Bài tập Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu lớp 9 (có lời giải)

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai.         b) Sai.         c) Đúng.         d) Sai.

a) Sai.

Điều kiện xác định của phương trình là x² + 4x + 3 ≠ 0 và x² + 5x + 6 ≠ 0.

Với x² + 4x + 3 ≠ 0 hay (x + 1)(x + 3) ≠ 0, do đó x ≠ −1, x ≠ −3.

Với x² + 5x + 6 ≠ 0 hay (x + 2)(x + 3) ≠ 0, do đó x ≠ −2, x ≠ −3.

Vậy điều kiện xác định phương trình là x ≠ −1, x ≠ −2, x ≠ −3.

b) Sai.

Ta có: x² + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3); x² + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3).

Do đó, MTC của (1) là: (x + 1)(x + 2)(x + 3).

c) Đúng.

Ta có: \(\frac{{2\left( {x - 5} \right)}}{{{x^2} + 4x + 3}} = \frac{{x - 5}}{{{x^2} + 5x + 6}}\)

          \(\frac{{2\left( {x - 5} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{x - 5}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

         \(\frac{{2\left( {x - 5} \right)\left( {x + 2} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 2} \right)}} = \frac{{\left( {x - 5} \right)\left( {x + 1} \right)}}{{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

          2(x – 5)(x + 2) = (x – 5)(x + 1)

Vậy sau khi quy đồng, khử mẫu được phương trình

2(x – 5)(x + 2) = (x – 5)(x + 1)

d) Sai.

Giải phương trình: 2(x – 5)(x + 2) = (x – 5)(x + 1)

                               2(x – 5)(x + 2) – (x – 5)(x + 1) = 0

                                 (x – 5)(2x + 4 – x – 1) = 0

                                  (x – 5)(x + 3) = 0

Suy ra x – 5 = 0 hoặc x + 3 = 0.

Do đó x = 5 (thỏa mãn) hoặc x = −3 (loại)

Vậy phương trình có nghiệm là x = 5.

Vậy tổng các nghiệm của phương trình là 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai.         b) Đúng.            c) Đúng.         d) Sai.

a) Sai.

Điều kiện xác định của phương trình là:

(x – 3)(2x + 7) ≠ 0; 2x + 7 ≠ 0; (x – 3)(x + 3) ≠ 0.

Với (x – 3)(2x + 7) ≠ 0 được x ≠ 3 và x ≠ \(\frac{{ - 7}}{2}\).

Với 2x + 7 ≠ 0 được x ≠ \(\frac{{ - 7}}{2}\).

Với (x – 3)(x + 3) ≠ 0 được x ≠ 3 và x ≠ −3.

Vậy điều kiện xác định của phương trình là x ≠ 3 và x ≠ −3 và x ≠ \(\frac{{ - 7}}{2}\).

b) Đúng.

Ta có MTC của phương trình là (x – 3)(x + 3)(2x + 7) = (x² – 9)(2x + 7).

c) Đúng.

Ta có: \(\frac{{13}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + \frac{1}{{2x + 7}} = \frac{6}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}\)

           \(\frac{{13\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} + \frac{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}} = \frac{{6\left( {2x + 7} \right)}}{{\left( {x - 3} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {2x + 7} \right)}}\)

           13(x + 3) + x² – 9 = 6(2x + 7)

Vậy sau khi quy đồng khử mẫu ta được phương trình:

13(x + 3) + x² – 9 = 6(2x + 7)

d) Sai.

Giải phương trình, ta được:

13(x + 3) + x² – 9 = 6(2x + 7)

13x + 39 + x² – 9 = 12x + 42

x² + 13x – 12x + 30 – 42 = 0

x² + x – 12 = 0

(x – 3)(x + 4) = 0

Suy ra x – 3 = 0 hoặc x + 4 = 0

Do đó, x = 3 (loại) hoặc x = −4 (thỏa mãn).

