Bài tập Giải phương trình tích hoặc phương trình đưa được về dạng phương trình tích lớp 9 (có lời giải)
20 câu hỏi
Phương trình (5x – 7)(2x – 6) = 0 có nghiệm là
x = 3 hoặc x = \(\frac{7}{5}\).
x = 3 và x = \(\frac{7}{5}\).
x = 3.
x = \(\frac{7}{5}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: (5x – 7)(2x – 6) = 0
TH1: 5x – 7 = 0 khi x = \(\frac{7}{5}\).
TH2: 2x – 6 = 0 khi x = 3.
Vậy nghiệm của phương trình là x = 3 hoặc x = \(\frac{7}{5}\).
Nghiệm của phương trình (x2 + x + 1)(6 – 2x) = 0 là
x = 3.
x = −3.
x = 3 và x = \(\frac{1}{2}\).
x = −3 hoặc x = \(\frac{1}{2}\).
Đáp án đúng là: A
Ta có: (x2 + x + 1)(6 – 2x) = 0
TH1: 6 – 2x = 0 khi x = 3.
TH2: x2 + x + 1 = 0 hay \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2}\) + \(\frac{3}{4}\) = 0
(vô lí do \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2}\) + \(\frac{3}{4}\) ≥ \(\frac{3}{4}\) với mọi x).
Vậy nghiệm của phương trình là x = 3.
Tổng các nghiệm của phương trình (x – 5)(3 – 2x)(3x + 4) = 0 là
\(\frac{3}{2}\).
\( - \frac{4}{3}\).
5.
\(\frac{{31}}{6}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: (x – 5)(3 – 2x)(3x + 4) = 0
TH1: x – 5 = 0 khi x = 5.
TH2: 3 – 2x = 0 khi x = \(\frac{3}{2}\).
TH3: 3x + 4 = 0 khi x = \( - \frac{4}{3}\).
Suy ra tổng các nghiệm của phương trình là: 5 + \(\frac{3}{2}\) + \(\left( { - \frac{4}{3}} \right)\) = \(\frac{{31}}{6}\).
Nghiệm của phương trình (x + 2)\(\left( {\frac{{x + 5}}{2} - \frac{{3 - 2x}}{4}} \right)\) = 0 là
x = 2 và x = \( - \frac{7}{4}\).
x = 2 hoặc x = \(\frac{7}{4}\).
x = −2 hoặc x = \( - \frac{7}{4}\).
x = −2 và x = \( - \frac{7}{4}\).
Đáp án đúng là: C
Ta có: (x + 2)\(\left( {\frac{{x + 5}}{2} - \frac{{3 - 2x}}{4}} \right)\) = 0
TH1: x + 2 = 0 khi x = −2.
TH2: \(\frac{{x + 5}}{2} - \frac{{3 - 2x}}{4}\) = 0 hay \(\frac{{2\left( {x + 5} \right)}}{4} - \frac{{3 - 2x}}{4} = 0\) suy ra 2(x + 5) – 3 + 2x = 0
Do đó, 2x + 10 – 3 + 2x = 0 hay 4x + 7 = 0 khi x = \( - \frac{7}{4}\).
Vậy nghiệm của phương trình là x = −2 hoặc x = \( - \frac{7}{4}\).
Phương trình (2x2 + 3)\(\left( {\frac{{x + 3}}{2} - \frac{{x - 1}}{3} - \frac{{x + 5}}{6}} \right)\) = 0 có nghiệm là
x = \( - \frac{3}{2}\).
x = 16.
Phương trình vô nghiệm.
Phương trình vô số nghiệm.
Đáp án đúng là: C
Ta có: (2x2 + 3)\(\left( {\frac{{x + 3}}{2} - \frac{{x - 1}}{3} - \frac{{x + 5}}{6}} \right)\) = 0
TH1: 2x2 + 3 = 0
Nhận thấy 2x2 + 3 ≥ 3 do đó 2x2 + 3 = 0 không có giá trị thỏa mãn.
TH2: \(\frac{{x + 3}}{2} - \frac{{x - 1}}{3} - \frac{{x + 5}}{6}\) = 0 hay \(\frac{{3\left( {x + 3} \right)}}{6} - \frac{{2\left( {x - 1} \right)}}{6} - \frac{{x + 5}}{6}\) = 0
Suy ra 3(x + 3) – 2(x – 1) – x – 5 = 0 hay 3x + 9 – 2x + 2 – x – 5 = 0
Do đó, 0x + 6 = 0 suy ra 0x = −16 (vô lí).
