Bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn lớp 9 (có lời giải)

Đáp án đúng là: A

Gọi số xe lúc đầu của đoàn là x (x ∈ ℕ^*, chiếc).

Số xe của đoàn lúc sau là: x + 3 (chiếc)

Lúc đầu mỗi xe phải chở số tấn hàng là: \(\frac{{480}}{x}\) (tấn).

Lúc sau, mỗi xe phải chở số tấn hàng là: \(\frac{{480}}{{x + 3}}\) (tấn).

Khi sắp khởi hành có thêm 3 xe nữa nên mỗi xe phải chở ít hơn 8 tấn nên ta có phương trình \(\frac{{480}}{x} - \frac{{480}}{{x + 3}} = 8\)

480(x + 3) – 480x = 8x(x + 3)

480x + 1440 – 480x = 8x² + 24x

8x² + 24x − 1440 = 0

8x² – 96x + 120x – 1440 = 0

8x( x – 12) + 120(x – 12) = 0

(x – 12)(8x + 120) = 0

Suy ra x – 12 = 0 hoặc 8x + 120 = 0.

Do đó, x = 12 (thỏa mãn) hoặc x = −15 (loại).

Vậy lúc đầu đoàn có 12 chiếc xe.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.         b) Sai.        c) Đúng.           d) Đúng.

a) Đúng.

Quãng đường xe khách đi từ A đến khi hai xe gặp nhau là 50x (km).

b) Sai.

Thời gian để xe con gặp xe khách là: x – 0,5 (giờ).

Quãng đường xe con đi từ B đến khi hai xe gặp nhau là 60(x − 0,5) (km).

c) Đúng.

Phương trình biểu diễn bài toán là: 60(x – 0,5) + 50x = 80.

d) Đúng.

Giải phương trình 60(x – 0,5) + 50x = 80

                              60x – 30 + 50x = 80

                                110x = 110

                                      x = 1 (thỏa mãn)

Vậy sau 1 giờ xe khách xuất phát thì hai xe gặp nhau.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Sai.         b) Đúng.          c) Đúng.              d) Sai.

a) Sai.

Hai người làm công việc 8 giờ thì xong nên một giờ hai người làm được số công việc là \(\frac{1}{8}\) (công việc).

Do đó, mổ giờ người thứ hai làm được \(\frac{1}{8} - \frac{1}{x}\) (công việc).

b) Đúng.

Hai người cùng làm trong 4 giờ thì làm được \(4.\frac{1}{8} = \frac{1}{2}\) (công việc)

Người thứ hai tiếp tục làm một mình trong 12h làm được \(12.\left( {\frac{1}{8} - \frac{1}{x}} \right) = \frac{3}{2} - \frac{{12}}{x}\) (công việc).

c) Đúng.

Do đó, theo đề có phương trình là \(\frac{1}{2} + \left( {\frac{3}{2} - \frac{{12}}{x}} \right) = 1\).

d) Sai.

Giải phương trình, ta có: \(\frac{1}{2} + \left( {\frac{3}{2} - \frac{{12}}{x}} \right) = 1\)

                                         \(\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - \frac{{12}}{x} = 1\)

                                             \(2 - \frac{{12}}{x} = 1\)

                                              \(\frac{{12}}{x} = 1\)

                                              x = 12 (thỏa mãn).

Với x = 12 thì một giờ người thứ hai làm được \(\frac{1}{8} - \frac{1}{{12}} = \frac{1}{{24}}\) (công việc)

Do đó, thời gian hoàn thành công việc của người thứ hai nếu làm một mình là:

\(1:\frac{1}{{24}} = 24\) (giờ)

Vậy nếu làm riêng thì người thứ nhất hoàn thành công việc trong 12 giờ và người thứ hai hoàn thành công việc trong 24 giờ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.         b) Đúng.    c) Sai.         d) Sai.

a) Đúng.

Thời gian phân xưởng may xong 900 bộ quần áo theo kế hoạch là \(\frac{{900}}{x}\) (ngày).

b) Đúng.

Thực tế, mỗi ngày phân xưởng may được số bộ quần áo là x + 10 (bộ)

Thực tế, thời gian phân xưởng may xong 900 bộ quần áo là \(\frac{{900}}{{x + 10}}\) (ngày)

c) Sai.

