Bài 2: Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

Ta có: 6! = 720 cách bày bánh kẹo.

Để xác định, các ghế được đánh số từ 1 đến 10 tính từ trái sang phải.

a) Nếu các bạn nam ngồi ở các ghế ghi số lẻ thì các bạn nữ ngồi ở các ghế còn lại. Có 5! cách xếp bạn nam, 5! cách xếp bạn nữ. Tất cả có ${\left(5!\right)}^2$ cách xếp.

Nếu các bạn nam ngồi ở các ghế ghi số chẵn, các bạn nữ ngồi ở các ghế còn lại thì có ${\left(5!\right)}^2$cách xếp nam và nữ.

Vậy có tất cả 2.${\left(5!\right)}^2$cách xếp nam nữ ngồi xen kẽ nhau.

b) Các bạn nam được bố trí ngồi ở các ghế từ k đến k + 4, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Trong mỗi trường hợp có ${\left(5!\right)}^2$cách xếp nam và nữ.

Vậy có 6.${\left(5!\right)}^2$cách xếp mà các bạn nam ngồi cạnh nhau.

a) Có 2. 9 = 18 cách xếp chỗ cho An và Bình ngồi cạnh nhau.

8 bạn kia được xếp vào 8 chỗ còn lại. Vậy có 8! cách xếp 8 bạn còn lại và do đó có 18! 8 cách xếp sao cho An, Bình ngồi cạnh nhau.

b) Có 10! cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn.

Từ đó có 10! - 18. 8! = 72. 8! cách xếp chỗ cho 10 bạn mà An và Bình không ngồi cạnh nhau.

Để xác định, ba bạn được đánh số 1, 2, 3.

Kí hiệu $A_i$ là tập hợp các cách cho mượn mà bạn thứ i được thầy giáo cho mượn lại cuốn đã đọc lần trước (i = 1, 2, 3)

Kí hiệu X là tập hợp các cách cho mượn lại.

Theo bài ra cần tính

$n[X\mathrm{\backslash (}{A}_1\cup A_2\cup A_3)]$

Tacó: 

$$\begin{gathered} n(A_1 \cup A_2 \cup A_3)= n\left(A_1\right) + n\left(A_2\right) + n\left(A_3\right) - n(A_1 \cup A_2) - n(A_1 \cup A_3) - n (A_2 \cup A_3) + n(A_1 \cap A_2 \cap A_3) \\ = 2! + 2! + 2! - 1 - 1 - 1 + 1 = 4n\left(X\right) = 3! = 6 \end{gathered}$$

Từ đó $n[X\mathrm{\backslash (}{A}_1\cup A_2\cup A_3)]=6-4=2$

a) Xếp hai người đàn bà ngồi cạnh nhau.Có 2 cách.

Sau đó xếp đứa trẻ ngồi vào giữa. Có 1 cách.

Xếp 4 người đàn ông vào 4 ghế còn lại. Có 4! cách.

Theo quy tắc nhân, có 2. 4! = 48 cách.

b) Đầu tiên chọn 2 người đàn ông. Có  cách.

Xếp hai người đó ngồi cạnh nhau. Có 2 cách.

Sau đó xếp đứa trẻ vào giữa. Có 1 cách.

Xếp 4 người còn lại vào 4 ghế còn lại. Có 4! cách.

Vậy theo quy tắc nhân, có  cách.

a) Trong trường hợp này, số cách đặt bằng số các nghiệm $(x_1,x_2,x_3)$ nguyên, không âm của phương trình $x_1 + x_{2 }+ x_3 = 3$. Từ đó, đáp số cần tìm là 

b) Quả thứ nhất có 3 cách đặt;

Quả thứ hai có 3 cách đặt;

Quả thứ ba có 3 cách đặt.

Vậy số cách đặt là $3^3 = 27$.

a) Chọn 7 người từ 10 người để lập một nhóm, ba người còn lại vào nhóm khác. Vậy số cách chia là 

b) Ba nhóm tương ứng gồm 5, 3, 2 người, sẽ có số cách chia là 

a) Có  cách chọn hai quyển từ tầng thứ k, k = 1, 2, 3, 4

Vậy có tất cả  cách chọn.

b) Tương tự, có  cách chọn.

Đầu tiên coi các quả là khác nhau. Do vậy có 9! cách chia.

Nhưng các quả cùng loại (táo, cam, chuối) là giống nhau nên nếu các cháu có cùng loại quả đổi cho nhau thì vẫn chỉ là một cách chia. Vì vậy, số cách chia là:

Có thể giải theo các cách như sau:

Chọn 4 trong 9 cháu để phát táo. Có  cách.

Chọn 3 trong 5 cháu còn lại để phát cam. Có  cách.

Chuối sẽ phát cho 2 cháu còn lại.

Vậy có  cách.