Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn

Phương trình 5$x^2$ – 6x -1 = 0 có hệ số a = 5, b’ = -3, c = -1

Ta có: $∆$’ = $b{\text{'}}^2$ – ac = ${\left(-3\right)}^2$ -5.(-1) = 9 + 5 = 14 > 0

$\sqrt{∆\text{'}}=\sqrt{14}$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt :

Phương trình -3$x^2$+ 14x - 8 = 0 có hệ số a = -3, b’= 7, c = -8

Ta có: $∆$' = $b{\text{'}}^2$ – ac = $7^2$ – (-3).(-8) = 49 – 24 > 0

$\sqrt{∆\text{'}}=\sqrt{25}$ = 5

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Phương trình -7$x^2$ +4x=3 ⇔ 7x2 -4x+3 = 0 có hệ số a=7, b’=-2 , c=3

Ta có: $∆$’ = $b{\text{'}}^2$ – ac = ${\left(-2\right)}^2$ -7.3 = 4- 21= -17 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm

Phương trình 9$x^2$ +6x+1 =0 có hệ số a=9,b’=3,c=1

Ta có: $∆$’ = $b{\text{'}}^2$ – ac = $3^2$ -9.1 = 9 - 9 = 0

Phương trình có nghiệm kép:

$x_1$ = $x_2$ = -b'/a =-3/9 =-1/3

Ta có: $x^2$ +2 + 2$\sqrt{2}$ = 2(1 + $\sqrt{2}$)x ⇔ $x^2$ - 2(1+$\sqrt{2}$ )x +2 +2$\sqrt{2}$ = 0

$∆$' = $b{\text{'}}^2$ – ac = ${\left[-\left(1+\sqrt{2}\right)\right]}^2$- 1(2+2$\sqrt{2}$ )

= 1 + 2$\sqrt{2}$ +2 -2 -2$\sqrt{2}$ =1 > 0

$\sqrt{∆\text{'}}=\sqrt{1}$ =1

Vậy với x= 2+ $\sqrt{2}$ hoặc x =$\sqrt{2}$ thì giá trị của hai biểu thức trên bằng nhau

Ta có: $\sqrt{3}$$x^2$ + 2x -1 = 2$\sqrt{3}$x + $\sqrt{3}$ ⇔ $\sqrt{3}$$x^2$ + 2x - 2$\sqrt{3}$ x -3 -1 = 0

⇔ $\sqrt{3}$$x^2$ + (2 - 2$\sqrt{3}$ )x -4 =0 ⇔ $\sqrt{3}$$x^2$ + 2(1 - $\sqrt{3}$ )x -4 = 0

$∆$' = $b{\text{'}}^2$ – ac= ${\left(1-\sqrt{3}\right)}^2$ - $\sqrt{3}$(-4) =1 - 2$\sqrt{3}$ +3 +4$\sqrt{3}$

= 1 + 2$\sqrt{3}$ +3 = ${\left(1-\sqrt{3}\right)}^2$ > 0

Vậy với x= 2 hoặc x = (-2$\sqrt{3}$)/3 thì giá trị của hai biểu thức trên bằng nhau

Ta có: -2$\sqrt{2}$ x – 1 =$\sqrt{2}$$x^2$ + 2x +3 ⇔ $\sqrt{2}$$x^2$ +2x + 3 + 2$\sqrt{2}$ x + 1=0

⇔ $\sqrt{2}$$x^2$ + 2(1 + $\sqrt{2}$ )x +4 =0

$∆$' = $b{\text{'}}^2$ – ac= ${\left(1+\sqrt{2}\right)}^2$ - √2 .4= 1+2$\sqrt{2}$+2 - 4$\sqrt{2}$

