12 Bài tập Cách tính bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Ta áp dụng công thức \(\frac{a}{{\sin A}} = 2R\)

\( \Rightarrow R = \frac{a}{{2\sin A}} = \frac{{BC}}{{2\sin A}} = \frac{8}{{2\sin 30^\circ }} = \frac{8}{{2.\frac{1}{2}}} = 8\).

Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là R = 8.

Hướng dẫn giải:

Theo địn lí côsin ta có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2.AB.AC.\cos A\)

Thay số: \(B{C^2} = {6^2} + {8^2} - 2.6.8.\cos 60^\circ = 52\)

\( \Rightarrow BC = \sqrt {52} \).

Do đó ta có nửa chu vi tam giác ABC là:

\(p = \frac{1}{2}\left( {AB + AC + BC} \right) = \frac{1}{2}\left( {6 + 8 + \sqrt {52} } \right) = 7 + \sqrt {13} \).

Diện tích tam giác ABC là:

\(S = \sqrt {p\left( {p - AB} \right)\left( {p - AC} \right)\left( {p - BC} \right)} = 12\sqrt 3 \).

Mặt khác \(S = p.r \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{12\sqrt 3 }}{{7 + \sqrt {13} }} \approx 1,96\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có \(p = \frac{1}{2}\left( {a + b + c} \right) = \frac{1}{2}\left( {20 + 15 + 9} \right) = 22\).

Do đó diện tích tam giác ABC là:

\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = \sqrt {22.\left( {22 - 20} \right).\left( {22 - 15} \right).\left( {22 - 9} \right)} = 2\sqrt {1001} \).

Lại có \(S = p.r \Rightarrow r = \frac{S}{p} = \frac{{2\sqrt {1001} }}{{22}} \approx 5,75\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Tam giác ABC có: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.\cos A\)

Thay số: \(B{C^2} = {4^2} + {8^2} - 2.4.8.\cos 30^\circ = 80 - 32\sqrt 3 \)

Do đó: BC ≈ 5.

Ta có: \(\frac{{BC}}{{\sin A}} = 2R\)\( \Rightarrow R = \frac{{BC}}{{2\sin A}} \approx \frac{5}{{2.\sin 30^\circ }} = 5\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Nửa chu vi tam giác ABC là: \(p = \frac{1}{2}\left( {a + b + c} \right) = \frac{1}{2}\left( {21 + 17 + 10} \right) = 24\).

Do đó diện tích tam giác ABC bằng:

\(S = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)} = 84\)

Mặt khác \(S = \frac{{abc}}{{4R}} \Rightarrow R = \frac{{abc}}{{4S}} = \frac{{21.17.10}}{{4.84}} = 10,625\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Theo định lí côsin ta có: \[E{F^2} = D{E^2} + D{F^2} - 2.DF.DF\]

\( \Rightarrow \)\(E{F^2} = {5^2} + {8^2} - 2.5.8.\cos 50^\circ \approx 37,58\)

\( \Rightarrow EF \approx 6,13\).

Ta có \(p = \frac{1}{2}\left( {DE + DF + EF} \right) \approx \frac{1}{2}\left( {5 + 8 + 6,13} \right) = 9,565\).

Do đó diện tích tam giác ABC là: \(S = \sqrt {p\left( {p - DE} \right)\left( {p - DF} \right)\left( {p - EF} \right)} \approx 15,32\).

Lại có \(S = p.r \Rightarrow r = \frac{S}{p} \approx \frac{{15,32}}{{9,565}} \approx 1,6\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Ta có: \(\frac{a}{{\sin A}}\) = 2R \( \Rightarrow R = \frac{a}{{2\sin A}} = \frac{{14}}{{2\sin 60^\circ }} = \frac{{14\sqrt 3 }}{3}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D.

Cách 1: R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều cạnh a.

Do đó ta có: \(R = \frac{a}{{2\sin 60^\circ }} = \frac{a}{{\sqrt 3 }} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Cách 2: Độ dài đường trung tuyến của tam giác đều cạnh a là: \(\frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Trong tam giác đều tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác là giao của ba đường trung trực, đồng thời là giao của ba đường trung tuyến. Do đó:

\(R = \frac{2}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Nửa chu vi của tam giác là p = \(\frac{{a + a + a}}{2} = \frac{{3a}}{2}\).

Diện tích của tam giác là

S = \(\sqrt {p{{\left( {p - a} \right)}^3}} = \sqrt {\frac{{3a}}{2}{{\left( {\frac{{3a}}{2} - a} \right)}^3}} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Lại có: S = pr

Suy ra: r = \(\frac{S}{p} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}:\frac{{3a}}{2} = \frac{{a\sqrt 3 }}{6}\).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C.

Từ\(\frac{{AB}}{{AC}} = \frac{3}{4}\)\( \Leftrightarrow \frac{{AB}}{3} = \frac{{AC}}{4}\).

Đặt \(\frac{{AB}}{3} = \frac{{AC}}{4} = k\), k > 0 ⇒ AB = 3k; AC = 4k

Ta có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}}\)\( \Leftrightarrow \frac{1}{{{{4,8}^2}}} = \frac{1}{{9{k^2}}} + \frac{1}{{16{k^2}}}\)⇒ k = 2.

Do đó: AB = 6; AC = 8 ⇒ BC = 10 (sử dụng định lí Pythagore).

Trong tam giác vuông bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng nửa cạnh huyền.

Vậy R = \(\frac{{BC}}{2} = \frac{{10}}{2}\)= 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A.

Tam giác ABC vuông cân tại A nên AB = AC = 2a.

Áp dụng định lí Pythagore ta tính được: BC = \(\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} \)= 2a\(\sqrt 2 \).

Diện tích tam giác ABC là: S = \(\frac{1}{2}\)AB.AC = 2a².

Nửa chu vi tam giác ABC là: p = \(\frac{1}{2}\)(AB + AC + BC) = 2a + a\(\sqrt 2 \).

Mặt khác: S = p.r \( \Rightarrow \)r = \(\frac{S}{p} = \frac{{2{a^2}}}{{2a + a\sqrt 2 }}\)= 2a – a\(\sqrt 2 \).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B.

Không mất tính tổng quát, do tam giác ABC cân tại A, ta giả sử AB = AC = a.

Do đó: BC = \(\sqrt {A{B^2} + A{C^2}} \)= a\(\sqrt 2 \).

Trong tam giác vuông bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác bằng nửa cạnh huyền.

Nên R = \(\frac{{BC}}{2} = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Diện tích tam giác ABC là: S = \(\frac{1}{2}\)AB.AC = \(\frac{{{a^2}}}{2}\).

Nửa chu vi tam giác ABC là: p = \(\frac{1}{2}\)(AB + AC + BC) = a + \(\frac{{a\sqrt 2 }}{2}\).

Mặt khác: S = p.r \( \Rightarrow \)r = \(\frac{S}{p} = \frac{{\frac{{{a^2}}}{2}}}{{a + \frac{{a\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{2a - a\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy \(\frac{R}{r}\)= \(\frac{{\frac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\frac{{2a - a\sqrt 2 }}{2}}} = 1 + \sqrt 2 \).