Giải SGK Toán 9 KNTT Bài 4. Phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn có đáp án
22 câu hỏi
Trong một khu vườn hình vuông có cạnh bằng 15 m người ta làm một lối đi xung quanh vườn có bề rộng là x (m) (H.2.1). Để diện tích phần đất còn lại là 169 m2 thì bề rộng x của lối đi là bao nhiêu?
Sau bàihọcnày, chúng ta sẽgiảiquyếtđượccâuhỏitrênnhưsau:
Phầnđấtcònlạicódạnghìnhvuôngcóđộdàicạnhlà: 15 – x – x = 15 – 2x (m). Do độdàicạnhcủaphầnđấtcònlạilớnhơn 0 nên 15 – 2x > 0.
Diệntíchphầnđấtcònlạilà: (15 – 2x)2 (m2).
Theo bài, diện tích phần đất còn lại là 169 m2nên ta cóphươngtrình:
(15 – 2x)2 = 169.
Giảiphươngtrình:
(15 – 2x)2 = 169
(15 – 2x)2 – 132 = 0
(15 – 2x – 13)(15 – 2x + 13) = 0
(2 – 2x)(28 – 2x) = 0
Ta giảihaiphươngtrìnhsau:
⦁ 2 – 2x = 0 hay –2x = –2, suyra x = 1.
⦁ 28 – 2x = 0 hay –2x = –28, suyra x = 14.
Với x = 1 thìđộdàicạnhcủaphầnđấtcònlạilà 15 – 2.1 = 13 (m).
Với x = 14 thìđộdàicạnhcủaphầnđấtcònlạilà 15 – 2.14 = –13 < 0 (vôlí).
Vậyđểdiện tích phần đất còn lại là 169 m2 thì bề rộng của lối đi là 1 m.
Phân tích đa thức P(x)=(x+1)(2x – 1)+(x+1)x thành nhân tử.
P(x) = (x + 1)(2x – 1) + (x + 1)x
= (x + 1)(2x – 1 + x)
= (x + 1)(3x – 1).
VậyP(x) = (x + 1)(2x – 1) + (x + 1)x = (x + 1)(3x – 1).
Giải phương trình P(x) = 0.
P(x) = 0
(x + 1)(3x – 1) = 0
Ta giảihaiphươngtrìnhsau:
⦁ x + 1 = 0 suyra x = –1.
⦁ 3x – 1 = 0 hay 3x = 1, suyra
Vậyphươngtrìnhđãchocóhainghiệmlà x = –1 và
Giải các phương trình sau:
a) (3x + 1)(2 – 4x) = 0;
a) (3x + 1)(2 – 4x) = 0
Ta giảihaiphươngtrìnhsau:
⦁ 3x + 1 = 0 hay 3x = –1, suyra
⦁ 2 – 4x = 0 hay –4x = –2, suyra
Vậyphươngtrìnhđãchocóhainghiệmlà
và
Giải các phương trình sau: b) x2 – 3x = 2x – 6.
b) x2 – 3x = 2x – 6
(x2 – 3x) – (2x – 6) = 0
x(x – 3) – 2(x – 3) = 0
(x – 3)(x – 2) = 0
Ta giảihaiphươngtrìnhsau:
⦁ x – 3 = 0, suyra x = 3.
⦁ x – 2 = 0, suyra x = 2.
Vậyphươngtrìnhđãchocóhainghiệmlà x = 3 và x = 2.
Giải bài toán ở tình huống mở đầu.
Phầnđấtcònlạicódạnghìnhvuôngcóđộdàicạnhlà: 15 – x – x = 15 – 2x (m). Do độdàicạnhcủaphầnđấtcònlạilớnhơn 0 nên 15 – 2x > 0.
Diệntíchphầnđấtcònlạilà: (15 – 2x)2 (m2).
Theo bài, diện tích phần đất còn lại là 169 m2nên ta cóphươngtrình:
(15 – 2x)2 = 169.
Giảiphươngtrình:
(15 – 2x)2 = 169
(15 – 2x)2 – 132 = 0
(15 – 2x – 13)(15 – 2x + 13) = 0
(2 – 2x)(28 – 2x) = 0
Ta giảihaiphươngtrìnhsau:
⦁ 2 – 2x = 0 hay –2x = –2, suyra x = 1.
⦁ 28 – 2x = 0 hay –2x = –28, suyra x = 14.
Với x = 1 thìđộdàicạnhcủaphầnđấtcònlạilà 15 – 2.1 = 13 (m).
Với x = 14 thìđộdàicạnhcủaphầnđấtcònlạilà 15 – 2.14 = –13 < 0 (vôlí).
Vậyđểdiện tích phần đất còn lại là 169 m2 thì bề rộng của lối đi là 1 m.
Xétphươngtrình
Chuyển các biểu thức chứa ẩn từ vế phải sang vế trái, rồi thu gọn vế trái.