Vậy phương trình vô nghiệm.
Nghiệm của phương trình (x + 2)(3 – 4x) = x2 + 4x + 4 là
x = \(\frac{1}{5}\).
x = −2
x = 2 hoặc x = \(\frac{1}{5}\).
x = −2 hoặc x = \(\frac{1}{5}\).
Đáp án đúng là: D
Ta có: (x + 2)(3 – 4x) = x2 + 4x + 4
(x + 2)(3 – 4x) = (x + 2)2
(x + 2)(3 – 4x) – (x + 2)2 = 0
(x + 2)(3 – 4x – x – 2) = 0
(x + 2)(1 – 5x) = 0
TH1: x + 2 = 0 khi x = −2.
TH2: 1 – 5x = 0 khi x = \(\frac{1}{5}\).
Vậy x = −2 hoặc x = \(\frac{1}{5}\) là nghiệm của phương trình.
Tổng các nghiệm của phương trình (x – 2)2 – (2x + 3)2 = 0 là
\( - \frac{{14}}{3}\).
\( - \frac{{16}}{3}\).
−3.
\( - \frac{1}{3}\).
Đáp án đúng là: B
Ta có: (x – 2)2 – (2x + 3)2 = 0
(x – 2 – 2x – 3)(x – 2 + 2x + 3) = 0
(−x – 5)(3x + 1) = 0
TH1: −x – 5 = 0 khi x = −5.
TH2: 3x + 1 = 0 khi x = \( - \frac{1}{3}\).
Vậy nghiệm của phương trình là x = −5 hoặc x = \( - \frac{1}{3}\).
Do đó, tổng các nghiệm của phương trình là −5 + \(\left( { - \frac{1}{3}} \right)\) = \( - \frac{{16}}{3}\).
Tích các nghiệm của phương trình (x2 – 5x)2 + 10(x2 – 5x) + 24 = 0 là
12.
24.
−24.
−10.
Đáp án đúng là: C
Ta có: (x2 – 5x)2 + 10(x2 – 5x) + 24 = 0
Đặt t = x2 – 5x, ta có phương trình:
t2 + 10t + 24 = 0
t2 + 4t + 6t + 24 = 0
t(t + 4) + 6(t + 4) = 0
(t + 4)(t + 6) = 0
TH1: t + 4 = 0 khi t = −4.
TH2: t + 6 = 0 khi t = −6.
• Với t = −4 thì x2 – 5x + 4 = 0 hay (x – 1)(x – 4) = 0
Do đó x – 1 = 0 hoặc x – 4 = 0. Suy ra x = 1 hoặc x = 4 (1)
• Với t = −6 thì x2 – 5x – 6 = 0 hay (x + 1)(x – 6) = 0.
Do đó x + 1 = 0 hoặc x – 6 = 0. Suy ra x = −1 hoặc x = 6 (2).
Vậy nghiệm của phương trình là {1; 4; −1; 6}.
Suy ra tích các nghiệm của phương trình là 1.4.(−1).6 = −24.
Nghiệm của phương trình x4 + 2x3 + 5x2 + 4x – 12 = 0 là
x = 1 hoặc x = −2.
x = −2.
x = 1.
Phương trình có vô số nghiệm.
Đáp án đúng là: A
Ta có: x4 + 2x3 + 5x2 + 4x – 12 = 0
x4 – x3 + 3x3 – 3x2 + 8x2 – 8x + 12x – 12 = 0
x3(x – 1) + 3x2 (x – 1) + 8x(x – 1) + 12(x – 1) = 0
(x – 1)(x3 + 3x2 + 8x + 12) = 0
(x – 1)(x3 +2x2 + x2 + 2x + 6x + 12) = 0
(x – 1)[x2(x + 2) + x(x + 2) + 6(x + 2)] = 0
(x – 1)(x + 2)(x2 + x + 6) = 0
TH1: x – 1 = 0 khi x = 1.
TH2: x + 2 = 0 khi x = −2.
TH3: x2 + x + 6 = 0 hay \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{23}}{4}\) = 0.
Nhận thấy \({\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{23}}{4}\) > 0 với mọi x ∈ ℝ.
Do đó x2 + x + 6 = 0 không có giá trị x thỏa mãn.
Vậy nghiệm của phương trình là x = 1 hoặc x = −2.
Số nghiệm của phương trình (x + 2)(x + 3)(x – 5)(x – 6) = 180 là
1.
2.
3.
4.
