Bài tập cuối chương 10 lớp 9 (có lời giải)

 Gọi bán kính đáy và chiều cao hình trụ lần lượt là \(R\) và \(h\).

Ta có \({S_{{\rm{Xq}}}} = 2\pi Rh\,\,\left( {\;{{\rm{m}}^2}} \right);\,\,\,V = \pi {R^2}h\,\,\left( {\;{{\rm{m}}^3}} \right)\).

Theo đề bài hai số đo trên bằng nhau nên ta có \(2\pi Rh = \pi {R^2}h\) suy ra \(R = 2\,\,(\;{\rm{m}})\).

Ta thấy rằng,

Khi quay hình chữ nhật quanh \(AB\) thì \(h = AB = 4\), \(R = BC = 2\) và \({V_1} = \pi {R^2}h = \pi  \cdot {2^2} \cdot 4 = 16\pi \).

Khi quay hình chữ nhật quanh \(BC\) thì \(h = BC = 2\), \(R = AB = 4\) và \({V_2} = \pi {R^2}h = \pi  \cdot {4^2} \cdot 2 = 32\pi \). Suy ra \({V_2} = 2{V_1}.\)

a) \({S_{xq}} = 48\pi \left( {c{m^2}} \right)\);                 b) \(V = 144\pi \left( {c{m^3}} \right)\);                     c) \({S_{tp}} = 42\pi \left( {c{m^2}} \right)\)

Gọi bán kính và chiều cao của hình trụ lần lượt là \(R\) và \(h\).

Khi đó hình hộp chữ nhật có cạnh đáy là \[2R\] và chiều cao là\[h\]. Gọi \({V_1}\) và \({V_2}\) lần lượt là thể tích của hình trụ và hình hộp.

Ta có \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{\pi {R^2}h}}{{4{R^2}h}}.\) Do đó \(\frac{{270}}{{{V_2}}} = \frac{\pi }{4}\).

Suy ra \({V_2} = \frac{{270 \cdot 4}}{\pi } \approx 344\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\)

Vậy thể tích hình hộp là \(344\left( {\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

 Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh A B một vòng thì được hình trụ có chiều cao \(h = AB = 2a\), bán kính đáy \(R = BC = a\) nên có thể tích

\({V_1} = \pi {R^2}h = \pi {a^2} \cdot 2a = 2\pi {a^3}({\rm{dvtt}})\).

Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh canh B C một vòng thì được hình trụ có chiều cao \({h^\prime } = BC = a\), bán kính đáy \({R^\prime } = CD = 2a\) nên có thể tích

\({V_2} = \pi {R^{\prime 2}}{h^\prime } = \pi {(2a)^2} \cdot a = 4\pi {a^3}({\rm{ dtt }})\).

Vậy \(\frac{{{V_1}}}{{{V_2}}} = \frac{{2\pi {a^3}}}{{4\pi {a^3}}} = \frac{1}{2}\).

Gọi \(R\) là bán kính đáy của hộp sữa, \(h\) là chiều cao của nó. Ta có \(h = 2R + 3\). Vì diện tích toàn phần của hộp sữa là \(292,5\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\) nên

\(2\pi R(h + R) = 292,5\pi \)

\(2\pi R(h + R) = 292,5\pi \)

\(2\pi R(2R + 3 + R) = 292,5\pi \)

\(R(R + 1) = 48,75\)

\({R^2} + R - 48,75 = 0\)

Giải ra được \({R_1} = 6,5\) (chọn); \({R_2} =  - 7,5\) (loại).

Vậy bán kính đáy hộp sữa là \(6,5\;{\rm{cm}}\).

Chiều cao hộp sữa là \(16\;{\rm{cm}}\). Thể tích hộp sữa là \(V = \pi {R^2}h = \pi  \cdot {(6,5)^2} \cdot 16 = 676\pi \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right)\).

Từ đề bài ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{AB + BC = 14}\\{AB \cdot BC = 48{\rm{ }}{\rm{. }}}\end{array}} \right.\)

Suy ra \(AB,\,\,CD\)là nghiệm của phương trình: \({x^2} - 14x + 48 = 0\).

Giải phương trình ta đươc \({x_1} = 6,{x_2} = 8\).

