20 câu trắc nghiệm Toán 10 Kết nối tri thức Bài tập cuối chương 7 (Đúng sai - Trả lời ngắn) có đáp án

Đường thẳng \({\Delta _1};{\Delta _2}\) lần lượt có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {1;1} \right),\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {2;0} \right)\).

Ta có \(\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}}  \cdot \overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {1 \cdot 2 + 1 \cdot 0} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}}  \cdot \sqrt {{2^2} + {0^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Rightarrow \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = 45^\circ \). Chọn C.

Gọi \(I\left( {a;b} \right)\).

Theo đề ta có \(IA = IB = IC\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} + {\left( {4 - b} \right)^2} = {\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( {4 - b} \right)^2}\\{\left( {2 - a} \right)^2} + {\left( {4 - b} \right)^2} = {\left( {2 - a} \right)^2} + {b^2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}4a = 4\\8b = 16\end{array} \right.\)\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 1\\b = 2\end{array} \right. \Rightarrow I\left( {1;2} \right)\). Chọn B.

Lời giải

Đường thẳng \(d\) vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) có dạng \(x + 2y + c = 0\).

Vì \(d\) đi qua điểm \(A\left( {1;2} \right)\) nên \(1 + 2 \cdot 2 + c = 0 \Rightarrow c =  - 5\).

Vậy \(d:x + 2y - 5 = 0\). Chọn D.

Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow u  = \left( { - 4;3} \right)\) nên nhận \(\overrightarrow n  = \left( {3;4} \right)\) làm một vectơ pháp tuyến. Chọn D.

Tiêu cự \({F_1}{F_2} = 2c = 2\sqrt {7 + 9}  = 8\). Chọn A.

Ta có \(R = IM = \sqrt {{{\left( {4 - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 2 - 2} \right)}^2}}  = 5\).

Phương trình đường tròn có tâm \(I\left( {1;2} \right)\) và đi qua điểm \(M\left( {4; - 2} \right)\) là \({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} = 25\) hay \({x^2} + {y^2} - 2x - 4y - 20 = 0\). Chọn C.

Ta có \[\overrightarrow {AB}  = \left( {0;6} \right)\].

Đường thẳng \(AB\) đi qua điểm \(A\left( {2; - 1} \right)\) và nhận \[\overrightarrow {AB}  = \left( {0;6} \right)\] làm vectơ chỉ phương có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y =  - 1 + 6t\end{array} \right.\). Chọn A.

Ta có \(M{F_1} + M{F_2} = 2a = 2 \cdot 3 = 6\). Chọn A.

Ta có \(F\left( {2;0} \right)\) là tiêu điểm của \(\left( P \right)\). Chọn C.

Ta có \(d\left( {I,d} \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 2 - 4 \cdot \left( { - 3} \right) - 8} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 2\).

Khi đó \(R = \sqrt {{2^2} + {3^2}}  = \sqrt {13} \).

Vậy phương trình đường tròn cần lập là \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 3} \right)^2} = 13\). Chọn D.

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {5; - 2} \right),R = 5\sqrt 2 \).

a) Ta có \(d\left( {I,\Delta } \right) = \frac{{\left| {5 - \left( { - 2} \right) + 3} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{10}}{{\sqrt 2 }} = 5\sqrt 2  = R\).

Do đó đường thẳng \(\Delta :x - y + 3 = 0\) tiếp xúc với đường tròn \(\left( C \right)\).

b) Ta có \(\overrightarrow {IA}  = \left( { - 7;1} \right)\).

Tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) tại \(A\)  nhận \(\overrightarrow {IA}  = \left( { - 7;1} \right)\) làm vectơ pháp tuyến có phương trình là

\( - 7\left( {x + 2} \right) + \left( {y + 1} \right) = 0\) hay \(7x - y + 13 = 0\).

c) Thay tọa độ điểm \(A\) vào phương trình đường tròn ta thấy thỏa mãn.