Đáp án đúng là: D
Ta có: (x + 2)(x + 3)(x – 5)(x – 6) = 180
(x + 2)(x – 5)(x + 3)(x – 6) = 180
(x2 – 3x – 10)(x2 – 3x – 18) = 180
Đặt x2 – 3x – 10 = t, ta có phương trình mới là:
t(t – 8) – 180 = 0
t2 – 8t – 180 = 0
t2 + 10t – 18t – 180 = 0
t(t + 10) – 18(t + 10) = 0
(t + 10)(t – 18) = 0
TH1: t + 10 = 0 khi t = −10.
TH2: t – 18 = 0 khi t = 18.
• Với t = −10 suy ra x2 – 3x – 10 = −10 hay x2 – 3x = 0.
Suy ra x(x – 3) = 0 khi x = 0 hoặc x = 3 (1)
• Với t = 18 suy ra x2 – 3x – 10 = 18 hay x2 – 3x – 28 = 0
Suy ra (x – 4)(x – 7) = 0 khi x = 4 hoặc x = 7 (2)
Từ (1) và (2) ta kết luận được nghiệm của phương trình là x = {0; 3; 4; 7}.
Vậy phương trình có 4 nghiệm thỏa mãn.
Nghiệm của phương trình (1) là nghiệm của các phương trình x – 12 = 0; 20 – 5x = 0 và x + 12 = 1.
Phương trình x – 12 = 0 có nghiệm là x = 12.
Nghiệm của phương trình 20 – 5x = 0 là số nhỏ hơn 0.
Tích các nghiệm của phương trình (1) bằng 576.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Sai.
Nghiệm của phương trình (1) là nghiệm của các phương trình x – 12 = 0; 20 – 5x = 0 và x + 12 = 0. Vậy a) sai.
b) Đúng.
Vì x – 12 = 0 nên x = 12. Vậy phương trình x – 12 = 0 có nghiệm là x = 12.
c) Sai.
Vì 20 – 5x = 0 suy ra 5x = 20 nên x = 4.
Vậy nghiệm của phương trình 20 – 5x = 0 là số lớn hơn 0.
d) Sai.
Với x + 12 = 0 thì x = –12.
Kết hợp với b) và c) ta có: Phương trình đã cho có ba nghiệm là x = 12; x = 4; x = –12.
Vậy tích các nghiệm của phương trình đã cho là 12.4.(–12) = –576.
Cho hai phương trình: x(x – 5) = 0 (1) và (2x – 10)(x – 17) = 0 (2).
Khi đó:
Nghiệm của hai phương trình 2x – 10 = 0 và x – 17 = 0 là nghiệm của phương trình (2).
Phương trình (1) có duy nhất một nghiệm.
Phương trình (2) có hai nghiệm đều lớn hơn 0.
Hai phương trình (1) và (2) có một nghiệm chung.
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng.
Vì (2x – 10)(x – 17) = 0 nên nghiệm của hai phương trình 2x – 10 = 0 và x – 17 = 0 là nghiệm của phương trình (2). Vậy a) đúng.
b) Sai.
Vì x(x – 5) = 0 nên x = 0 hoặc x – 5 = 0. Suy ra x = 0 hoặc x = 5.
Do đó, phương trình (1) có hai nghiệm là x = 0 và x = 5. Vậy b) sai.
c) Đúng.
Theo a) ta giải hai phương trình sau:
· 2x – 10 = 0 hay 2x = 10 nên x = 5.
· x – 17 = 0 nên x = 17.
Vậy phương trình (2) có hai nghiệm đều lớn hơn 0.
d) Đúng.
Theo b), phương trình (1) có hai nghiệm là x = 0 và x = 5.
Theo c) phương trình (2) có nghiệm x = 5 và x = 17.
Vậy phương trình (1) và (2) có một nghiệm chung là x = 5.
Một hình chữ nhật có chu vi bằng 20 cm và diện tích bằng 24 cm2. Gọi x (cm, 0 < x < 10) là chiều rộng của hình chữ nhật đó. Khi đó:
Chiều dài của hình chữ nhật là 10 – x (cm).
Diện tích hình chữ nhật là x(10 – x) (cm2).
Ta thu được phương trình là: x(10 – x) = 24.
Hình chữ nhật đã cho có chiều dài hơn chiều rộng 3 cm.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Nửa chu vi hình chữ nhật là: 20 : 2 = 10 (cm).
Chiều dài của hình chữ nhật là 10 – x (cm).
b) Đúng.
Diện tích hình chữ nhật là x(10 – x) (cm2).
c) Đúng.
Vì diện tích hình chữ nhật bằng 24 cm2 nên ta có phương trình x(10 – x) = 24.
d) Sai.
