Bài 1: Sự xác định đường tròn. Tính chất đối xứng của đường tròn.

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Ta có:

IA = IB = IC = ID (tính chất hình chữ nhật)

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn bán kính AC/2

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông ABC ta có:

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2={16}^2+{12}^2$ = 256 + 144 = 400

Suy ra: AC = $\sqrt{400}$ = 20 (cm)

Vậy bán kính đường tròn là: IA = AC/2 = 20/2 = 10 (cm)

Gọi R là bán kính của đường tròn (O; 2). Ta có: R = 2

$O{A}^2=1^2+1^2$ = 2 ⇒ OA = $\sqrt{2}$< 2

Vì OA < R nên điểm A nằm trong đường tròn (O; 2)

$O{B}^2={\left(\sqrt{2}\right)}^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2$ = 2 + 2 = 4 ⇒ OB = 2

Vì OB = R nên điểm B thuộc đường tròn (O; 2)

$O{C}^2=1^2+2^2$ = 1 + 4 = 5 ⇒ OC = $\sqrt{5}$ > 2

(1) nối với (6)

(2) nối với (5)

(3) nối với (4)

* Cách dựng:

- Dựng đường trung trực của DE cắt Ax tại M

- Dựng đường tròn tâm M bán kính MD

* Chứng minh:

Theo cách dựng ta có: M ∈ Ox

MD = ME (tính chất đường trung trực)

Suy ra: E ∈ (M; MD).

a. Đúng

b. Sai vì hai đường tròn có ba điểm chung phân biệt thì chúng trùng nhau

c. Sai vì tam giác vuông có tâm đường tròn ngoại tiếp nằm trên cạnh huyền, tam giác tù giao điểm của ba đường trung trực nằm ngoài tam giác.

Hình a

Hình b

Lấy ba điểm A, B, C phân biệt trên đường viền.

Dựng đường trung trực của AB và BC. Hai đường trung trực cắt nhau tại O.

OA, OB, OC chính là bán kính của đường viền.

OA = $\sqrt{2}$ < 2 nên điểm O và A nằm trong (A; 2)

AB = 2 nên điểm B nằm trên (A; 2)

AD = 2 nên điểm D nằm trên (A; 2)

AC = 2$\sqrt{2}$ > 2 nên điểm C nằm ngoài (A; 2)

Tam giác BCD nội tiếp trong đường tròn (O) có BC là đường kính nên vuông tại D.

Suy ra: CD ⊥ AB.

Tam giác BCE nội tiếp trong đường tròn (O) có BC là đường kính nên vuông tại E.

Suy ra: BE ⊥ AC.

K là giao điểm của hai đường cao CD và BE nên K là trực tâm của tam giác ABC

Suy ra: AK ⊥ BC

Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên O là giao điểm của ba đường trung trực trong tam giác ABC.

Kẻ AH ⊥ BC. Ta có: O ∈ AH

Trong tam giác vuông ABH, ta có:

Vì tam giác ABC đều nên AH là đường cao cũng đồng thời là trung tuyến nên:

Vậy chọn đáp án C.

Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

Ta có: IA = IB = IC = ID (tính chất của hình vuông)

Vậy bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn. Tâm của đường tròn là I.

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông ABC ta có:

$A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=2^2+2^2$ = 8

Suy ra: AC = 2$\sqrt{2}$ (cm)

Tam giác ABC cân tại A nên AH là đường cao đồng thời cũng là đường trung trực của BC.

Vì O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên O nằm trên đường trung trực của BC hay O thuộc AD.

Suy ra AD là đường kính của (O).

Tam giác ACD nội tiếp trong (O) có AD là đường kính nên suy ra góc CAD = $90°$

Ta có: AH ⊥ BC ⇒ HB = HC = BC/2 = 24/2 = 12(cm)

Áp dụng định lí Pitago vào tam giác vuông ACH ta có:

$A{C}^2=A{H}^2+H{C}^2$

Suy ra: $A{H}^2=A{C}^2-H{C}^2={20}^2-{12}^2$ = 400 - 144 = 256

AH = 16 (cm)

Tam giác ACD vuông tại C nên theo hệ thức liên hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu, ta có:

$A{C}^2$ = AH.AD ⇒ AD = $A{C}^2$/AH = ${20}^2$/16 = 25 (cm)

Vậy bán kính của đường tròn (O) là: R = AD/2 = 25/2 = 12,5 (cm)

Kéo dài đường cao AH cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại D. Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Vì tam giác ABC cân tại A nên AH là đường trung trực của BC. Suy ra AD là đường trung trực của BC.

Khi đó O thuộc AD hay AD là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Tam giác ACD nội tiếp trong (O) có AD là đường kính nên suy ra góc (ACD) = $90°$

Tam giác ACD vuông tại C nên theo hệ thức liên hệ giữa đường cao và hình chiếu, ta có: $C{H}^2$ = HA.HD

* Cách dựng

- Dựng A’ đối xứng với A qua tâm O của đường tròn

- Dựng đường thẳng x là trung trực của A’B

- Gọi giao điểm của đường thẳng x và đường tròn (O) là D

- Dựng đường kính COD

* Chứng minh

Ta có: OA = OA’ và OD = OC

Suy ra tứ giác ACA’D là hình bình hành

Suy ra: AC = A’D

Lại có: A’D = BD (tính chất đường trung trực)

Suy ra: AC = BD

a) Đúng;

b) Sai;

c) Sai;

Hãy chứng minh rằng MNPQ là hình chữ nhật.

Đặt OB = OD = a. Hãy chứng minh OE = a. Tương tự, OF = OG = OH = a. Từ đó suy ra sáu điểm E, B, F, G, D, H cùng thuộc một đường tròn (O;a).