Bài tập Tìm điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu lớp 9 (có lời giải)
10 câu hỏi
Cho hai phương trình \(\frac{4}{{{x^2} - 3x + 2}} - \frac{3}{{2{x^2} - 6x + 1}} + 1 = 0\) (1) và phương trình \(\frac{1}{{{x^2} - 2x + 2}} + \frac{2}{{{x^2} - 2x + 3}} = \frac{6}{{{x^2} - 2x + 4}}\) (2). Khi đó:
Tại x = 2 thì phương trình (1) không xác định.
Tại x = 1 thì phương trình (2) xác định nhưng phương trình (1) không xác định.
Điều kiện xác định của phương trình (1) là x ≠ 2 và x ≠ 1.
Phương trình (2) có điều kiện xác định là x ∈ ℝ.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng.
a) Đúng.
Điều kiện xác định của phương trình (1) là x2 – 3x + 2 ≠ 0 và 2x2 −6x + 1 ≠ 0.
Với x2 – 3x + 2 ≠ 0 hay (x – 1)(x – 2) ≠ 0 , do đó x ≠ 1 và x ≠ 2.
Với 2x2 −6x + 1 ≠ 0 tính được \(x \ne \frac{{3 + \sqrt 7 }}{2}\) và \(x \ne \frac{{3 - \sqrt 7 }}{2}\).
Vậy điều kiện xác định của (1) là x ≠ 1; x ≠ 2; \(x \ne \frac{{3 + \sqrt 7 }}{2}\) và \(x \ne \frac{{3 - \sqrt 7 }}{2}\).
b) Đúng.
Điều kiện xác định của phương trình (2) là x2 – 2x + 2 ≠ 0, x2 – 2x + 3 ≠ 0 và x2 – 2x + 4 ≠ 0.
Với x2 – 2x + 2 ≠ 0 nhận thấy (x – 1)2 + 1 ≠ 0 (luôn đúng).
Với x2 – 2x + 3 ≠ 0 nhận thấy (x – 1)2 + 2 ≠ 0 (luôn đúng).
Với x2 – 2x + 4 ≠ 0 nhận thấy (x – 1)2 + 3 ≠ 0 (luôn đúng).
Do đó, phương trình (2) xác định với mọi x ∈ ℝ.
Từ ý a) ta nhận thấy tại x = 1 thì phương trình (2) xác định nhưng phương trình (1) không xác định.
c) Sai.
Điều kiện xác định của phương trình (1) là x ≠ 1; x ≠ 2; \(x \ne \frac{{3 + \sqrt 7 }}{2}\) và \(x \ne \frac{{3 - \sqrt 7 }}{2}\).
d) Đúng.
Từ phần b) ta chứng mình được phương trình (2) có điều kiện xác định là x ∈ ℝ.
Cho phương trình:
\(\frac{1}{{{x^2} + 5x + 6}} + \frac{1}{{{x^2} + 7x + 12}} = \frac{1}{8} - \frac{1}{{{x^2} + 9x + 20}} - \frac{1}{{{x^2} + 11x + 30}}\).
Khi đó:
Điều kiện xác định của vế trái phương trình là x ≠ −2, x ≠ −3, x ≠ −4.
Tại x = −3 thì vế phải của phương trình xác định.
Tại x = −4 thì cả vế phải và vế trái của phương trình không xác định.
Điều kiện xác định của phương trình là x ≠ −4.
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Điều kiện xác định của vế trái là x2 + 5x + 6 ≠ 0 và x2 + 7x + 12 ≠ 0.
Với x2 + 5x + 6 ≠ 0 được (x + 2)(x + 3) ≠ 0, do đó x ≠ −2 và x ≠ −3.
Với x2 + 7x + 12 ≠ 0 được (x + 3)(x + 4) ≠ 0, do đó x ≠ −3, x ≠ −4.
Vậy tập xác định của vế trái là x ≠ −2, x ≠ −3, x ≠ −4.
b) Đúng.