Do phân xưởng hoàn thành kế hoạch trước 3 ngày nên ta có phương trình:

\(\frac{{900}}{x} - \frac{{900}}{{x + 10}} = 3\)

d) Sai.

Giải phương trình, ta có: \(\frac{{900}}{x} - \frac{{900}}{{x + 10}} = 3\)

                                    \(\frac{{900\left( {x + 10} \right)}}{{x\left( {x + 10} \right)}} - \frac{{900x}}{{x\left( {x + 10} \right)}} = \frac{{3x\left( {x + 10} \right)}}{{x\left( {x + 10} \right)}}\)

                                    900(x + 10) – 900x = 3x(x + 10)

                                    900x + 9 000 – 900x = 3x² + 30x

                                    3x² + 30x – 9 000 = 0

                                    (x – 50)(x + 60) = 0

Do đó, x – 50 = 0 hoặc x + 60 = 0.

Suy ra x = 50 (thỏa mãn) hoặc x = −60 (loại).

Theo kế hoạch, mỗi ngày phân xưởng phải may 50 bộ quần áo.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: a) Đúng.         b) Đúng.    c) Sai.         d) Sai.

a) Đúng.

Ban đầu, số tiền thưởng mỗi người nhận được là \(\frac{{12\,\,600\,\,000}}{x}\) (đồng).

b) Đúng.

Thực tế, có 80% số công nhân tham gia hội thao nên số công nhân tham gia hội thao là 0,8x (người).

c) Sai.

Thực tế, số tiền tưởng mỗi người nhận được là \(\frac{{12\,\,600\,\,000}}{{0,8x}}\) (đồng).

Vì thực tế, mỗi người nhận thêm được 105 000 đồng nên ta có phương trình:

\(\frac{{12\,\,600\,\,000}}{{0,8x}} - \frac{{12\,\,600\,\,000}}{x} = 105\,\,000\)

d) Sai.

Giải phương trình, ta có: \(\frac{{12\,\,600\,\,000}}{{0,8x}} - \frac{{12\,\,600\,\,000}}{x} = 105\,\,000\)

                                        \(\frac{{12\,\,600\,\,000}}{{0,8x}} - \frac{{12\,\,600\,\,000 \cdot 0,8}}{{0,8x}} = 105\,\,000\)

                                       \(\frac{{2\,\,520\,\,000}}{{0,8x}} = 105\,\,000\)

                                          0,8x = 24

                                               x = 30 (thỏa mãn).

Vậy theo dự định, có 30 công nhân tham gia hội thao.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là:a) Đúng.         b) Sai.        c) Sai.         d) Sai.

a) Đúng.

Vì chiều dài hơn chiều rộng 4 m nên chiều rộng của mảnh vườn là x – 4 (m).

b) Sai.

Chu vi của mảnh vườn là 2(x + x – 4) = 2(2x – 4) = 4x – 8 (m)

Vì chu vi mảnh vườn bằng 40 m nên ta có phương trình 4x – 8 = 40.

c) Sai.

Giải 4x – 8 = 40 được 4x = 48, suy ra x = 12.

Do đó, chiều rộng bằng 12 – 4 = 8 (m).

d) Sai.

Diện tích khu vườn là 12.8 = 96 (m²)

Số cây cam trồng được trong vườn là: 96 : 3 = 32 (cây).

Hướng dẫn giải

Đáp án: 520

Gọi x là số đôi giày mà nhóm thợ đóng được mỗi ngày theo kế hoạch (x ∈ ℕ^*).

Số đôi giày đóng được theo kế hoạch trong 26 ngày là: 26x (đôi giày)

Số đôi giày mỗi ngày đóng được thực tế là: x + 6 (đôi giày).

Tổng số đôi giày đóng được thực tế là 26x + 104 (đôi giày).

Thời gian nhóm thợ đã hoàn thành theo thực tế là: \(\frac{{26x + 104}}{{x + 6}}\) (ngày).

Vì nhóm thợ hoàn thành công việc trong 24 ngày nên ta có phương trình:

\(\frac{{26x + 104}}{{x + 6}} = 24\)

Giải phương trình: \(\frac{{26x + 104}}{{x + 6}} = 24\), ta được:

                               26x + 104 = 24(x + 6)

                               26x + 104 = 24x + 144

                               2x = 40

                               x = 20 (thỏa mãn).

Vậy số đôi giày phải làm theo kế hoạch là 26.20 = 520 (đôi giày).