Do \(AB > BC\) nên \(AB = 8;BC = 6\).

a) Diện tích xung quanh của hình trụ là \({S_{{\rm{Xq}}}} = 2 \cdot \pi  \cdot BC \cdot AB = 2\pi  \cdot 6 \cdot 8 = 96\pi \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)

b) Diện tích toàn phần của hình trụ là \({S_{{\rm{tp}}}} = {S_{{\rm{X}}q}} + 2{S_{\rm{d}}} = 96\pi  + 2\pi {R^2} = 96\pi  + 2\pi  \cdot {6^2} = 168\pi \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\)

Thể tích của hình trụ là \(V = \pi  \cdot B{C^2} \cdot AB = \pi  \cdot {6^2} \cdot 8 = 288\pi \,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\)

Gọi bán kính đáy thùng rác văn phòng là \(R\) và chiều cao \(h.\)

Theo đề bài, ta có: \(R = \frac{{0,4}}{2} = 0,2{\rm{m; }}h = 0,8{\rm{m}}{\rm{.}}\)

Thể tích thùng rác: \(V = \pi {R^2}h = \pi {\left( {0,2} \right)^2}.0,8 = \frac{4}{{125}}\pi \left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right).\)

Bán kính hình trụ bên trong là: \(r = 1 - 0,05 = 0,95\left( {\rm{m}} \right).\)

Áp dụng công thức tính thể tích hình trụ, ta có: \(V = \pi {r^2}h = \pi {\left( {0,95} \right)^2}.1,5 \approx 4,25\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right).\)

a) Xét tam giác \(OIM\) vuông tại \(I\),Theo Pythagore ta có :

\(O{M^2} = I{M^2} + O{I^2}\) \( = {3^2} + {4^2} = 25 = {5^2}\) \( \Rightarrow OM = 5\)

Khi quay tam giác \(OIM\) quanh cạnh góc vuông \(OI\) thì đường gấp khúc \(OIM\) tạo thành hình nón có bán kính đáy \(r = IM = 3cm\), chiều cao \(h = OI = 4cm\)và đường sinh là cạnh huyền \(l = OM = 5cm\).

Vậy độ dài đường sinh của hình nón là \(5cm\).

b) Diện tích xung quanh hình nón là:\[{S_{xq}} = \pi rl = \pi .3.5 = 15\pi \left( {c{m^2}} \right)\]  

c) Diện tích toàn phần hình nón là:

d) Thể tích hình nón là: \[V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {.3^2}.4 = 12\pi \left( {c{m^3}} \right)\]

a) khi quay tam giác \[{60^ \circ }\] xung quanh trục \[30{\rm{ }}cm\], tao ra hình nón có:

bán kính đáy \(r = \frac{{BC}}{2} = 1dm\),  đường sinh là \[{r_1},{h_1},{r_2},{h_2}\]

Diện tích xung quanh hình nón là:\[{60^ \circ }\]

b) Chiều cao của hình nón: \[h = \sqrt {{l^2} - {r^2}}  = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} - 1}  = 1dm\]

Thể tích hình nón:  \[V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi .1.1 = \frac{1}{3}\pi \left( {d{m^3}} \right)\]

a) Diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy nên \(\pi rl = 2\pi {r^2}\), suy ra \(l = 2r\).

Vậy \(\pi rl = \pi r \cdot 2r = 2\pi {r^2}\).

Diện tích xung quanh bằng \(2\pi {r^2}\).

b)  Xét tam giác \(SOA\) vuông tại \(O\), ta có \({h^2} = {l^2} - {r^2} = {(2r)^2} - {r^2} = \)\(3{r^2}\) nên \(h = r\sqrt 3 \).

Vậy \(V = \frac{1}{3}\pi {r^2}h = \frac{1}{3}\pi {r^2}r\sqrt 3  = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\pi {r^3}\)

Khi quay tam giác \(ABC\) một vòng quanh cạnh \(BC\), hình tạo thành gồm hai hình nón có đường cao theo thứ tự là \(HB\) và \(HC\). Thể tích của hình tạo thành bằng.

\(\frac{1}{3}\pi  \cdot A{H^2} \cdot BH + \frac{1}{3}\pi  \cdot A{H^2} \cdot CH = \frac{1}{3}\pi  \cdot A{H^2}(BH + CH)\)

\( = \frac{1}{3}\pi  \cdot A{H^2}.BC = \frac{1}{3}\pi  \cdot {4^2}.10 = \frac{{160}}{3}\pi \,\,(c{m^3})\).