Vậy phương trình có 1 nghiệm.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Sai.              b) Sai.                  c) Đúng.              d) Đúng.

a) Sai.

Điều kiện: x ≠ 2, x ≠ –1.

Vì phương trình đã cho có 1nghiệm là x = \(\frac{1}{2}\) (thỏa mãn) nên \(\frac{{2 \cdot \frac{1}{2} - {\rm{m}}}}{{\frac{1}{2} - 2}} = \frac{{3\left( {\frac{1}{2} - 1} \right)}}{{\frac{1}{2} + 1}}\) hay \(\frac{{2 - 2{\rm{m}}}}{{ - 3}} = - 1\) suy ra \(\frac{{2 - 2{\rm{m}}}}{3} = 1\).

b) Sai.

Theo a) ta có: \(\frac{{2 - 2{\rm{m}}}}{3} = 1\), suy ra 2 – 2m = 3, suy ra m \( = \frac{{ - 1}}{2}\). Vậy m < 1.

c) Đúng.

Với m \( = \frac{{ - 1}}{2}\) thì phương trình đã cho trở thành \(\frac{{2{\rm{x + }}\frac{1}{2}}}{{{\rm{x}} - 2}} = \frac{{3\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}}{{{\rm{x}} + 1}}\) nên \(\frac{{4{\rm{x}} + 1}}{{{\rm{2}}\left( {{\rm{x}} - 2} \right)}} = \frac{{3\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}}{{{\rm{x}} + 1}}.\)

d) Đúng.

Theo c) ta có: \(\frac{{4{\rm{x}} + 1}}{{{\rm{2}}\left( {{\rm{x}} - 2} \right)}} = \frac{{3\left( {{\rm{x}} - 1} \right)}}{{{\rm{x}} + 1}}\)

\(\frac{{\left( {4{\rm{x}} + 1} \right)\left( {{\rm{x}} + 1} \right)}}{{{\rm{2}}\left( {{\rm{x}} - 2} \right)\left( {{\rm{x}} + 1} \right)}} = \frac{{6\left( {{\rm{x}} - 1} \right)\left( {{\rm{x}} - 2} \right)}}{{{\rm{2}}\left( {{\rm{x}} - 2} \right)\left( {{\rm{x}} + 1} \right)}}\)

(4x + 1)(x + 1) = 6(x – 1)(x – 2)

4x² + 5x + 1 = 6x² – 18x + 12

2x² – 23x + 11 = 0

2x² – x – 22x + 11 = 0

x(2x – 1) – 11(2x – 1) = 0

(x – 11)(2x – 1) = 0.

Ta giải hai phương trình sau:

· x – 11 = 0 nên x = 11 (thỏa mãn).

· 2x – 1 = 0 nên x = \(\frac{1}{2}\) (thỏa mãn).

Vậy nghiệm còn lại của phương trình đã cho là x = 11.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.         b) Đúng.    c) Sai.         d) Sai.

a) Đúng.

Điều kiện xác định của biểu thức A là 2x – 5 ≠ 0 hay \(x \ne \frac{5}{2}\).

b) Đúng.

Điều kiện xác định của biểu thức B là 3x – 2 ≠ 0 nên \(x \ne \frac{2}{3}\).

c) Sai.

Ta có: A + B = 2

          \(\frac{{2x - 9}}{{2x - 5}} + \frac{{3x}}{{3x - 2}} = 2\).

Mẫu thức chung là (2x – 5)(3x – 2) = 6x² – 19x + 10.

d) Sai.