Do đó điểm \(A\) thuộc đường tròn \(\left( C \right)\).

d) Tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) song song với đường thẳng \(d:x + y + 7 = 0\) có dạng \(d':x + y + c = 0,c \ne 7\)

Lại có \(d\left( {I,d'} \right) = R\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {5 - 2 + c} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = 5\sqrt 2 \)\( \Leftrightarrow \left| {3 + c} \right| = 10\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3 + c = 10\\3 + c =  - 10\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 7\\c =  - 13\end{array} \right.\).

Vì \(c \ne 7\) nên \(c =  - 13\).

Vậy có 1 tiếp tuyến là \(d':x + y - 13 = 0\).

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;   c) Đúng;    d) Sai.

a) Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình đường thẳng \(d\) ta thấy không thỏa mãn.

Vậy điểm \(M\) không thuộc đường thẳng \(d\).

b) Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {3; - 4} \right)\).

Đường thẳng \(d\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u  = \left( {4;3} \right)\) nên nhận \(\overrightarrow {{n_2}}  = \left( {3; - 4} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Ta có \(\overrightarrow {{n_1}} \) và \(\overrightarrow {{n_2}} \) cùng phương và điểm \(A\left( {2;0} \right)\) thuộc \(d\) nhưng không thuộc \(\Delta \).

Do đó hai đường thẳng \(d\) và \(\Delta \) song song với nhau.

c) Đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với đường thẳng \(\Delta \) có vectơ pháp tuyến là \(\left( {4;3} \right)\) có dạng \(4\left( {x - 2} \right) + 3\left( {y - 3} \right) = 0\) hay \(4x + 3y - 17 = 0\).

d) Ta có \(d\left( {d,\Delta } \right) = d\left( {A,\Delta } \right) = \frac{{\left| {3 \cdot 2 - 4 \cdot 0 + 1} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{7}{5}\).

Đáp án: a) Sai;     b) Đúng;   c) Sai;    d) Đúng.

a) Một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(d\) là \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 1} \right)\).

b) Ta có \(d\left( {O,d} \right) = \frac{{\left| 2 \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \sqrt 2 \).

c) Đường thẳng \(d\) cắt trục \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(A\left( { - 2;0} \right),B\left( {0;2} \right)\).

Khi đó \({S_{\Delta AOB}} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 2 = 2\).

d) Đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n  = \left( {1; - 1} \right)\) và trục \(Ox\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {0;1} \right)\).

Khi đó \(\cos \left( {d,Ox} \right) = \frac{{\left| {1 \cdot 0 + \left( { - 1} \right) \cdot 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}}  \cdot \sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {d,Ox} \right) = 45^\circ \).

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;   c) Sai;    d) Đúng.

a) Đường thẳng \(d\) cắt trục \(Ox,Oy\) lần lượt tại các điểm \(A\left( {2;0} \right),B\left( {0;2} \right)\) nên \(OA = OB,OA \bot OB\).

Do đó tam giác \(OAB\) vuông cân tại \(O\).

b) Đường tròn tâm \(A\) và tiếp xúc với đường thẳng \(d\) có bán kính \(R = \frac{{\left| { - 1 + 2 - 2} \right|}}{{\sqrt 2 }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\).

c) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( {1; - 1} \right) = \overrightarrow {{u_d}} \) và \(A \notin d\) nên đường thẳng \(AB\) song song với \(d\).

d) Ta có \(A,B\) nằm cùng phía với đường thẳng \(d\).

Gọi \(A'\) đối xứng với \(A\) qua \(d\).

Ta có \(MA + MB = MA' + MB \ge A'B\).

Khi đó giá trị nhỏ nhất của \(MA + MB\) bằng \(A'B\) khi đó \(M\) là giao điểm của \(A'B\) với \(d\).

Mặt khác \(AB\) song song \(d\) nên \(M\) là trung điểm của \(A'B\).

Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\). Suy ra \(MI//AA' \Rightarrow M\) là hình chiếu vuông góc của \(I\) trên \(d\).

Ta có \(I\left( { - \frac{1}{2};\frac{3}{2}} \right)\).

\(MI \bot d\) nên \(MI:x - y + c = 0\).