Gọi \(h\) là chiều cao của hình nón. Thể tích của hình nón bằng

\(V = \frac{1}{3}\pi  \cdot {20^2} \cdot h = \frac{{400}}{3}\pi h.\)

Đường sinh \[SA\]bằng \(\sqrt {{h^2} + {{20}^2}} \). Diện tích xung quanh của hình nón bằng \({S_{{\rm{xq}}}} = \pi  \cdot 20\sqrt {{h^2} + 400} \)

Do \(V = 4{S_{{\rm{xq}}}}\) nên \(\frac{{400}}{3}\pi h = 4 \cdot 20\pi \sqrt {{h^2} + 400} \)

\(5h = 3\sqrt {{h^2} + 400} \)

\(25{h^2} = 9\left( {{h^2} + 400} \right)\)

\({h^2} = 225 \Leftrightarrow h = 15.\)

Vậy chiều cao của hình nón bằng \(15\;{\rm{cm}}\).

a) Đường sinh bằng \(l = 25\;{\rm{cm}}\). Số đo cung của hình quạt là:\(n^\circ  = 360^\circ  \cdot \frac{r}{l} = 360^\circ  \cdot \frac{7}{{25}} = 100,8^\circ \)

b)  Diện tích toàn phần của hình nón \({S_{{\rm{tp}}}} = \pi rl + \pi {r^2} = \pi r(l + r) = 224\pi \)

Vì chiếc nón hình nón có bán kính đáy \[R = 28:2 = 14cm\] và đường sinh \[l = 30cm\]nên diện tích xung quanh của chiếc nón là: \({S_{xq}} = \pi Rl = 3,14.\;14.\;30 = 1318,8\;\left( {c{m^2}} \right)\)

Vậy diện tích lá dùng để làm nón là \(110\% .1318,8 = 1450,68\)\[c{m^2}.\]

 Đặt \[S\] là diện tích vải dùng để tạo ra nón. Ta có: \(S = {S_1} + {S_2}\)

\({S_1} = \pi \left( {{R^2} - {r^2}} \right).\) Trong đó:

\(R,r\) là diện tích hình vành khăn giới hạn bởi hai đường tròn có bán kính lần lượt là: \(R = \frac{{35}}{2},r = \frac{{35}}{2} - 10 = \frac{{15}}{2}\)

\({S_2}\) là diện tích hình nón có \(r = \frac{{15}}{2},\,\,l = 30\), \({S_2} = \pi rl.\)

Do đó:\(S = {S_1} + {S_2}\)\( = \pi \left( {{R^2} - {r^2}} \right) + \pi rl\)

\( = \pi \left( {{{\left( {\frac{{35}}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{{15}}{2}} \right)}^2}} \right) + \pi \frac{{15}}{2}30 = 475\pi \)

Vì tỉ lệ khấu hao vải khi may nón là \[{\rm{15}}\% .\]

Nên diện tích vải cần dùng thực tế là:

\(S + 15\% S = 475\pi  + 15\% .475\pi  = 546,25\pi  \approx 1715,23\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\)

Vậy diện tích vải cần dùng là khoảng \(1715,23\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{.}}\)

Diện tích xung quanh hình nón được tính bởi công thức \[{S_{xp}} = 3,14rl\] với \[l\] là đường sinh được thể hiện như hình sau:

Như vậy, theo đề bài ta được \[S = 3{S_{xp}} = 3.3,14.\frac{{45}}{2}\sqrt {{{\left( {\frac{{45}}{2}} \right)}^2} + {{24}^2}}  \approx 6973\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\] (đề bài nên nói rõ là diện tích xung quanh của mái nhà như vậy sẽ hay hơn).

Tương tự, thể tích của mái nhà là: \[V = 3V' = 3.\frac{1}{3}3,14{r^2}h = 3,14.{\left( {\frac{{45}}{2}} \right)^2}24 = 38151\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right).\]

 a) Thể tích phần hình trụ là: \({V_1} = \pi h{r^2} = 0,7.\pi .{\left( {\frac{{1,4}}{2}} \right)^2} = 0,343\pi {\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\)

Thể tích phần hình nón là: \[{V_1} = \frac{1}{3}\pi h{r^2} = \frac{1}{3}.0,9.\pi .{\left( {\frac{{1,4}}{2}} \right)^2} = 0,147\pi {\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\]

Thể tích của dụng cụ là: \(V = {V_1} + {V_2} = 0,343\pi  + 0,147\pi  = 0,49\pi  \approx 1,5386{\rm{ }}{{\rm{m}}^3}\)

b) Diện tích xung quanh của phần hình trụ: \({S_1} = 2\pi rh = 2\pi .0,7.0,7 = 0,98\pi {\rm{ }}{{\rm{m}}^2}\)

Độ dài đường sinh của hình nón: \(l = \sqrt {0,{9^2} + 0,{7^2}}  = \sqrt {1,3} {\rm{ m}}\)

