
Đường thẳng \({d_2}\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {n'} \left( {3;1} \right)\).
\(\cos \left( {{d_1};{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{\left| {2.3 - 1} \right|}}{{\sqrt 5 .\sqrt {10} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {{d_1};{d_2}} \right) = {45^0}\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 13\). Phương trình dạng khai triển của đường tròn \(\left( C \right)\) là
\({x^2} + {y^2} + 8x + 6y - 12 = 0\).
\({x^2} + {y^2} + 8x + 6y + 12 = 0\).
\({x^2} + {y^2} - 8x - 6y + 12 = 0\).
x2+y2−8x−6y−12=0 .
Ta có :x−42+y−32=13⇔x2−8x+16+y2−6y+9=13⇔x2+y2−8x−6y+12=0
Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau:
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
a) \(\Delta \) có vectơ chỉ phương là \(\vec u = (3; - 2)\) nên có phương trình tham số:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10 + 3t}\\{y = - 8 - 2t}\end{array}} \right.\)
b) \(\Delta \) vuông góc với trục \(Oy\) nên nhận vectơ đơn vị của trục \(Ox\) là vectơ chỉ phương, tức là \(\vec u = \vec i = (1;0);\) phương trình tham số \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 1}\end{array}} \right.\).
c) \(\Delta \) có hệ số góc \(k = - 2\) nên có vectơ chỉ phương \(\vec u = (1; - 2)\), vậy phương trình tham số của \(\Delta \) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + t}\\{y = - 5 - 2t}\end{array}} \right.\).
d) Xét phương trình tổng quát \(\Delta :10x + y - 20 = 0\); thay \(x = 0 \Rightarrow y = 20\) nên \(\Delta \) qua điểm \(M(0;20)\). Mặt khác \(\Delta \) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (10;1)\) nên có vectơ chỉ phương là \(\vec u = (1; - 10)\).
Vậy phương trình tham số của \(\Delta \) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 20 - 10t}\end{array}} \right.\).
Đường thẳng \(\left( d \right):x - 2y + 5 = 0\). Khi đó:
\(\left( d \right)\) đi qua \(A\left( {1; - 2} \right)\).
\(\left( d \right)\) có phương trình tham số:\(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 2t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in R} \right)\).
\(\left( d \right)\) có hệ số góc \(k = \frac{1}{2}\).
\(\left( d \right)\) cắt \(\left( {d'} \right)\) có phương trình: \(x - 2y = 0\).
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Giả sử \(A\left( {1; - 2} \right) \in \left( d \right):x - 2y + 5 = 0\) \( \Rightarrow 1 - 2.\left( { - 2} \right) + 5 = 0\left( {vl} \right)\).
Ta có \(\left( d \right):x - 2y + 5 = 0 \Rightarrow VTPT\,\overrightarrow n = \left( {1; - 2} \right) \Rightarrow VTCP\,\overrightarrow u = \left( {2;1} \right)\)
Ta có \(\left( d \right):x - 2y + 5 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2} + \frac{5}{2}\) \( \Rightarrow \) hệ số góc \(k = \frac{1}{2}\)
Đường tròn \((C)\) đi qua điểm \(A( - 2;6)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :3x - 4y - 15 = 0\) tại \(B(1; - 3)\). Khi đó:
Đường kính của đường tròn \((C)\) bằng: \(10\)
Tâm của đường tròn \((C)\) có tung độ bằng \( - 2\)
Khoảng cách từ tâm của đường tròn \((C)\) đến đường thẳng \(\Delta \) bằng 4
Điểm \(O\left( {0;0} \right)\) nằm bên trong đường tròn \((C)\)
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
Gọi tâm đường tròn \(I(a;b)\). Ta có vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {4;3} \right)\) và \(\overrightarrow {IB} = \left( {1 - a; - 3 - b} \right)\). Theo giả thiết: \(\overrightarrow {IB} \bot \overrightarrow {{u_\Delta }} \Rightarrow \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0 \Rightarrow 4a + 3b + 5 = 0\left( 1 \right)\). Ta lại có \(\begin{array}{l}IA = IB \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2}\\ \Leftrightarrow {\left( { - 2 - a} \right)^2} + {\left( {6 - b} \right)^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( { - 3 - b} \right)^2}\\ \Leftrightarrow a - 3b + 5 = 0\left( 2 \right)\end{array}\)
Giải hệ (1) và (2): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4a + 3b = - 5}\\{a - 3b = - 5}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 2}\\{b = 1}\end{array}} \right.} \right.\).
Suy ra \(R = IA = \sqrt {{{( - 2 + 2)}^2} + {{(6 - 1)}^2}} = 5\).
