Đề kiểm tra Ôn tập chương 7 lớp 10 (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Cho tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(a\). Tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \) bằng
\( - \frac{{{a^2}}}{2}\).
\({a^2}\).
\(2{a^2}\).
\(\frac{{{a^2}}}{2}\).
Trong mặt phẳng \[Oxy\], cho tam giác \[ABC\] có \[A = \left( { - 1;3} \right)\], \[B = \left( {2;0} \right)\], \[C = \left( {6;2} \right)\]. Tính độ dài trung tuyến \[AM\] của tam giác \[ABC\].
\[\sqrt 3 \].
\[\sqrt {10} \].
\[\sqrt {17} \].
\[\sqrt {29} \].
\[M\] là trung điểm cạnh \[BC\] nên \[{x_M} = \frac{{2 + 6}}{2} = 4;{y_M} = \frac{{0 + 2}}{2} = 1\]. Suy ra \[M\left( {4;1} \right)\].
\[\overrightarrow {AM} = \left( {5; - 2} \right) \Rightarrow AM = \sqrt {{5^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt {29} \].
Cho hai đường thẳng \({d_1}:\,11x - 12y + 1 = 0\) và \({d_2}:\,12x + 11y + 9 = 0\). Xét vị trí tương đối giữa \({d_1}\) và \({d_2}\):
\({{\rm{d}}_1}{\rm{//}}{{\rm{d}}_2}\).
\({d_1} \equiv {d_2}\).
\({d_1}\) cắt \({d_2}\) nhưng không vuông góc.
\({d_1} \bot {d_2}\).
Ta có: \({d_1}\) có VTPT là \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {11; - 12} \right)\); \({d_2}\) có VTPT là \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {12;11} \right)\).
Xét \(\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} = 11.12 - 12.11 = 0\) \( \Rightarrow {d_1} \bot {d_2}\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho đường thẳng \(d:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\). Biết rằng \[\Delta \] là đường thẳng song song với đường thẳng \(d\) và cắt đường thẳng \(d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y = 1 + 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\) tại điểm có hoành độ là \( - 1\). Đáp án nào dưới đây là sai ?
\(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
\(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + 2t\\y = 3 + 4t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
\(\Delta : - 2x + y - 7 = 0\).
\(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 9 + 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\).
Gọi \(A\left( { - 1;{y_A}} \right)\) là giao điểm của đường thẳng \(\Delta \) và đường thẳng \(d'\)
Ta có \(A \in d':\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y = 1 + 2t\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 = 2 - 3{t_A}\\{y_A} = 1 + 2{t_A}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{t_A} = 1\\{y_A} = 3\end{array} \right. \Rightarrow A\left( { - 1;3} \right)\)
+ \(\left( d \right):\left\{ \begin{array}{l}x = 2 + t\\y = 2t\end{array} \right.\) suy ra \(\left( d \right)\) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;2} \right)\)
+ \(\Delta {\rm{//}}d \Rightarrow \Delta \) có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;2} \right)\)
+ \(\Delta \) qua \(A\left( { - 1;3} \right)\) và có một vectơ chỉ phương \(\overrightarrow u = \left( {1;2} \right)\)
\( \Rightarrow \Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
Ta có \(\vec a = \left( {2;4} \right) = 2\vec u\) và \(B\left( {2;9} \right) \in \Delta \left( {{t_0} = 3} \right)\)
Mặt khác \(\Delta :\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right) \Leftrightarrow \Delta : - 2x + y - 5 = 0\).
Cho đường thẳng \(d:\,\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 2t\\y = t\end{array} \right.\), và điểm \(A\left( {1;2} \right)\) không thuộc đường thẳng \(d\), tìm hình chiếu \(H\) của \(A\) trên đường thẳng \(d\).
\(H\left( { - 1;3} \right)\).
\(H\left( {\frac{{ - 2}}{5};1} \right)\).