Diện tích xung quanh của phần hình nón: \({S_2} = \pi rl = \pi .0,7.\sqrt {1,3}  = 0,07\sqrt {130} \pi \left( {{\rm{ }}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Diện tích của mặt ngoài dụng cụ là: \(S = {S_1} + {S_2} = 0,98\pi  + 0,07\sqrt {130} \pi  \approx 5,58{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right).\)

 Từ công thức \(S = 4\pi {R^2} \Rightarrow R = \sqrt {\frac{S}{{4\pi }}} \). Bán kính của phao là \(R = \sqrt {\frac{{804}}{{4\pi }}} \approx 8\;{\rm{cm}}\).

 Khi bổ đôi trái dưa thì mặt cắt là một hình tròn. Ta có: \(S = \pi {R^2} \Rightarrow R = \sqrt {\frac{S}{\pi }}  \approx \sqrt {\frac{{314}}{{3,14}}}  = 10\;{\rm{cm}}\)

Vậy bán kính của trái dưa là \(10\;{\rm{cm}}\). Thể tích của trái dưa là:

\(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi  \cdot {10^3} \approx 4187\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\)

Diện tích bề mặt trái đất là \(S = 4\pi {R^2} = 4 \cdot \pi  \cdot {6400^2} \approx 514457600\;{\rm{k}}{{\rm{m}}^2}\).

Diện tích các biển và đại dương là \(514457600 \cdot \frac{3}{4} \approx 386000000\;{\rm{k}}{{\rm{m}}^2}\).

Ta có chu vi của đường tròn xích đạo là \(94,2\;{\rm{cm}}\) nên \(R = \frac{C}{{2\pi }} \approx \frac{{94,2}}{{2 \cdot 3,14}} = 15\;{\rm{cm}}\)

Do đó

a) Diện tích mặt ngoài của quả địa cầu là \(S = 4\pi {R^2} = 900\pi \,\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}\).

b)  Thể tích của quả địa cầu \(V = \frac{4}{3}\pi {R^3} = 4500\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).

a)  Thể tích phần hình trụ là \({V_1} = \pi {R^2}h = \pi  \cdot {5^2} \cdot 6 = 150\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).

Thể tích nửa hình cầu: \({V_2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{2}{3}\pi  \cdot {5^3} = \frac{{250}}{3}\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\)

Thể tích bộ phận lọc là: \(V = {V_1} + {V_2} = 150\pi  + \frac{{250}}{3}\pi  = \frac{{700}}{3}\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^3} \approx 733\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{ }}{\rm{. }}\)

b)  Diện tích xung quanh của hình trụ là: \({S_1} = 2\pi Rh = 2\pi  \cdot 5 \cdot 6 = 60\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)

Diện tích đáy hình trụ là: \({S_2} = \pi  \cdot {R^2} = \pi  \cdot {5^2} = 25\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{ }}{\rm{. }}\)

Diện tích nửa mặt cầu là: \({S_3} = \frac{1}{2} \cdot 4\pi {R^2} = 2\pi  \cdot {5^2} = 50\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\)

Diện tích mặt ngoài của bộ phận lọc: \(S = {S_1} + {S_2} + {S_3} = 60\pi  + 25\pi  + 50\pi  = 135\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^2} \approx 424\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)

Vì hình cầu đặt vừa khít trong hình trụ nên chiều cao của hình trụ bằng đường kính đáy và bằng đường kính của hình cầu. Bán kính đáy của hình cầu là \(9\;{\rm{cm}}\).

Khi đó, thể tích hình trụ là \({V_1} = \pi {R^2}h = \pi  \cdot {9^2} \cdot 18 = 1458\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).

Thể tích hình cầu là \({V_2} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = 972\pi {\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).

Vậy thể tích cần tính là \(V = {V_1} - {V_2} = 486\pi  \approx 1526\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}\).

 Ta có: \[{V_{{\rm{c\c{C}u}}}} = \frac{4}{3}\pi {R^3} = \frac{4}{3}\pi {\left( {\frac{d}{2}} \right)^3} = \frac{4}{3}.3,14.{\left( {\frac{{22}}{2}} \right)^3} \approx 5572,45\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right).\]

Mà \[{V_{{\rm{li\^O n}}}}\, = \frac{2}{3}{V_{{\rm{c\c{C}u}}}} = \frac{2}{3}.5572,45 \approx 3715\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right){\rm{.}}\]

Vậy thể tích nước ít nhất dùng để thay nước ở liễn nuôi cá là \[3715\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right).\]