= 1-2$\sqrt{2}$ +2 = ${\left(\sqrt{2}-1\right)}^2$ > 0

Vậy với x= -$\sqrt{2}$ hoặc x = -2 thì giá trị của hai biểu thức trên bằng nhau

Ta có: $x^2$ - 2$\sqrt{3}$ x - $\sqrt{3}$ = 2$x^2$ +2x +$\sqrt{3}$

⇔ $x^2$ - 2$\sqrt{3}$ x - $\sqrt{3}$ - 2$x^2$ -2x - $\sqrt{3}$ =0

⇔ $x^2$ +2x +2$\sqrt{3}$ x +2$\sqrt{3}$ =0

⇔ $x^2$ + 2(1 +$\sqrt{3}$ )x + 2$\sqrt{3}$ =0

$∆$' = $b{\text{'}}^2$ – ac= ${\left(1+\sqrt{3}\right)}^2$ – 1. 2$\sqrt{3}$ = 1 + 2$\sqrt{3}$+ 3 -2$\sqrt{3}$ = 4 > 0

$\sqrt{∆\text{'}}=\sqrt{4}$ =2

Vậy với x=1 - $\sqrt{3}$ hoặc x = - 3 - $\sqrt{3}$ thì giá trị của hai biểu thức trên bằng nhau

Ta có: $\sqrt{3}$$x^2$ + 2$\sqrt{5}$ x - 3$\sqrt{3}$ = -$x^2$ - 2$\sqrt{3}$ x +2$\sqrt{5}$ +1

⇔ $\sqrt{3}$ $x^2$ + 2$\sqrt{5}$ x - 3$\sqrt{3}$ + $x^2$ + 2$\sqrt{3}$ x - 2$\sqrt{5}$ – 1= 0

⇔ ($\sqrt{3}$ +1)$x^2$ + (2$\sqrt{5}$+ 2$\sqrt{3}$ )x -3$\sqrt{3}$ - 2$\sqrt{5}$ – 1= 0

⇔ ($\sqrt{3}$+1)x2 + 2($\sqrt{5}$ + $\sqrt{3}$ )x -3$\sqrt{3}$ - 2$\sqrt{5}$ – 1= 0

$∆$' =$b{\text{'}}^2$ – ac= ${\left(\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}^2$ – ($\sqrt{3}$ +$\sqrt{1}$)( -3$\sqrt{3}$ - 2$\sqrt{5}$ – 1)

= 5 + 2$\sqrt{15}$ +3+9 +2$\sqrt{15}$ + $\sqrt{3}$ +3$\sqrt{3}$ +2$\sqrt{5}$ + 1

=18 +4$\sqrt{15}$ +4$\sqrt{3}$ +2$\sqrt{5}$

= 1 + 12 + 5 + 2.2$\sqrt{3}$ + 2$\sqrt{5}$ + 2.2$\sqrt{3}$ .$\sqrt{5}$

= 1 + ${\left(2\sqrt{3}\right)}^2$ + ${\left(\sqrt{5}\right)}^2$ + 2.1.2$\sqrt{3}$ +2.1.$\sqrt{5}$ + 2.2$\sqrt{5}$ .$\sqrt{3}$

= ${\left(1+2\sqrt{3}+\sqrt{5}\right)}^2$ > 0

Khi vận động viên ở độ cao 3m nghĩa là h =3m

Ta có: 3 = -${\left(x-1\right)}^2$ + 4 ⇔ ${\left(x-1\right)}^2$ – 1=0 ⇔ $x^2$ – 2x = 0

⇔ x(x – 2) = 0 ⇔ x=0 hoặc x – 2 =0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2

Vậy x = 0m hoặc x = 2m

Khi vận động viên chạm mặt nước nghĩa là h = 0m

Ta có: 0 =  -${\left(x-1\right)}^2$ + 4 ⇔ $x^2$ -2x -3 =0

$∆$' = $b{\text{'}}^2$ – ac = ${\left(-1\right)}^2$ -1.(-3) =1 +3 = 4 > 0

Vì khoảng cách không thể mang giá trị âm nên x=3m

16$x^2$ – 8x +1=0

Ta có: $∆$' = ${\left(-4\right)}^2$ – 16.1 = 16 -16 =0

Phương trình có nghiệm kép :