\(H\left( {2;\frac{1}{2}} \right)\).
\(H\left( {\frac{9}{5};\frac{2}{5}} \right)\).
Ta có: \(H \in d \Rightarrow H\left( {1 + 2t;t} \right)\), \(\overrightarrow {AH} = \left( {2t;t - 2} \right)\), đường thẳng \(d\) có VTCP: \(\overrightarrow u = \left( {2;1} \right)\).
Vì \(AH \bot d \Rightarrow \overrightarrow {AH} .\overrightarrow u = 0\)\( \Leftrightarrow 2.2t + t - 2 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{2}{5} \Rightarrow H\left( {\frac{9}{5};\frac{2}{5}} \right)\).
Phương trình chính tắc của Elip \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a > b > 0} \right)\)biết \(\frac{c}{a} = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}\) và nhận \(F\left( {4;0} \right)\)là một tiêu điểm là?
\(\frac{{{x^2}}}{{10}} + \frac{{{y^2}}}{8} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{9} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{20}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).
\(\frac{{{x^2}}}{{25}} + \frac{{{y^2}}}{5} = 1\).
Phương trình chính tắc của Elip có dạng \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\,\,\,\left( {a > b > 0} \right)\)
Ta có \(F\left( {4;0} \right) \Rightarrow c = 4\); \(\frac{{2\sqrt 5 }}{5} = \frac{c}{a} \Rightarrow a = 2\sqrt 5 \)
Suy ra \({b^2} = {a^2} - {c^2} = 20 - 16 = 4\).
Vậy phương trình chính tắc của Elip là \(\frac{{{x^2}}}{{20}} + \frac{{{y^2}}}{4} = 1\).
Phương trình tham số của đường thẳng \[d\] đi qua hai điểm \[A\left( { - 2;3} \right)\] và \[B\left( {3;1} \right)\] là
\[\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 5t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 5t\\y = 3 - 2t\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 2t\\y = 3 + 5t\end{array} \right.\].
\[\left\{ \begin{array}{l}x = 3 - 5t\\y = 1 - 2t\end{array} \right.\]
Đường thẳng \[d\] đi qua điểm \[A\left( { - 2;3} \right)\] và nhận vec tơ \[\overrightarrow {AB} \left( {5;\, - 2} \right)\] làm vectơ chỉ phương.
Vậy phương trình tham số của đường thẳng \[d\] là \[\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 5t\\y = 3 - 2t\end{array} \right.,\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\].
Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng \({d_1}:\,\left\{ \begin{array}{l}x = - 1 + t\\y = - 2 - 2t\end{array} \right.\) và \({d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 2t'\\y = - 8 + 4t'\end{array} \right.\).
\({{\rm{d}}_1}{\rm{//}}{{\rm{d}}_2}\).
\({d_1} \bot {d_2}\).
\({d_1} \equiv {d_2}\).
\({d_1}\) cắt \({d_2}\) nhưng không vuông góc.
Ta có \({d_1}\) có VTCP là \(\overrightarrow {{u_1}} = \left( {1; - 2} \right)\), \({d_2}\) có VTCP là \(\overrightarrow {{u_2}} = \left( { - 2;4} \right)\) và có điểm \(B\left( {2; - 8} \right) \in {d_2}\)
Thay toạ độ \(B\) vào phương trình đường thẳng \({d_1}\) ta được:
\(\left\{ \begin{array}{l}2 = - 1 + t\\ - 8 = - 2 - 2t\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 3\\t = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow t = 3\)
\( \Rightarrow B \in {d_1}\)
Lại có \(\overrightarrow {{u_2}} = - 2\overrightarrow {{u_1}} \)
Vậy \({d_1} \equiv {d_2}\).