Chuyển các biểu thức chứa ẩn từ vế phải sang vế trái, ta được:
Thu gọnvếtrái ta được: x = – 1.
Xétphươngtrình
Giá trị x = –1 có là nghiệm của phương trình đã cho hay không? Vì sao?
Giá trịx = –1khônglànghiệmcủaphươngtrìnhđãchovìx = –1 làmmẫuthứccủaphânthức
bằng 0 (tứclàlàmchophânthứckhôngxácđịnh).
Xét phương trình 
Hãy thực hiện các yêu cầu sau để giải phương trình (1):
a) Tìm điều kiện xác định của phương trình (1);
a) Ta có: x – 3 ≠ 0 khi x ≠ 3.
Vậyđiềukiệnxácđịnhcủaphươngtrình (1) là x ≠ 3 và x ≠ 0.
b) Quy đồng mẫu hai vế của phương trình (1), rồi khử mẫu;
b) Quy đồng mẫu hai vế của phương trình (1), ta được:
Khửmẫu ta được: (x + 3)(x – 3) = (x + 9)x.
c) Giải phương trình vừa tìm được;
c) Giảiphươngtrình:
(x + 3)(x – 3) = (x + 9)x
x2 – 9 = x2 + 9x
x2 – 9 – x2 – 9x = 0
–9x = 9
x = –1.
d) Kết luận nghiệm của phương trình (1).
d) Giá trịx = –1 thỏamãnđiềukiệnxácđịnh x ≠ 3 và x ≠ 0 củaphươngtrình (1).
Vậyphươngtrìnhđãchocónghiệm x = –1.
Giải phương trình 
Ta có:
⦁ x – 1 ≠ 0 khi x ≠ 1.
⦁
Vớimọi x ta luôncó
nên
⦁ x3 – 1 = (x – 1)(x2 + x + 1).
Khi đó x3 – 1 ≠ 0 khi (x – 1)(x2 + x + 1) ≠ 0, hay x – 1 ≠ 0, tứclà x ≠ 1.
Vìvậy, điềukiệnxácđịnhcủaphươngtrìnhđãcholà x ≠ 1.
Quy đồngmẫucủaphươngtrình, ta được:
Khửmẫucủaphươngtrình, ta được: x2 + x + 1 – 4x = x(x – 1). (*)
Giảiphươngtrình (*):
x2 + x + 1 – 4x = x(x – 1)
x2 – 3x + 1 = x2 – x
x2 – 3x + 1 – x2 + x = 0
–2x = –1
Giá trị
thỏamãnđiềukiệnxácđịnhcủaphươngtrình.
Vậyphươngtrìnhđãchocónghiệmlà
Giảicácphươngtrìnhsau:
a) x(x–2)=0;
a) x(x–2)=0
Suy ra x = 0 hoặc x – 2 = 0
Do đó x = 0 hoặc x = 2.
Vậyphươngtrìnhđãchocónghiệm x = 0 vàx = 2.
Giảicácphươngtrìnhsau:
b) (2x+1)(3x–2) = 0.
b) (2x+1)(3x–2) = 0
Ta giảihaiphươngtrìnhsau:
⦁ 2x + 1 = 0 hay 2x = –1, suyra
⦁ 3x – 2 = 0 hay 3x = 2, suyra
Vậyphươngtrìnhđãchocónghiệm
và
Giảicácphươngtrìnhsau:
a) (x2 – 4) + x(x–2)=0;
a) (x2 – 4) + x(x–2)=0
(x – 2)(x + 2) + x(x – 2) = 0
(x – 2)(x + 2 + x) = 0
(x – 2)(2x + 2) = 0.
Ta giảihaiphươngtrìnhsau:
⦁ x – 2 = 0, suyra x = 2.
⦁ 2x + 2 = 0 hay 2x = –2, suyra x = –1.
Vậyphươngtrìnhđãchocónghiệmlàx = 2 và x = –1.
Giảicácphươngtrìnhsau:
b) (2x+1)2–9x2=0.
b) (2x+1)2–9x2=0
(2x + 1)2 – (3x)2 = 0
(2x + 1 – 3x)(2x + 1 + 3x) = 0
(–x + 1)(5x + 1) = 0.
Ta giảihaiphươngtrìnhsau:
⦁ –x + 1 = 0, suyra x = 1.
⦁ 5x + 1 = 0 hay 5x = –1, suyra
Vậyphươngtrìnhđãchocónghiệmlà x = 1 và
Giảicácphươngtrìnhsau:
a) 
a) 
Ta có:
⦁ 2x + 1 ≠ 0 khi 2x ≠ –1 hay 
⦁ x + 1 ≠ 0 khi x ≠ –1.
Vìvậy, điềukiệnxácđịnhcủaphươngtrìnhđãcholà
và x ≠ –1.