Điều kiện xác định của vế phải là x2 + 9x + 20 ≠ 0 và x2 + 11x + 30 ≠ 0.
Với x2 + 9x + 20 ≠ 0 được (x + 4)(x + 5) ≠ 0, do đó x ≠ −4, x ≠ −5.
Với x2 + 11x + 30 ≠ 0 được (x + 5)(x + 6) ≠ 0, do đó x ≠ −5, x ≠ −6.
Vậy tập xác định của vế phải là x ≠ −4, x ≠ −5, x ≠ −6.
Do đó, với x = −3 thì vế phải phương trình xác định.
c) Đúng.
Nhận thấy điều kiện xác định của vế phải là x ≠ −4, x ≠ −5, x ≠ −6, điều kiện xác định của vế trái là x ≠ −2, x ≠ −3, x ≠ −4.
Do đó, tại x ≠ −4 thì cả vế trái và vế phải đều không xác định.
d) Sai.
Điều kiện xác định của phương trình là x ≠ −2, x ≠ −3, x ≠ −4, x ≠ −5, x ≠ −6.
Tại x = 2 phương trình (1) xác định.
Tại x = −2 phương trình (1) không xác định.
Có hai giá trị của x để phương trình (1) không xác định.
Phương trình (1) có cùng điều kiện xác định với phương trình:\(\frac{2}{{x + 2}} + \frac{5}{{{x^2} + 4x + 4}} = \frac{{ - 2}}{{{x^2} + 5x + 6}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng.
Thay x = 2 vào các mẫu thức của phương trình, nhận thấy:
2 + 2 = 4 ≠ 0.
23 + 8 = 16 ≠ 0.
22 – 2.2 + 4 = 4 ≠ 0
Do đó, tại x = 2, phương trình (1) xác định.
b) Đúng.
Điều kiện xác định của phương trình là:
x + 2 ≠ 0 nên x ≠ −2.
x3 + 8 ≠ 0 nên x ≠ −2.
x2 – 2x + 4 ≠ 0 hay (x – 1)2 + 3 ≠ 0 (luôn đúng)
Do đó, điều kiện xác định của phương trình là x ≠ −2 hay tại x = −2 thì phương trình (1) không xác định.
c) Sai.
Từ b) nhận thấy chỉ có một giá trị của x để phương trình không xác định.
d) Sai.
Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{2}{{x + 2}} + \frac{5}{{{x^2} + 4x + 4}} = \frac{{ - 2}}{{{x^2} + 5x + 6}}\) là:
x + 2 ≠ 0 hay x ≠ −2.
x2 + 4x + 4 ≠ 0 hay (x + 2)2 ≠ 0 nên x ≠ −2.
x2 + 5x + 6 ≠ 0 hay (x + 2)(x + 3) ≠ 0 suy ra x ≠ −2 và x ≠ −3.
Vậy điều kiện xác định của phương trình \(\frac{2}{{x + 2}} + \frac{5}{{{x^2} + 4x + 4}} = \frac{{ - 2}}{{{x^2} + 5x + 6}}\) là x ≠ −2 và x ≠ −3.
Do đó, hai phương trình không có cùng điều kiện xác định.
Điều kiện xác định của phương trình (1) là x ≠ 2a và x ≠ −2a.
Với a = 2 thì phương trình (1) không xác định tại x = 4.
Phương trình (1) xác định tại x = −4 khi a = −2.
Với a = 1 thì phương trình (1) có cùng điều kiện xác định với phương trình \(\frac{2}{{{x^2} - 4}} - \frac{{x - 1}}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{x - 4}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = 0\)
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Sai. c) Sai. d) Sai.
a) Đúng.
Điều kiện xác định của phương trình (1) là:
x + 2a ≠ 0 nên x ≠ −2a.
x – 2a ≠ 0 nên x ≠ 2a.
(x + 2a)(x – 2a) ≠ 0 nên x ≠ −2a và x ≠ 2a.