Côsin của góc giữa \[2\] đường thẳng \[{\Delta _1}\]: \[2x + 3y - 10 = 0\]và \[{\Delta _2}\]: \[2x - 3y + 4 = 0\] bằng:
\[\frac{7}{{13}}\].
\[\frac{6}{{13}}\].
\[\sqrt {13} .\]
\[\frac{5}{{13}}.\]
Véctơ pháp tuyến của \[{\Delta _1},\,\,\;{\Delta _2}\;\]lần lượt là \(\overrightarrow {{n_1}} (2;3),\,\,\overrightarrow {{n_2}} (2; - 3).\)
Ta có: \[\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = |c{\rm{os}}\left( {\overrightarrow {{n_1}} ,\overrightarrow {{n_2}} } \right)| = \frac{{\overrightarrow {|{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}|} }}{{|\overrightarrow {{n_1}|} |\overrightarrow {{n_2}|} }} = \frac{5}{{13}}.\]
Góc giữa \[2\] đường thẳng \[{\Delta _1}\]: \[\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 10 + 2t\end{array} \right.\]và \[{\Delta _2}\]: \[\left\{ \begin{array}{l}x = - 6 + 3t\\y = 1 + t\end{array} \right.\] bằng:
.
.
.
Đường thẳng \({d_1}\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {2; - 1} \right)\).
Đường thẳng \({d_2}\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {n'} \left( {3;1} \right)\).
Tính góc giữa hai đường thẳng \({d_1}:2x - y - 3 = 0\)và \({d_2}:3x + y + 2 = 0\).
Đường thẳng \({d_1}\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow n \left( {2; - 1} \right)\).
Đường thẳng \({d_2}\) có 1 VTPT là \(\overrightarrow {n'} \left( {3;1} \right)\).
\(\cos \left( {{d_1};{d_2}} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow n .\overrightarrow {n'} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow n } \right|.\left| {\overrightarrow {n'} } \right|}} = \frac{{\left| {2.3 - 1} \right|}}{{\sqrt 5 .\sqrt {10} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Rightarrow \left( {{d_1};{d_2}} \right) = {45^0}\).
Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường tròn \(\left( C \right):{\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 13\). Phương trình dạng khai triển của đường tròn \(\left( C \right)\) là
\({x^2} + {y^2} + 8x + 6y - 12 = 0\).
\({x^2} + {y^2} + 8x + 6y + 12 = 0\).
\({x^2} + {y^2} - 8x - 6y + 12 = 0\).
.
Ta có :
Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau:
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
a) \(\Delta \) có vectơ chỉ phương là \(\vec u = (3; - 2)\) nên có phương trình tham số:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 10 + 3t}\\{y = - 8 - 2t}\end{array}} \right.\)
b) \(\Delta \) vuông góc với trục \(Oy\) nên nhận vectơ đơn vị của trục \(Ox\) là vectơ chỉ phương, tức là \(\vec u = \vec i = (1;0);\) phương trình tham số \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 1}\end{array}} \right.\).
c) \(\Delta \) có hệ số góc \(k = - 2\) nên có vectơ chỉ phương \(\vec u = (1; - 2)\), vậy phương trình tham số của \(\Delta \) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 + t}\\{y = - 5 - 2t}\end{array}} \right.\).
d) Xét phương trình tổng quát \(\Delta :10x + y - 20 = 0\); thay \(x = 0 \Rightarrow y = 20\) nên \(\Delta \) qua điểm \(M(0;20)\). Mặt khác \(\Delta \) có vectơ pháp tuyến \(\vec n = (10;1)\) nên có vectơ chỉ phương là \(\vec u = (1; - 10)\).
Vậy phương trình tham số của \(\Delta \) là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = 20 - 10t}\end{array}} \right.\).
Đường thẳng \(\left( d \right):x - 2y + 5 = 0\). Khi đó:
\(\left( d \right)\) đi qua \(A\left( {1; - 2} \right)\).
\(\left( d \right)\) có phương trình tham số:\(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = - 2t\end{array} \right.\,\,\left( {t \in R} \right)\).