Do đó phương trình đường tròn \((C):{(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} = 25\).
Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau:
\(\Delta \) qua \(A( - 2;4)\) và song song với đường thẳng \(d:3x - 1 = 0\), khi đó phương trình tổng quát của \(\Delta \) là: \(x + 2 = 0\)
\(\Delta \) qua \(B(3;3)\) và vuông góc đường thẳng \(d:x - 2y + 2 = 0\), khi đó phương trình tham số của \(\Delta \) là: \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 - 2t}\\{y = 3 + t}\end{array}} \right.\)
\(\Delta \) đi qua điểm \(E( - 1;2)\) và có hệ số góc \(k = \frac{1}{2}\), khi đó phương trình tham số của \(\Delta \) là: \(\frac{1}{2}x - y + \frac{5}{2} = 0.{\rm{ }}\)
\(\Delta \) qua \(A( - 1;2)\) và song song với đường thẳng \(5x + 1 = 0\), khi đó phương trình tham số của \(\Delta \) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}\\{y = 2 - 5t}\end{array}} \right.{\rm{. }}\)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
a) \(\Delta \) song song với đường thẳng \(d:3x - 1 = 0\) nên có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (3;0)\), một vectơ chỉ phương là \(\vec u = (0;3)\).
Phương trình tổng quát \(\Delta :3(x + 2) + 0(y - 4) = 0\) hay \(x + 2 = 0\).
b) \(\Delta \) vuông góc với đường thẳng \(d:x - 2y + 2 = 0\) nên \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương \(\vec u = (1; - 2)\) và một vectơ pháp tuyến \(\vec n = (2;1)\).
Phương trình tham số \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + t}\\{y = 3 - 2t}\end{array}} \right.\).
c) \(\Delta \) đi qua điểm \(E( - 1;2)\) và có hệ số góc \(k = \frac{1}{2}\)
\( \Rightarrow \Delta :y = \frac{1}{2}(x + 1) + 2 \Leftrightarrow \Delta :\frac{1}{2}x - y + \frac{5}{2} = 0.{\rm{ }}\)
d) Vì \(\Delta \) song song với đường thẳng \(5x + 1 = 0\) nên vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\vec u = (0; - 5)\). \(\Delta \) qua \(A( - 1;2)\) và vectơ chỉ phương \(\vec u = (0; - 5)\)
\( \Rightarrow \Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}\\{y = 2 - 5t}\end{array}} \right.{\rm{. }}\)
Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn sau: \(\left( {{C_1}} \right):{x^2} + {y^2} - 4y - 5 = 0\) và \(\left( {{C_2}} \right):{x^2} + {y^2} - 6x + 8y + 16 = 0\).
Đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}(0;2)\) bán kính \({R_1} = 3\).
Đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}(3; - 4)\) bán kính \({R_2} = 3\).
Gọi tiếp tuyến chung của hai đường tròn có phương trình \(\Delta :ax + by + c = 0\) với \({a^2} + {b^2} \ne 0\)
\(\Delta \) là tiếp tuyến chung của \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{d\left( {{I_1},\Delta } \right) = 3}\\{d\left( {{I_2},\Delta } \right) = 3}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{|2b + c| = 3\sqrt {{a^2} + {b^2}} (*)}\\{|3a - 4b + c| = 3\sqrt {{a^2} + {b^2}} }\end{array} \Rightarrow |2b + c| = |3a - 4b + c| \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2b}\\{c = \frac{{ - 3a + 2b}}{2}.}\end{array}} \right.} \right.\)
Trường hợp 1: \(a = 2b\); chọn \(a = 2 \Rightarrow b = 1\); thay vào \(\left( * \right)\) ta được: \(c = - 2 \pm 3\sqrt 5 \); suy ra phương trình hai tiếp tuyến là: \(2x + y - 2 \pm 3\sqrt 5 = 0\).
Trường hợp 2: \(c = \frac{{ - 3a + 2b}}{2}\); thay vào \((*)\) ta được:
\(\begin{array}{l}\left| {2b + \frac{{ - 3a + 2b}}{2}} \right| = 3\sqrt {{a^2} + {b^2}} \Leftrightarrow |2b - a| = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow 4{b^2} - 4ab + {a^2} = 4{a^2} + 4{b^2} \Leftrightarrow 3{a^2} + 4ab = 0 \Leftrightarrow a(3a + 4b) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 0}\\{3a = - 4b}\end{array}.} \right.\end{array}\)
Với \(a = 0\); chọn \(b = 1 \Rightarrow c = 1\).
Phương trình \(\Delta :y + 1 = 0\).