Hướng dẫn giải

Đáp án: 30

Đổi 40 phút = \(\frac{2}{3}\) giờ.

Gọi vận tốc ban đầu của xe ô tô là x (km/h, x > 0).

Vận tốc sau đó là 1,2x (km/h).

Thời gian dự kiến đi hết quãng đường là \(\frac{{163}}{x}\) giờ.

Thời gian xe đi hết 43 km đầu là \(\frac{{43}}{x}\) giờ.

Quãng đường còn lại là 163 – 43 = 120 (km).

Thời gian đi hết quãng đường còn lại là: \(\frac{{120}}{{1,2x}}\) (giờ).

Theo bài, ta có:

\(\frac{{43}}{x} + \frac{2}{3} + \frac{{120}}{{1,2x}} = \frac{{163}}{x}\)

\(43 + \frac{2}{3}x + 120 = 163\)

\(\frac{2}{3}x = 20\)

x = 30 (thỏa mãn)

Vậy vận tốc lúc đầu của xe là 30 km/h.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 18

Gọi tử số của phân số cần tìm là x (x ∈ ℤ, x ≠ 0, x ≠ −2, x ≠ 4).

Mẫu số của phân số đó là: x + 2.

Phân số đã cho là \(\frac{x}{{x + 2}}\).

Nếu bớt tử số đi 3 đơn vị và bớt mẫu số đi 6 đơn vị thì ta được phân số mới là

\(\frac{{x - 3}}{{x + 2 - 6}} = \frac{{x - 3}}{{x - 4}}\).

Vì phân số mới bằng phân số nghịch đảo của phân số đã cho nên ta có phương trình \(\frac{{x - 3}}{{x - 4}} = \frac{{x + 2}}{x}\)

Giải phương trình, ta có: \[\frac{{\left( {x - 3} \right)x}}{{\left( {x - 4} \right)x}} = \frac{{\left( {x + 2} \right)\left( {x - 4} \right)}}{{\left( {x - 4} \right)x}}\]   

                                           (x – 3)x = (x + 2)(x − 4)

                                            x² – 3x = x² − 2x − 8

                                            x² – 3x – x² + 2x + 8 = 0

                                                          x = 8 (thỏa mãn)

Mẫu số là 8 + 2 = 10

Vậy phân số cần tìm là \(\frac{8}{{10}}\).

Tổng của tử và hiệu của phân số cần tìm là: 8 + 10 = 18.

Hướng dẫn giải

Đáp án: 150

Gọi giá tiền ban đầu của mỗi chiếc áo bạn Hoa đã mua là x (nghìn đồng, x > 30).

Theo dự định, số áo bạn Hoa mua được là \(\frac{{600}}{x}\) (chiếc)

Thực tế, giá tiễn mỗi chiếc áo là x – 30 (nghìn đồng)

Do đó, số áo thực tế bạn Hoa mua được là \(\frac{{600}}{{x - 30}}\) (chiếc)

Thực tế, bạn Hoa đã mua được số lượng áo gấp 1,25 lần so với dự định nên ta có phương trình: \(\frac{{600}}{{x - 30}} = 1,25 \cdot \frac{{600}}{x}\)

Giải phương trình, ta được: \(\frac{{600}}{{x - 30}} - 1,25 \cdot \frac{{600}}{x} = 0\)

                                              \(\frac{{600}}{{x - 30}} - \frac{{750}}{x} = 0\)

                                            \(\frac{{600x}}{{\left( {x - 30} \right)x}} - \frac{{750\left( {x - 30} \right)}}{{x\left( {x - 30} \right)}} = 0\)

                                              600x – 750x + 22 500 = 0

                                              150x = 22 5000

                                                   x = 150 (thỏa mãn)

Hướng dẫn giải

Đáp án: 28

Gọi chữ số hàng chục là x (x ∈ ℕ, 0 < x ≤ 9).

Do đó, chữ số hàng đơn vị là 10 – x.

Giá trị của số cần tìm là 10x + 10 – x = 9x + 10.

Vì tích của hai chữ số nhỏ hơn chữ số đã cho là 12 nên ta có phương trình:

x(10 – x) = 9x + 10 – 12

10x – x² = 9x – 2

x² – x – 2 = 0

(x – 2)(x + 1) = 0

Do đó, x = 2 (thỏa mãn) hoặc x = −1 (loại).

Vậy số cần tìm là 28.