\(\left( d \right)\) có hệ số góc \(k = \frac{1}{2}\).
\(\left( d \right)\) cắt \(\left( {d'} \right)\) có phương trình: \(x - 2y = 0\).
a) Sai | b) Sai | c) Đúng | d) Sai |
Giả sử \(A\left( {1; - 2} \right) \in \left( d \right):x - 2y + 5 = 0\) \( \Rightarrow 1 - 2.\left( { - 2} \right) + 5 = 0\left( {vl} \right)\).
Ta có \(\left( d \right):x - 2y + 5 = 0 \Rightarrow VTPT\,\overrightarrow n = \left( {1; - 2} \right) \Rightarrow VTCP\,\overrightarrow u = \left( {2;1} \right)\)
Ta có \(\left( d \right):x - 2y + 5 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{2} + \frac{5}{2}\) \( \Rightarrow \) hệ số góc \(k = \frac{1}{2}\)
Đường tròn \((C)\) đi qua điểm \(A( - 2;6)\) và tiếp xúc với đường thẳng \(\Delta :3x - 4y - 15 = 0\) tại \(B(1; - 3)\). Khi đó:
Đường kính của đường tròn \((C)\) bằng: \(10\)
Tâm của đường tròn \((C)\) có tung độ bằng \( - 2\)
Khoảng cách từ tâm của đường tròn \((C)\) đến đường thẳng \(\Delta \) bằng 4
Điểm \(O\left( {0;0} \right)\) nằm bên trong đường tròn \((C)\)
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
Gọi tâm đường tròn \(I(a;b)\). Ta có vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\overrightarrow {{u_\Delta }} = \left( {4;3} \right)\) và \(\overrightarrow {IB} = \left( {1 - a; - 3 - b} \right)\). Theo giả thiết: \(\overrightarrow {IB} \bot \overrightarrow {{u_\Delta }} \Rightarrow \overrightarrow {IB} .\overrightarrow {{u_\Delta }} = 0 \Rightarrow 4a + 3b + 5 = 0\left( 1 \right)\). Ta lại có \(\begin{array}{l}IA = IB \Leftrightarrow I{A^2} = I{B^2}\\ \Leftrightarrow {\left( { - 2 - a} \right)^2} + {\left( {6 - b} \right)^2} = {\left( {1 - a} \right)^2} + {\left( { - 3 - b} \right)^2}\\ \Leftrightarrow a - 3b + 5 = 0\left( 2 \right)\end{array}\)
Giải hệ (1) và (2): \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{4a + 3b = - 5}\\{a - 3b = - 5}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = - 2}\\{b = 1}\end{array}} \right.} \right.\).
Suy ra \(R = IA = \sqrt {{{( - 2 + 2)}^2} + {{(6 - 1)}^2}} = 5\).
Do đó phương trình đường tròn \((C):{(x + 2)^2} + {(y - 1)^2} = 25\).
Xác định tính đúng, sai của các khẳng định sau:
\(\Delta \) qua \(A( - 2;4)\) và song song với đường thẳng \(d:3x - 1 = 0\), khi đó phương trình tổng quát của \(\Delta \) là: \(x + 2 = 0\)
\(\Delta \) qua \(B(3;3)\) và vuông góc đường thẳng \(d:x - 2y + 2 = 0\), khi đó phương trình tham số của \(\Delta \) là: \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 - 2t}\\{y = 3 + t}\end{array}} \right.\)
\(\Delta \) đi qua điểm \(E( - 1;2)\) và có hệ số góc \(k = \frac{1}{2}\), khi đó phương trình tham số của \(\Delta \) là: \(\frac{1}{2}x - y + \frac{5}{2} = 0.{\rm{ }}\)
\(\Delta \) qua \(A( - 1;2)\) và song song với đường thẳng \(5x + 1 = 0\), khi đó phương trình tham số của \(\Delta \) là: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}\\{y = 2 - 5t}\end{array}} \right.{\rm{. }}\)
a) Đúng | b) Sai | c) Đúng | d) Đúng |
a) \(\Delta \) song song với đường thẳng \(d:3x - 1 = 0\) nên có một vectơ pháp tuyến là \(\vec n = (3;0)\), một vectơ chỉ phương là \(\vec u = (0;3)\).