Với \(3a = - 4b\); chọn \(a = 4 \Rightarrow b = - 3 \Rightarrow c = - 9\).
Phương trình: \(\Delta :4x - 3y - 9 = 0\).
Vậy có bốn tiếp tuyến chung của hai đường tròn có phương trình là:
\(2x + y - 2 \pm 3\sqrt 5 = 0;y + 1 = 0;4x - 3y - 9 = 0.{\rm{ }}\)
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), cho đường tròn \((C):{x^2} + {y^2} + 2x - 6y + 5 = 0\). Viết phương trình tiếp tuyến của \((C)\) song song với đường thẳng \(\Delta :x + 2y - 15 = 0\).
\((C)\) có tâm \(I( - 1;3)\) và bán kính \(R = \sqrt {1 + 9 - 5} = \sqrt 5 ,d:x + 2y - m = 0\).
\(d\) là tiếp tuyến của \((C)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow d(I,d) = R \Leftrightarrow \frac{{| - 1 + 6 - m|}}{{\sqrt {1 + 4} }} = \sqrt 5 \Leftrightarrow |m - 5| = 5\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 5 = - 5}\\{m - 5 = 5}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0 \Rightarrow d:x + 2y = 0}\\{m = 10 \Rightarrow d:x + 2y - 10 = 0}\end{array}} \right.} \right.\end{array}\)
Lập phương trình chính tắc của elip \((E)\) biết một đỉnh và hai tiêu điểm của \((E)\) tạo thành một tam giác đều và chu vi hình chữ nhật cơ sở của \((E)\) là \(12(2 + \sqrt 3 )\).
\((E):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {{a^2} = {b^2} + {c^2};a,b,c > 0} \right)\). Gọi \({F_1}( - c;0) \Rightarrow {F_2}(c;0)\).
Hai đỉnh trên trục nhỏ \({B_1}(0; - b),{B_2}(0;b)\). Ta có hệ:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 2c\frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\{2(2a + 2b) = 12(2 + \sqrt 3 ) \Leftrightarrow }\\{{c^2} = {a^2} - {b^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 6}\\{b = 3\sqrt 3 }\\{c = 3}\end{array} \Rightarrow (E):\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{27}} = 1.} \right.} \right.\)
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), viết phương trình chính tắc của đường hypebol \((H)\) có một tiêu điểm là \({F_2}(6;0)\) và đi qua điểm \({A_2}(4;0)\).
Giả sử hypebol \((H)\) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a > 0,b > 0\).
Do \({A_2}(4;0)\) thuộc \((H)\) nên \(\frac{{{4^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\), suy ra \(a = 4\).
Mà \({F_2}(6;0)\) là tiêu điểm của \((H)\) nên \(c = 6\).
Suy ra \({b^2} = {c^2} - {a^2} = 36 - 16 = 20\).
Vậy hypebol \((H)\) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1\).
Cho elip \((E):\frac{{{x^2}}}{4} + \frac{{{y^2}}}{1} = 1\). Tìm điểm \(M\) thuộc \((E)\) sao cho góc F1MF2^=60° với \({F_1},{F_2}\) là hai tiêu điểm của \((E)\)
\(M \in (E)\). Ta có \(M{F_1} = 2 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}x,M{F_2} = 2 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}x\).
F1F22=MF12+MF22−2MF1MF2cos60°⇔12=4+94x2⇔x=±323.
\(\begin{array}{l}{\rm{ V\`i }}M \in (E){\rm{ n\^e n }}x = \pm \frac{{\sqrt {32} }}{3} \Rightarrow y = \pm \frac{1}{3}{\rm{. }}\\ \Rightarrow {M_1}\left( {\frac{{\sqrt {32} }}{3};\frac{1}{3}} \right),{M_2}\left( {\frac{{\sqrt {32} }}{3}; - \frac{1}{3}} \right),{M_3}\left( { - \frac{{\sqrt {32} }}{3}; - \frac{1}{3}} \right),{M_4}\left( { - \frac{{\sqrt {32} }}{3}; - \frac{1}{3}} \right){\rm{. }}\end{array}\)
Mái vòm của một đường hầm có hình bán elip. Chiều rộng của đường hầm là \(10\;m\), điểm cao nhất của mái vòm là \(3\;m\). Gọi \(h\) là chiều cao của mái vòm tại điểm cách tâm của đường hầm \(2\;m\). Tính \(h\)?
Phương trình của elip là \(\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1\),
Khi đó: \(\frac{{{2^2}}}{{{5^2}}} + \frac{{{h^2}}}{{{3^2}}} = 1 \Rightarrow h = \frac{{3\sqrt {21} }}{5}\)