Theo phần c) ta có: x(10 – x) = 24
x2 – 10x + 24 = 0
x2 – 4x – 6x + 24 = 0
x(x – 4) – 6(x – 4) = 0
(x – 4)(x – 6) = 0.
Ta giải hai phương trình sau:
· x – 4 = 0 nên x = 4 (thỏa mãn).
· x – 6 = 0 nên x = 6 (thỏa mãn).
Với x = 4: Chiều rộng hình chữ nhật là 4 cm và chiều dài hình chữ nhật là 6 (cm) (thỏa mãn). Khi đó, chiều dài hơn chiều rộng 2 cm.
Với x = 6: Chiều rộng hình chữ nhật là 6 cm và chiều dài hình chữ nhật là 2 (cm) (loại).
Vậy hình chữ nhật đã cho có chiều dài hơn chiều rộng 2 cm.
Cho phương trình (x – 2)2 – 4 + x2 = (2 – x)(x + 5) (1) và biểu thức P = a2 + 4a với a là nghiệm lớn nhất của phương trình (1). Khi đó:
Phương trình (1) đưa được về phương trình (x – 2)(3x + 5) = 0.
Nghiệm của phương trình (1) là nghiệm của phương trình x – 2 = 0 và 3x + 5 = 0.
Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
Giá trị biểu thức P = a2 + 4a là số lẻ.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
(x – 2)2 – 4 + x2 = (2 – x)(x + 5)
(x – 2)2 + (x – 2)(x + 2) + (x – 2)(x + 5) = 0
(x – 2)(x – 2 + x + 2 + x + 5) = 0
(x – 2)(3x + 5) = 0.
Vậy phương trình (1) đưa được về phương trình (x – 2)(3x + 5) = 0.
b) Đúng.
Vì (x – 2)(3x + 5) = 0 nên x – 2 = 0 hoặc 3x + 5 = 0.
Vậy nghiệm của phương trình (1) là nghiệm của phương trình x – 2 = 0 và 3x + 5 = 0.
c) Đúng.
Ta giải hai phương trình sau:
· x – 2 = 0 nên x = 2.
· 3x + 5 = 0 nên x = \(\frac{{ - 5}}{3}\).
Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu.
d) Sai.
Theo phần c) ta có: x = 2 là nghiệm lớn nhất của phương trình (1) nên a = 2.
Thay a = 2 vào P ta có: P = a2 + 4a = 22 + 4.2 = 12.
Vậy giá trị biểu thức P là số chẵn với a là nghiệm lớn nhất của phương trình (1).
Cho phương trình (2x – 7)(x + 3) = (x + 3)(x – 3) (1). Khi đó:
Phương trình (1) đưa về dạng (x + 3)(x – 4) = 0.
Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
Phương trình (1) và phương trình x2 + x – 12 = 0 có cùng tập nghiệm.
Giá trị của biểu thức P = 3x2 – 4x – 7 tại x là nghiệm lớn nhất của phương trình (1) là một số chính phương.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
Ta có: (2x – 7)(x + 3) = (x + 3)(x – 3)
(2x – 7)(x + 3) – (x + 3)(x – 3) = 0
(x + 3)(2x – 7 – x + 3) = 0
(x + 3)(x – 4) = 0.
Do đó, phương trình (1) đưa về dạng (x + 3)(x – 4) = 0.
b) Đúng.
Ta có (x + 3)(x – 4) = 0 nên x + 3 = 0 hoặc x – 4 = 0
Do đó, x = −3 hoặc x = 4.
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu.
c) Sai.
Ta có x2 + x – 12 = 0 hay \({{\rm{x}}^{\rm{2}}} + 2 \cdot \frac{1}{2}{\rm{x}} + \frac{1}{4} - \frac{1}{4} + 12 = {\left( {{\rm{x}} + \frac{1}{2}} \right)^{\rm{2}}} + \frac{{47}}{4} = 0\) (vô lí)
Do đó, phương trình x2 + x – 12 = 0 vô nghiệm.
Vậy x2 + x – 12 = 0 không có cùng tập nghiệm với phương trình (1).
d) Đúng.
Nghiệm lớn nhất của phương trình (1) là x = 4.
Thay x = 4 vào P được P = 3.42 – 4.4 – 7 = 25.
Do đó, giá trị của biểu thức P = 3x2 – 4x – 7 tại x là nghiệm lớn nhất của phương trình (1) là một số chính phương.
Cho hai phương trình \(\left( {\frac{1}{4}{\rm{x}} - 5} \right)\left( { - {\rm{x}} + 6} \right)\)= 0 (1) và (9x – 27)(–x + 2) = 0 (2).