Phương trình tổng quát \(\Delta :3(x + 2) + 0(y - 4) = 0\) hay \(x + 2 = 0\).
b) \(\Delta \) vuông góc với đường thẳng \(d:x - 2y + 2 = 0\) nên \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương \(\vec u = (1; - 2)\) và một vectơ pháp tuyến \(\vec n = (2;1)\).
Phương trình tham số \(\Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 3 + t}\\{y = 3 - 2t}\end{array}} \right.\).
c) \(\Delta \) đi qua điểm \(E( - 1;2)\) và có hệ số góc \(k = \frac{1}{2}\)
\( \Rightarrow \Delta :y = \frac{1}{2}(x + 1) + 2 \Leftrightarrow \Delta :\frac{1}{2}x - y + \frac{5}{2} = 0.{\rm{ }}\)
d) Vì \(\Delta \) song song với đường thẳng \(5x + 1 = 0\) nên vectơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\vec u = (0; - 5)\). \(\Delta \) qua \(A( - 1;2)\) và vectơ chỉ phương \(\vec u = (0; - 5)\)
\( \Rightarrow \Delta :\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1}\\{y = 2 - 5t}\end{array}} \right.{\rm{. }}\)
Đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}(0;2)\) bán kính \({R_1} = 3\).
Đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}(3; - 4)\) bán kính \({R_2} = 3\).
Gọi tiếp tuyến chung của hai đường tròn có phương trình \(\Delta :ax + by + c = 0\) với \({a^2} + {b^2} \ne 0\)
\(\Delta \) là tiếp tuyến chung của \(\left( {{C_1}} \right)\) và \(\left( {{C_2}} \right) \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{d\left( {{I_1},\Delta } \right) = 3}\\{d\left( {{I_2},\Delta } \right) = 3}\end{array}} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{|2b + c| = 3\sqrt {{a^2} + {b^2}} (*)}\\{|3a - 4b + c| = 3\sqrt {{a^2} + {b^2}} }\end{array} \Rightarrow |2b + c| = |3a - 4b + c| \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 2b}\\{c = \frac{{ - 3a + 2b}}{2}.}\end{array}} \right.} \right.\)
Trường hợp 1: \(a = 2b\); chọn \(a = 2 \Rightarrow b = 1\); thay vào \(\left( * \right)\) ta được: \(c = - 2 \pm 3\sqrt 5 \); suy ra phương trình hai tiếp tuyến là: \(2x + y - 2 \pm 3\sqrt 5 = 0\).
Trường hợp 2: \(c = \frac{{ - 3a + 2b}}{2}\); thay vào \((*)\) ta được:
\(\begin{array}{l}\left| {2b + \frac{{ - 3a + 2b}}{2}} \right| = 3\sqrt {{a^2} + {b^2}} \Leftrightarrow |2b - a| = 2\sqrt {{a^2} + {b^2}} \\ \Leftrightarrow 4{b^2} - 4ab + {a^2} = 4{a^2} + 4{b^2} \Leftrightarrow 3{a^2} + 4ab = 0 \Leftrightarrow a(3a + 4b) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 0}\\{3a = - 4b}\end{array}.} \right.\end{array}\)
Với \(a = 0\); chọn \(b = 1 \Rightarrow c = 1\).
Phương trình \(\Delta :y + 1 = 0\).
Với \(3a = - 4b\); chọn \(a = 4 \Rightarrow b = - 3 \Rightarrow c = - 9\).
Phương trình: \(\Delta :4x - 3y - 9 = 0\).