Do đó, điều kiện xác định của phương trình (1) là x ≠ 2a và x ≠ −2a.
b) Sai.
Với a = 2 thì x ≠ 4 và x ≠ −4.
Do đó, với a = 2 thì phương trình không xác định tại x = 4 và x = −4.
c) Sai.
Phương trình (1) xác định tại x = −4 khi 2a ≠ −4 và 2a ≠ 4.
Suy ra a ≠ 2 và a ≠ −2.
d) Sai.
Với a = 1, ta có: \[\frac{x}{{x + 2}} - \frac{{2 + x}}{{x - 2}} = \frac{8}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}}\].
Khi đó, điều kiện xác định của phương trình là x ≠ 2 và x ≠ −2.
Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{2}{{{x^2} - 4}} - \frac{{x - 1}}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{x - 4}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = 0\) là x ≠ 2; x ≠ −2 và x ≠ 0.
Do đó, hai phương trình không có cùng điều kiện xác định.
Tại x = 1 phương trình (1) xác định.
Tại x = −1 phương trình (1) không xác định.
Có hai giá trị của x để phương trình (1) không xác định.
Phương trình (1) có cùng điều kiện xác định với phương trình: \(\frac{1}{{x + 1}} - \frac{6}{{x - 3}} = \frac{5}{{ - 3 + 4x - {x^2}}}\).
Hướng dẫn giải
Đáp án đúng là: a) Đúng. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Đúng.
Tại x = 1 thì các mẫu thức của phương trình:
12 + 4.1 + 3 = 8 ≠ 0
1 + 3 = 4 ≠ 0
2.1 + 2 = 4 ≠ 0
Do đó, tạo x = 1 thì phương trình xác định.
b) Đúng.
Điều kiện xác định của phương trình là:
x2 + 4x + 3 ≠ 0 hay (x + 1)(x + 3) ≠ 0 nên x ≠ −1 và x ≠ −3.
x + 3 ≠ 0 hay x ≠ −3.
2x + 2 ≠ 0 hay x ≠ −1.
Do đó, tại x = −1 phương trình (1) không xác định.
c) Đúng.
Từ b) nhận thấy có hai giá trị để phương trình (1) không xác định là x ≠ −1 và x ≠ −3.
d) Sai.
Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{1}{{x + 1}} - \frac{6}{{x - 3}} = \frac{5}{{ - 3 + 4x - {x^2}}}\) là
x + 1 ≠ 0 nên x ≠ −1.
x – 3 ≠ 0 nên x ≠ 3.
−3 + 4x – x2 ≠ 0 hay (x – 1)(3 – x) ≠ 0 nên x ≠ 1 và x ≠ 3.
Do đó, điều kiện xác định của phương trình \(\frac{1}{{x + 1}} - \frac{6}{{x - 3}} = \frac{5}{{ - 3 + 4x - {x^2}}}\) là x ≠ −1; x ≠ 1 và x ≠ 3.
Vậy hai phương trình không có cùng điều kiện xác định.
Cho phương trình \(\frac{{x + 4}}{{x - 1}} + \frac{{x - 4}}{{x + 1}} = \frac{{x + 8}}{{x - 2}} + \frac{{x - 8}}{{x + 2}} + 6\). Gọi S là tập hợp các giá trị của x để phương trình không xác định. Tính tổng các giá trị của tập S.
Hướng dẫn giải
Đáp án: 0
Để phương trình đề cho không xác định thì các mẫu số trong phương trình bằng 0, tức là:
x – 1 = 0 hay x = 1;
x + 1 = 0 hay x = −1;
x – 2 = 0 hay x = 2;
x + 2 = 0 hay x = −2.
Do đó, các phần tử tập S = {1; 2; −1; −2}.
Vậy tổng các giá trị của tập S là 1 + 2 + (−1) + (−2) = 0.