Ta có: A + B = 2

          \(\frac{{2x - 9}}{{2x - 5}} + \frac{{3x}}{{3x - 2}} = 2\)

          \(\frac{{\left( {2x - 9} \right)\left( {3x - 2} \right)}}{{\left( {2x - 5} \right)\left( {3x - 2} \right)}} + \frac{{3x\left( {2x - 5} \right)}}{{\left( {2x - 5} \right)\left( {3x - 2} \right)}} = \frac{{2\left( {2x - 5} \right)\left( {3x - 2} \right)}}{{\left( {2x - 5} \right)\left( {3x - 2} \right)}}\)

           (2x – 9)(3x – 2) + 3x(2x – 5) = 2(2x – 5)(3x – 2)

           6x² – 31x + 18 + 6x² – 15x = 2(6x² – 19x + 10)

           12x² – 46x + 18 = 12x² – 38x + 20

           −46x + 38x = 2

                      −8x = 2

                        \(x = - \frac{1}{4}\) (thỏa mãn)

Vậy phương trình A + B = 2 có một nghiệm là \(x = - \frac{1}{4}\).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai.             b) Đúng.    c) Sai.         d) Đúng.

a) Sai.

Điều kiện xác định của phương trình là:

x² – 4 ≠ 0 hay x ≠ 2 và x ≠ −2.

x(x – 2) ≠ 0 hay x ≠ 0 và x ≠ 2

x(x + 2) ≠ 0 hay x ≠ 0 và x ≠ −2.

Do đó, điều kiện

b) Đúng.

Ta có: \(\frac{2}{{{x^2} - 4}} - \frac{1}{{x\left( {x - 2} \right)}} + \frac{{x - 4}}{{x\left( {x + 2} \right)}} = 0\)

           \(\frac{{2x}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} - \frac{{x + 2}}{{x\left( {x - 2} \right)\left( {x + 2} \right)}} + \frac{{\left( {x - 4} \right)\left( {x - 2} \right)}}{{x\left( {x + 2} \right)\left( {x - 2} \right)}} = 0\)

           2x – x – 2 + (x – 4)(x – 2) = 0

           x – 2 + (x – 4)(x – 2) = 0

           (x – 2)(x – 3) = 0

 c) Sai.

Giải phương trình (x – 2)(x – 3) = 0 được x – 2 = 0 hoặc x – 3 = 0

Do đó, x = 2 (loại) hoặc x = 3 (thỏa mãn)

Do đó, tích các nghiệm của phương trình (1) bằng 3.  

d) Đúng.

Thay x = 3 (thỏa mãn điều kiện) vào phương trình \(\frac{2}{{x - 1}} + \frac{3}{{x - 2}} = \frac{{5x - 7}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\), được:

\(\frac{2}{{3 - 1}} + \frac{3}{{3 - 2}} = \frac{{5.3 - 7}}{{\left( {3 - 1} \right)\left( {3 - 2} \right)}}\) hay \(4 = 4\) (đúng).

Vậy nghiệm của phương trình (1) cũng là nghiệm của phương trình:

\(\frac{2}{{x - 1}} + \frac{3}{{x - 2}} = \frac{{5x - 7}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)}}\)

Hướng dẫn giải

Đáp án: 4

Điều kiện xác định: \(x \ne \frac{3}{2},\,\,x \ne 2,\,\,x \ne - 2\).

Để hai biểu thức A và B có cùng một giá trị thì \(\frac{{x + 1}}{{2x - 3}} = \frac{{3x}}{{{x^2} - 4}}\).

Giải phương trình \(\frac{{x + 1}}{{2x - 3}} = \frac{{3x}}{{{x^2} - 4}}\)

                              \(\frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}} = \frac{{3x\left( {2x - 3} \right)}}{{\left( {2x - 3} \right)\left( {{x^2} - 4} \right)}}\)

                               (x + 1)(x² – 4) = 3x(2x – 3)

                               x³ – 4x + x² – 4 = 6x² – 9x

                               x³ – 5x² + 5x – 4 = 0

                            x³ – 4x² – x² + 4x + x – 4 = 0

                           x²(x – 4) – x(x – 4) + x – 4 = 0

                          (x – 4)(x² – x – 4) = 0

Suy ra x – 4 = 0 hoặc x² – x – 4 = 0

Do đó, x = 4 (thỏa mãn) hoặc \({\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{{17}}{4} = 0\) (vô lí).