5$x^2$ +24x +9 =0

Ta có: $∆$' = ${12}^2$ -5.9 =144 - 45 =99 > 0

$\sqrt{∆\text{'}}=\sqrt{99}=3\sqrt{11}$

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Thay x=-3 vào phương trình 2$x^2$ – $m^2$x +18m =0 ta được:

2${\left(-3\right)}^2$ - $m^2$(-3) + 18m =0 ⇔ 3$m^2$ +18m+18 =0

⇔ $m^2$ + 6m +6 = 0 (có hệ số a = 1, b = 6 nên b’ = 3; c = 6)

$∆$' = $3^2$ -1.6 = 9 -6 =3 > 0

$\sqrt{∆\text{'}}=\sqrt{3}$

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Vậy với m = -3 + $\sqrt{3}$ hoặc m = -3 - $\sqrt{3}$ thì phương trình đã cho có nghiệm x = -3

Thay x = -2 vào phương trình m$x^2$ – x – 5$m^2$ = 0 ta được:

m${\left(-2\right)}^2$– (-2) – 5$m^2$ = 0

⇔ - 5$m^2$ + 4m + 2 = 0

⇔ 5$m^2$ – 4m - 2 = 0 (Có a = 5; b = -4 nên b’ = - 2; c = - 2)

$∆$' = ${\left(-2\right)}^2$ -5.(-2) = 4 + 10 = 14 > 0

$\sqrt{∆\text{'}}=\sqrt{14}$

$x^2$ – 2(m+3)x + $m^2$+3=0     (1)

Ta có: $∆$' = ${\left[-\left(m+3\right)\right]}^2$ -1.($m^2$ +3) = $m^2$ + 6m + 9 – $m^2$ - 3

= 6m +6

Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

$∆$' > 0 ⇔ 6m + 6 > 0 ⇔ 6m > -6 ⇔ m > -1

Vậy m > -1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

(m+1)$x^2$+4mx+4m -1 =0     (2)

Ta có: $∆$' = ${\left(2m\right)}^2$ – (m +1)(4m -1) = 4$m^2$ – 4$m^2$ + m – 4m +1

= 1 – 3m

Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

*m +1 $\ne$ 0 ⇔ m $\ne$ -1

và *$∆$' > 0 ⇔ 1 -3m > 0 ⇔ 3m < 1 ⇔ m < 1/3

Vậy m < 1/3 và m $\ne$ -1 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt

5$x^2$ + 2mx – 2m +15 =0     (1)

Ta có: $∆$'=$m^2$ – 5.(-2m +15) = $m^2$+10m -75

Phương trình (1) có nghiệm kép khi và chỉ khi:

$∆$'= 0 ⇔ $m^2$ + 10m – 75 = 0

$∆$'m = $5^2$ -1.(-75) = 25 +75 = 100 > 0

$\sqrt{\left(∆\text{'}m\right)}=\sqrt{100}$ =10

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Vậy m =5 hoặc m=-15 thì phương trình đã cho có nghiệm kép

m$x^2$ – 4(m -1)x -8 =0     (2)

Phương trình (2) có nghiệm kép khi và chỉ khi: m$\ne$0 và $∆$'=0

Ta có: $∆$'=${\left[-2\left(m-1\right)\right]}^2$ – m(-8)=4($m^2$ -2m +1) +8m

=4$m^2$– 8m +4 +8m = 4$m^2$ +4

Vì 4$m^2$ +4 luôn luôn lớn hơn 0 nên Δ' không thể bằng 0 .Vậy không có giá trị nào của m để phương trình có nghiệm kép

Giả sử $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình bậc hai a$x^2$ + bx + c = 0 có ∆’ = 0

Do đó, phương trình có nghiệm kép 

Chọn B

Hoặc b $\ne$ 0 hoặc c $\ne$ 0 phương trình có :