Lại có \(I \in MI\) nên \( - \frac{1}{2} - \frac{3}{2} + c = 0 \Rightarrow c = 2\).

Do đó \(MI:x - y + 2 = 0\).

Khi đó \(MI \cap d = \left\{ M \right\} \Rightarrow M\left( {0;2} \right)\)\( \Rightarrow a = 0;b = 2 \Rightarrow a + b = 2\).

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;   c) Sai;    d) Đúng.

a) Có \({a^2} = 25;{b^2} = 9 \Rightarrow {c^2} = {a^2} - {b^2} = 25 - 9 = 16 \Rightarrow c = 4\).

Tiêu cự là \(2c = 8\).

b) Tiêu điểm \({F_1}\left( { - 4;0} \right),{F_2}\left( {4;0} \right)\).

c) Thay tọa độ điểm \(K\left( {3;0} \right)\) vào phương trình \(\left( E \right)\) ta thấy không thỏa mãn.

Do đó \(K\left( {3;0} \right)\) không thuộc \(\left( E \right)\).

d) Có \(\left( H \right):\frac{{{x^2}}}{{{A^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{B^2}}} = 1\) có các tiêu điểm trùng với các tiêu điểm của \(\left( E \right)\) nên \({A^2} + {B^2} = 16\).

Lại có \(\left( H \right)\) đi qua điểm \(N\left( {\sqrt {15} ;1} \right)\) nên \(\frac{{15}}{{{A^2}}} - \frac{1}{{{B^2}}} = 1 \Rightarrow 15{B^2} - {A^2} = {A^2}{B^2}\)\( \Rightarrow 240 - 16{A^2} = {A^2}\left( {16 - {A^2}} \right)\)\[ \Rightarrow {A^4} - 32{A^2} + 240 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{A^2} = 12\left( {TM} \right)\\{A^2} = 20\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\].

Với \({A^2} = 12 \Rightarrow A = 2\sqrt 3 \).

Suy ra \(\left| {M{F_1} - M{F_2}} \right| = 4\sqrt 3 \).

Đáp án: a) Đúng;     b) Sai;   c) Sai;    d) Sai.

Vì đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(M\left( { - 1;2} \right)\) và vuông góc với đường thẳng \(d\) có phương trình tham số là \(\left\{ \begin{array}{l}x = 2t\\y = 1 - 3t\end{array} \right.\) nên \(\Delta \) có dạng \(2\left( {x + 1} \right) - 3\left( {y - 2} \right) = 0\) hay \(2x - 3y + 8 = 0\).

Vì \(\Delta \) cắt trục \(Ox,Oy\) lần lượt tại \(A\) và \(B\) nên \(A\left( { - 4;0} \right);B\left( {0;\frac{8}{3}} \right)\).

Khi đó \({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{8}{3} = \frac{{16}}{3} \approx 5,33\).

Trả lời: 5,33.

Đường thẳng \(d\) đi qua \(O\) có dạng \(ax + by = 0\left( {{a^2} + {b^2} > 0} \right)\).

Ta có \(d\left( {A,d} \right) = \frac{{\left| {10a + 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\); \(d\left( {B,d} \right) = \frac{{\left| { - 10a + 8b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

Do đó \(d\left( {A,d} \right) + d\left( {B,d} \right)\)\[ = \frac{{\left| {10a + 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} + \frac{{\left| { - 10a + 8b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{{\left| {10a + 2b} \right| + \left| { - 10a + 8b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\].

Do \(A,B\) nằm cùng phía với đường thẳng \(d\) nên \[10a + 2b\]và \[ - 10a + 8b\] phải cùng dấu.

Do đó \[\left| {10a + 2b} \right| + \left| { - 10a + 8b} \right| = \left| {10a + 2b + \left( { - 10a} \right) + 8b} \right| = \left| {10b} \right|\].

Do đó \(d\left( {A,d} \right) + d\left( {B,d} \right) = \frac{{\left| {10b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\).