Cho phương trình \(\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + 2x + 2}} + \frac{{{x^2}}}{{{x^2} - 2x + 2}} - \frac{{4{x^2} - 20}}{{{x^4} + 4}} = \frac{{322}}{{65}}\). Hỏi có bao nhiêu giá trị để phương trình trên không xác định?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 0
Để phương trình không xác định thì các mẫu số bằng 0, do đó:
x2 + 2x + 2 = 0 hay (x + 1)2 + 1 = 0 (vô lí do (x + 1)2 + 1 > 0 với mọi x).
x2 – 2x + 2 = 0 hay (x – 1)2 + 1 = 0 (vô lí do (x – 1)2 + 1 > 0 với mọi x).
x4 + 4 = 0 (vô lí do x4 + 4 > 0 với mọi x).
Phương trình trên xác định với mọi x.
Do đó, tập xác định của phương trình là x ∈ ℝ.
Cho tập S = {−4; −5; −6; −7; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Hỏi có bao nhiêu phần tử trong tập S thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình:
\(\frac{1}{{{x^2} + 9x + 20}} + \frac{1}{{{x^2} + 11x + 30}} + \frac{1}{{{x^2} + 13x + 42}} = \frac{1}{{18}}\)?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 7
Điều kiện xác định của phương trình là:
Điều kiện xác định của vế phải là x2 + 9x + 20 ≠ 0 và x2 + 11x + 30 ≠ 0 và x2 + 13x + 42 ≠ 0.
Với x2 + 9x + 20 ≠ 0 được (x + 4)(x + 5) ≠ 0, do đó x ≠ −4, x ≠ −5.
Với x2 + 11x + 30 ≠ 0 được (x + 5)(x + 6) ≠ 0, do đó x ≠ −5, x ≠ −6.
Với x2 + 13x + 42 ≠ 0 được (x + 6)(x + 7) ≠ 0, do đó x ≠ −6, x ≠ −7.
Vậy tập xác định của phương trình là x ≠ −4, x ≠ −5, x ≠ −6, x ≠ −7.
Do đó, các phần tử trong S thỏa mãn điều kiện xác định của phương trình là {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}.
Vậy có 7 phần tử thỏa mãn điều kiện xác định của S.
Cho phương trình \(\frac{x}{{x + a}} - \frac{{3a + x}}{{x - a}} = \frac{{3{a^2}}}{{\left( {x + a} \right)\left( {x - a} \right)}}\). Hỏi có bao nhiêu giá trị của a để phương trình trên không xác định tại x = −4?
Hướng dẫm giải
Đáp án: 2
Nhận thấy, điều kiện xác định của phương trình là x ≠ a và x ≠ −a.
Do đó, để phương trình không xác định tại x = −4 thì a = −4 hoặc −a = −4 hay a = 4.
Vậy có hai giá trị của a thỏa mãn.
Cho phương trình \(\frac{{x - 5}}{{2{x^2} - 5x + 3}} - \frac{{x - 5}}{{2{x^2} - 9x + 7}} = 0\). Biết S là tập hợp các giá trị mà phương trình trên không xác định. Hỏi S có bao nhiêu phần tử?
Hướng dẫn giải
Đáp án: 3
Điều kiện xác định của phương trình \(\frac{{x - 5}}{{2{x^2} - 5x + 3}} - \frac{{x - 5}}{{2{x^2} - 9x + 7}} = 0\) là
2x2 – 5x + 3 ≠ 0 hay (x – 1)(2x – 3) ≠ 0, suy ra x ≠ 1 và x ≠ \(\frac{3}{2}\).
2x2 – 9x + 7 ≠ 0 hay (x – 1)(2x – 7) ≠ 0, suy ra x ≠ 1 và x ≠ \(\frac{7}{2}\).
Vậy điều kiện xác định của phương trình là x ≠ 1; x ≠ \(\frac{3}{2}\) và x ≠ \(\frac{7}{2}\).
Vậy tập \(S = \left\{ {1;\,\,\frac{3}{2};\,\,\frac{7}{2}} \right\}\) có 3 phần tử.