Vậy x = 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 4

Điều kiện xác định x ≠ 1, x ≠ 3.

Để hai biểu thức bằng nhau thì ta giải phương trình: \(\frac{{x + 5}}{{x - 1}} - \frac{{x + 1}}{{x - 3}} = \frac{{ - 8}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)

Ta có: \(\frac{{x + 5}}{{x - 1}} - \frac{{x + 1}}{{x - 3}} = \frac{{ - 8}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)

           \(\frac{{\left( {x + 5} \right)\left( {x - 3} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} - \frac{{\left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}} = \frac{{ - 8}}{{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 3} \right)}}\)

           (x + 5)(x – 3) – (x + 1)(x – 1) = −8

           x² + 2x – 15 – x² + 1 + 8 = 0

           2x – 8 = 0

           2x = 8

           x = 4 (thỏa mãn).

Vậy giá trị của x thỏa mãn là x = 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: –5

Điều kiện: x ≠ –1.

Vì x = 0 là một nghiệm của phương trình đã cho nên \(\frac{1}{{{\rm{0}} + 1}} - \frac{{{\rm{m}}{\rm{.}}{{\rm{0}}^2} - 3}}{{{{\rm{0}}^3} + 1}} = \frac{{2{\rm{m}}}}{{{{\rm{0}}^2} - {\rm{0}} + 1}}\), suy ra 1 + 3 = 2m, nên m = 2.

Thay m = 2 vào phương trình đã cho ta có: \(\frac{1}{{{\rm{x}} + 1}} - \frac{{{\rm{2}}{{\rm{x}}^2} - 3}}{{{{\rm{x}}^3} + 1}} = \frac{4}{{{{\rm{x}}^2} - {\rm{x}} + 1}}\)

\(\frac{{{{\rm{x}}^2} - {\rm{x}} + 1}}{{\left( {{\rm{x}} + 1} \right)\left( {{{\rm{x}}^2} - {\rm{x}} + 1} \right)}} - \frac{{{\rm{2}}{{\rm{x}}^2} - 3}}{{\left( {{\rm{x}} + 1} \right)\left( {{{\rm{x}}^2} - {\rm{x}} + 1} \right)}} = \frac{{4\left( {{\rm{x}} + 1} \right)}}{{\left( {{\rm{x}} + 1} \right)\left( {{{\rm{x}}^2} - {\rm{x}} + 1} \right)}}\)

x² – x + 1 – 2x² + 3 = 4x + 4

–x² – 5x = 0

x(x + 5) = 0.

Ta giải hai phương trình sau:

· x = 0 (thỏa mãn).

· x + 5 = 0 hay x = –5 (thỏa mãn).

Vậy nghiệm còn lại của phương trình đã cho là x = –5.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 103

Điều kiện xác định: 2x + 6 ≠ 0 và 5x + 15 ≠ 0, do đó x ≠ −3.

Ta có: \(\frac{{x - 4}}{{2x + 6}} - \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{5x + 15}} = 2\)

            \(\frac{{x - 4}}{{2\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{2\left( {x + 1} \right)}}{{5\left( {x + 3} \right)}} = 2\)

           \[\frac{{5\left( {x - 4} \right)}}{{10\left( {x + 3} \right)}} - \frac{{4\left( {x + 1} \right)}}{{10\left( {x + 3} \right)}} = \frac{{20\left( {x + 3} \right)}}{{10\left( {x + 3} \right)}}\]

            5(x – 4) – 4(x + 1) = 20(x + 3)

           5x – 20 – 4x – 4 = 20x + 60

           x – 24 = 20x + 60

           −19x = 84

                  \(x = - \frac{{84}}{{19}}\) (thỏa mãn)

Do đó, a = 84, b = 19 và a + b = 84 + 19 = 103.