Đặt \(a = kb,b \ne 0\). Khi đó \(d\left( {A,d} \right) + d\left( {B,d} \right) = \frac{{\left| {10b} \right|}}{{\sqrt {{k^2}{b^2} + {b^2}} }} = \frac{{10\left| b \right|}}{{\left| b \right|\sqrt {{k^2} + 1} }} = \frac{{10}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }}\).

Để \(\frac{{10}}{{\sqrt {{k^2} + 1} }}\) lớn nhất thì \(\sqrt {{k^2} + 1} \) nhỏ nhất khi \(k = 0\)\( \Rightarrow a = 0\).

Khi đó đường thẳng \(d\) là trục hoành \(y = 0\).

Vậy \(d\left( {A,d} \right) + d\left( {B,d} \right)\) lớn nhất là 10.

Trả lời: 10.

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {2; - 1} \right)\) và \(R = 5\).

Vì tiếp tuyến \(d\) của đường tròn \(\left( C \right)\) song song với đường thẳng \(\Delta \) có dạng \(3x - 4y + c = 0,c \ne  - 35\).

Lại có \(d\left( {I,d} \right) = R\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {3 \cdot 2 - 4 \cdot \left( { - 1} \right) + c} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 5\)\( \Leftrightarrow \left| {10 + c} \right| = 25\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}10 + c = 25\\10 + c =  - 25\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 15\\c =  - 35\end{array} \right.\).

Vì \(c \ne  - 35\) nên \(c = 15\). Do đó \(d:3x - 4y + 15 = 0\).

Suy ra \(b =  - 4;c = 15\). Vậy \(b + c = 11\).

Trả lời: 11.

Dựa vào hình vẽ ta thấy elip đi qua 2 điểm \(\left( {5;0} \right);\left( {0;3} \right)\) nên ta có hệ \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{25}}{{{a^2}}} = 1\\\frac{9}{{{b^2}}} = 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a^2} = 25\\{b^2} = 9\end{array} \right.\).

Vậy \(\left( E \right):\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).

Đường thẳng \(d\) song song với trục hoành và cách trục hoành một khoảng bằng 2 có phương trình là \(y = 2\) hoặc \(y =  - 2\).

Xét trường hợp \(y = 2\) (tương tự \(y =  - 2\)).

Tọa độ giao điểm của elip với đường thẳng \(y = 2\)là nghiệm của hệ

\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\\y = 2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  \pm \frac{{5\sqrt 5 }}{3}\\y = 2\end{array} \right.\)\( \Rightarrow {M_1}\left( {\frac{{5\sqrt 5 }}{3};2} \right);{M_2}\left( { - \frac{{5\sqrt 5 }}{3};2} \right)\).

Ta có \(OM_2^2 = {\left( {\frac{{ - 5\sqrt 5 }}{3}} \right)^2} + {2^2}\).

Ta có \({M_1}{M_2} = 2I{M_2} = 2\sqrt {OM_2^2 - I{O^2}}  = 2\sqrt {{{\left( {\frac{{ - 5\sqrt 5 }}{3}} \right)}^2} + {2^2} - {2^2}}  = \frac{{10\sqrt 5 }}{3} \approx 7,45\).

Trả lời: 7,45.

Theo đề ta có phương trình đường chuẩn \(d\) là \(x =  - 1 \Rightarrow p = 2\).

Do đó \(\left( P \right):{y^2} = 4x\).

Vì \(M \in \left( P \right) \Rightarrow MF = d\left( {M,d} \right) = MH\).

Do đó \(2M{H^2} + 3MF = 44\)\[ \Leftrightarrow 2M{H^2} + 3MH = 44\]\[ \Leftrightarrow MH = 4\] vì \(MH > 0\).

Giả sử \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) nên \(MH = d\left( {M,d} \right) = \left| {{x_0} + 1} \right| = {x_0} + 1\) (vì \({x_0} > 0\)).

Do đó \({x_0} + 1 = 4 \Rightarrow {x_0} = 3\).

Vậy hoành độ của điểm \(M\) là 3.

Trả lời: 3.