Quy đồngmẫucủaphươngtrình, ta được:
Khửmẫucủaphươngtrình, ta được: 2(x + 1) + 2x + 1 = 3. (*)
Giảiphươngtrình (*):
2(x + 1) + 2x + 1 = 3
2x + 2 + 2x + 1 = 3
4x + 3 = 3
4x = 0
x = 0.
Giá trị x = 0 thỏamãnđiềukiệncủaphươngtrìnhđãcho.
Vậyphươngtrìnhđãchocónghiệmlà x = 0.
Giảicácphươngtrìnhsau:
b) 
b) 
Ta có:
⦁ x + 1 ≠ 0, suyra x ≠ –1.
⦁
Vớimọi x ta luôncó
nên
⦁ x3 + 1 = (x + 1)(x2 – x + 1).
Khi đó x3 + 1 ≠ 0 khi (x + 1)(x2 – x + 1) ≠ 0, hay x + 1 ≠ 0, tứclà x ≠ –1.
Vìvậy, điềukiệnxácđịnhcủaphươngtrìnhđãcholà x ≠ –1.
Quy đồngmẫucủaphươngtrình, ta được:
Khửmẫucủaphươngtrình, ta được: x2 – x + 1 – x(x + 1) = 3x. (**)
Giảiphươngtrình (**):
x2 – x + 1 – x(x + 1) = 3x
x2 – x + 1 – x2 – x – 3x = 0
–5x = –1
Giá trị
thỏamãnđiềukiệnxácđịnhcủaphươngtrìnhđãcho.
Vậyphươngtrìnhđãchocónghiệmlà
Bác An cómộtmảnhđấthìnhchữnhậtvới chiều dài 14 m và chiều rộng 12 m. Bácdựđịnhxâynhàtrênmảnhđấtđóvàdànhmộtphầndiệntíchđấtđểlàmsânvườnnhư Hình 2.2. Biếtdiệntíchđấtlàmnhàlà 100 m2. Hỏi x bằng bao nhiêumét?
Chiềudàicủaphầnđấtlàmnhàlà: 14 – (x + 2) = 12 – x (m).Điềukiện x < 12.
Chiềurộngcủaphầnđấtlàmnhàlà: 12 – x (m).
Diệntíchđấtlàmnhàlà: (12 – x)2 (m2).
Theo bài, diệntíchđấtlàmnhàlà 100 m2nên ta cóphươngtrình:
(12 – x)2 = 100. (*)
Giảiphươngtrình (*):
(12 – x)2 = 100
(12 – x)2 – 102 = 0
(12 – x – 10)(12 – x + 10) = 0
(2 – x)(22 – x) = 0
Suy ra 2 – x = 0 hoặc 22 – x = 0
Do đó x = 2 hoặc x = 22.
Ta thấy x = 2 thỏamãnđiềukiện x < 12.
Vậy x = 2.
Hai ngườicùng làm chungmộtcôngviệcthìxongtrong 8 giờ. Hai ngườicùnglàmđược 4 giờthìngườithứnhấtbịđiều đilàmcôngviệckhác. Ngườithứhaitiếptụclàmviệctrong 12 giờ nữa thìxongcôngviệc. Gọi x làthờigianngườithứnhấtlàmmột mìnhxongcôngviệc (đơnvịtínhlàgiờ, x>0).
a) Hãybiểuthịtheo x:
–Khốilượngcôngviệcmàngườithứnhất làmđượctrong 1 giờ;
–Khốilượngcôngviệcmànguờithứhailàmđượctrong 1 giờ.
a) Do x làthờigianngườithứnhấtlàmmột mìnhxongcôngviệc (đơnvịtínhlàgiờ, x>0) nênkhốilượngcôngviệcmàngườithứnhấtlàmđượctrong 1 giờlà
(côngviệc).
Hai ngườicùng làm chungmộtcôngviệcthìxongtrong 8 giờnênkhốilượngcôngviệcmàhaingườilàmđượctrong 1 giờlà
(côngviệc).
Khi đó, khốilượngcôngviệcmàngườithứhailàmđượctrong 1 giờlà
(côngviệc).
b) Hãylậpphươngtrìnhtheo x vàgiảiphươngtrìnhđó. Sau đóchobiết, nếulàmmộtmìnhthì mỗingườiphảilàmtrong bao lâumớixongcôngviệcđó.
b) Hai ngườicùnglàmtrong 4 giờđượckhốilượngcôngviệclà
(côngviệc).
Ngườithứhaitiếptụclàmviệctrong 12 giờđượckhốilượngcôngviệclà
(côngviệc).
Theo bài, ta cóphươngtrình: 
Giảiphươngtrình (*):
Suy ra x = 12.
Giá trị x = 12 thỏamãnđiềukiện x > 0.
Khi đó, khốilượngcôngviệcmàngườithứhailàmđượctrong 1 giờlà 
(côngviệc).
Vậynếulàmmộtmình, đểhoànthànhcôngviệcthìngườithứnhấtcần 12 giờvàngườithứhaicần24 giờ.