Gọi a và b lần lượt là nghiệm lớn nhất của phương trình (1) và nghiệm nhỏ nhất của phương trình (2). Tính a – b.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 18
Vì \(\left( {\frac{1}{4}{\rm{x}} - 5} \right)\left( { - {\rm{x}} + 6} \right)\) = 0 nên \(\frac{1}{4}\)x – 5 = 0 hoặc –x + 6 = 0.
·\(\frac{1}{4}\)x – 5 = 0 hay \(\frac{1}{4}\)x = 5 nên x = 20.
· –x + 6 = 0 nên x = 6.
Do đó, x = 20 là nghiệm lớn nhất của phương trình (1) nên a = 20.
Vì (9x – 27)(–x + 2) = 0 nên 9x – 27 = 0 hoặc –x + 2 = 0.
· 9x – 27 = 0 hay 9x = 27 nên x = 3.
· –x + 2 = 0 nên x = 2.
Do đó, x = 2 là nghiệm nhỏ nhất của phương trình (2) nên b = 2.
Vậy a – b = 20 – 2 = 18.
Phương trình x4 + 2x3 + x + 2 = 0 có tất cả bao nhiêu nghiệm?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 2
x4 + 2x3 + x + 2 = 0
x3(x + 2) + (x + 2) = 0
(x + 2)(x3 + 1) = 0
(x + 2)(x + 1)(x2 – x + 1) = 0.
Vì x2 – x + 1 = \({\left( {{\rm{x}} - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\) với mọi x \( \in \mathbb{R}\) nên ta giải hai phương trình sau:
· x + 2 = 0 nên x = –2.
· x + 1 = 0 nên x = –1.
Vậy phương trình đã cho có tất cả 2 nghiệm.
Phương trình 3(x + 3)2 – x3 – 27 = 0 có bao nhiêu nghiệm nguyên dương?
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 1
3(x + 3)2 – x3 – 27 = 0
3(x + 3)2 – (x + 3)(x2 – 3x + 9) = 0
(x + 3)[3(x + 3) – x2 + 3x – 9] = 0
(x + 3)(–x2 + 6x) = 0
–x(x + 3)(x – 6) = 0.
Ta giải ba phương trình sau:
· –x = 0 nên x = 0.
· x + 3 = 0 nên x = –3.
· x – 6 = 0 nên x = 6.
Vậy phương trình đã cho có một nghiệm nguyên dương là x = 6.
Gọi a là nghiệm nhỏ nhất của phương trình 4x2 – 8x + 3 = 0.
Tính giá trị biểu thức P = 10a2 – 5a.
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 0
4x2 – 8x + 3 = 0
4x2 – 2x – 6x + 3 = 0
2x(2x – 1) – 3(2x – 1) = 0
(2x – 1)(2x – 3) = 0.
Ta giải hai phương trình sau:
· 2x – 1 = 0 hay 2x = 1 nên x = \(\frac{1}{2}\).
· 2x – 3 = 0 hay 2x = 3 nên x = \(\frac{3}{2}\).
Vì \(\frac{3}{2} > \frac{1}{2}\) nên a = \(\frac{1}{2}\).
Thay a = \(\frac{1}{2}\) vào P ta có: P = \(10 \cdot {\left( {\frac{1}{2}} \right)^2} - 5 \cdot \frac{1}{2}\)= 0.
Vậy P = 0.
Tìm nghiệm tự nhiên lớn nhất của phương trình:
\(\left( {{\rm{x}} - \sqrt {92} } \right)\left( {\frac{2}{5}{\rm{x}} - 2} \right)\left( {48 - 8{\rm{x}}} \right) = 0.\)
Hướng dẫn giải:
Đáp án: 6
Vì \(\left( {{\rm{x}} - \sqrt {92} } \right)\left( {\frac{2}{5}{\rm{x}} - 2} \right)\left( {48 - 8{\rm{x}}} \right) = 0\) nên x – \(\sqrt 2 \) = 0 hặc \(\frac{2}{5}\)x – 2 = 0 hoặc 48 – 8x = 0.
· x – \(\sqrt {92} \) = 0 nên x = \(\sqrt {92} \).
·\(\frac{2}{5}\)x – 2 = 0 hay \(\frac{2}{5}\)x = 2 nên x = 5.
· 48 – 8x = 0 hay 8x = 48 nên x = 6.
Vậy nghiệm tự nhiên lớn nhất của phương trình đã cho là x = 6.