Vậy có bốn tiếp tuyến chung của hai đường tròn có phương trình là:
\(2x + y - 2 \pm 3\sqrt 5 = 0;y + 1 = 0;4x - 3y - 9 = 0.{\rm{ }}\)
\((C)\) có tâm \(I( - 1;3)\) và bán kính \(R = \sqrt {1 + 9 - 5} = \sqrt 5 ,d:x + 2y - m = 0\).
\(d\) là tiếp tuyến của \((C)\)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow d(I,d) = R \Leftrightarrow \frac{{| - 1 + 6 - m|}}{{\sqrt {1 + 4} }} = \sqrt 5 \Leftrightarrow |m - 5| = 5\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m - 5 = - 5}\\{m - 5 = 5}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m = 0 \Rightarrow d:x + 2y = 0}\\{m = 10 \Rightarrow d:x + 2y - 10 = 0}\end{array}} \right.} \right.\end{array}\)
\((E):\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\left( {{a^2} = {b^2} + {c^2};a,b,c > 0} \right)\). Gọi \({F_1}( - c;0) \Rightarrow {F_2}(c;0)\).
Hai đỉnh trên trục nhỏ \({B_1}(0; - b),{B_2}(0;b)\). Ta có hệ:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{b = 2c\frac{{\sqrt 3 }}{2}}\\{2(2a + 2b) = 12(2 + \sqrt 3 ) \Leftrightarrow }\\{{c^2} = {a^2} - {b^2}}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{a = 6}\\{b = 3\sqrt 3 }\\{c = 3}\end{array} \Rightarrow (E):\frac{{{x^2}}}{{36}} + \frac{{{y^2}}}{{27}} = 1.} \right.} \right.\)
Giả sử hypebol \((H)\) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\) với \(a > 0,b > 0\).
Do \({A_2}(4;0)\) thuộc \((H)\) nên \(\frac{{{4^2}}}{{{a^2}}} - \frac{{{0^2}}}{{{b^2}}} = 1\), suy ra \(a = 4\).
Mà \({F_2}(6;0)\) là tiêu điểm của \((H)\) nên \(c = 6\).
Suy ra \({b^2} = {c^2} - {a^2} = 36 - 16 = 20\).
Vậy hypebol \((H)\) có phương trình chính tắc là \(\frac{{{x^2}}}{{16}} - \frac{{{y^2}}}{{20}} = 1\).
\(M \in (E)\). Ta có \(M{F_1} = 2 + \frac{{\sqrt 3 }}{2}x,M{F_2} = 2 - \frac{{\sqrt 3 }}{2}x\).
\(\begin{array}{l}{\rm{ V\`i }}M \in (E){\rm{ n\^e n }}x = \pm \frac{{\sqrt {32} }}{3} \Rightarrow y = \pm \frac{1}{3}{\rm{. }}\\ \Rightarrow {M_1}\left( {\frac{{\sqrt {32} }}{3};\frac{1}{3}} \right),{M_2}\left( {\frac{{\sqrt {32} }}{3}; - \frac{1}{3}} \right),{M_3}\left( { - \frac{{\sqrt {32} }}{3}; - \frac{1}{3}} \right),{M_4}\left( { - \frac{{\sqrt {32} }}{3}; - \frac{1}{3}} \right){\rm{. }}\end{array}\)
Mái vòm của một đường hầm có hình bán elip. Chiều rộng của đường hầm là \(10\;m\), điểm cao nhất của mái vòm là \(3\;m\). Gọi \(h\) là chiều cao của mái vòm tại điểm cách tâm của đường hầm \(2\;m\). Tính \(h\)?
Phương trình của elip là \(\frac{{{x^2}}}{{{5^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{3^2}}} = 1\),
Khi đó: \(\frac{{{2^2}}}{{{5^2}}} + \frac{{{h^2}}}{{{3^2}}} = 1 \Rightarrow h = \frac{{3\sqrt {21} }}{5}\)
