299 câu trắc nghiệm Tổ hợp xác suất từ đề thi đại học có lời giải chi tiết(P9)

Chọn A

Số phần tử của không gian mẫu: $n\left(\Omega \right)$ = 5!

Gọi A:”Hai bạn An và Bình không ngồi cạnh nhau”

Thì $\overline{A}$ :”Hai bạn An và Bình ngồi cạnh nhau”

Xếp An và Bình ngồi cạnh nhau coi như 1 phần tử

-    Xếp 1 phần tử (An+Bình) và 3 bạn còn lại theo các thứ tự khác nhau có: 4! Cách

-    Xếp 2 học sinh An và Bình ngồi cạnh nhau có 2! cách

Suy ra 

Chọn C

CÁCH 1

Xét phép thử “Bạn lớp trưởng nữ chọn ngẫu nhiên 4 học sinh khác trong lớp”

Khi đó: 

Gọi A là biến cố: “4 học sinh được chọn có cả nam và nữ”.

Ta xét các trường hợp:

TH1: Chọn được 1 nữ, 3 nam. Số cách chọn là: 

TH2: Chọn được 2 nữ, 2 nam. Số cách chọn là: .

TH3: Chọn được 3 nữ, 1 nam. Số cách chọn là: .

Suy ra 

Vậy xác suất cần tìm là: 

CÁCH 2

Xét phép thử “Bạn lớp trưởng nữ chọn ngẫu nhiên 4 học sinh khác trong lớp”

Khi đó: 

Gọi A là biến cố: “4 học sinh được chọn có cả nam và nữ” thì  $\overline{A}$  là biến cố: “cả 4 học sinh được chọn chỉ có nam hoặc nữ”.

Ta có 

Do đó xác suất xảy ra của biến cố $\overline{A}$ là: 

Suy ra 

Chọn D

*) Ta có: 

*) Tính n(A): Giả sử 8 chữ số được viết vào 8 ô trống được đánh số từ 1 đến 8

TH1: Xếp bất kỳ

Xếp hai chữ số 1, hai chữ số 2 và 4 chữ số còn lại: Có (cách).

TH2: Số các cách xếp sao cho không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Xếp hai chữ số 1 đứng liền nhau: Có  cách.

Xếp hai chữ số 2 đứng liền nhau: Có  cách.

Số các cách xếp thuộc cả hai trường hợp trên:

+ Coi hai chữ số 1đứng liền nhau là nhóm X, hai chữ số 2 đứng liền nhau là nhóm Y

+ Xếp X, Y và 4 số còn lại có:  (cách)

Vậy số cách xếp không thỏa mãn yêu cầu là:  (cách)

Vậy 

Chọn D

Chọn ngẫu nhiên một quả trong 30 quả có 30 cách. Vậy $n\left(\Omega \right)$ = 30.

Gọi A là biến cố: “lấy được quả cầu màu xanh”.

Ta có n(A) = 20 => P(A) = $\frac{2}{3}$

Gọi B là biến cố: “lấy được quả cầu ghi số lẻ”.

Ta có n(B) = 15 => P(B) = $\frac{1}{2}$.

Số quả cầu vừa màu xanh vừa ghi số lẻ: 10 (quả).

Xác suất để lấy được quả cầu vừa màu xanh vừa ghi số lẻ:

Xác suất để lấy được quả cầu màu xanh hay ghi số lẻ:

Chọn D

Chọn A

Ghi nhớ: Công thức cộng xác suất: 

Chọn A

Gọi A là biến cố “Đội tuyển Việt Nam và đội tuyển Malaysia được xếp trong cùng một bảng”.

Ta có: .

Do đó: .

Chọn C

Số cách xếp 9 quyển sách lên một kệ sách dài là 9! . Suy ra số phần tử không gian mẫu: $n\left(\Omega \right)$ = 9!

Gọi A là biến cố: “các quyển sách cùng một môn nằm cạnh nhau”.

Ta xếp các cuốn sách cùng một bộ môn thành một nhóm

Trước hết ta xếp 2 nhóm lên kệ sách chúng ta có: 2! cách xếp

Với mỗi cách xếp 2 nhóm đó lên kệ ta có 5! cách hoán vị các cuốn sách Toán và 4! cách hoán vị các cuốn sách Văn. Suy ra n(A) = 5!.4!.2!

Xác suất cần tìm là 

Chọn D

Gọi A là biến cố “3 đội của Việt Nam cùng nằm ở một bảng đấu”.

Ta có 

Chọn ra 3 đội của Việt Nam và 1 đội khác rồi xếp chung vào 1 trong 3 bảng có: 3.$C_9^1$ (cách).

Chọn ra 4 đội trong 8 đội còn lại để được bảng tiếp theo có: $C_8^4$ (cách).

Bảng còn lại có 1 cách chọn.

Chọn C

Để xếp 9  em học sinh thành một hàng dọc ta thực hiện ba hành động liên tiếp

* Sắp xếp 3  học sinh lớp B. Có 3! cách.

* Sắp xếp 2 học sinh lớp A đứng cạnh các học sinh lớp B sao cho giữa hai học sinh lớp A không có học sinh lớp B. Có $A_4^1$.2! cách.

* Lần lượt sắp xếp 4 học sinh lớp C còn lại đứng cạnh các học sinh trên. Có $A_9^4$ cách.

Vậy có tất cả 3!$A_4^1$.2!.$A_9^4$

Bình luận: Trong đề thi thử THPT chuyên Thái Nguyên lần 2 trong câu hỏi này không có đáp án 145152 mà thay bởi đáp án 145112. Tôi thiết nghĩ lỗi do người làm đề đã đánh máy nên đã tự ý đổi lại một đáp án khác mà tôi nghĩ  chính xác hơn.

Chọn C.

Giả sử số thứ tự trong danh sách là

Do dãy này là cấp số cộng nên ta có .

Số phần tử của không gian mẫu là $n\left(\Omega \right)$ = 10!

Gọi A là biến cố “Tổng các số thứ tự của hai em ngồi đối diện nhau là bằng nhau”. Để biến cố này xảy ra ta thực hiện liên tiếp các bước sau:

Bước 1: xếp thứ tự 5 cặp học sinh có các cặp số thứ tự là vào trước 5 cặp ghế đối diện nhau. Bước này có 5! cách.

Bước 2: xếp từng cặp một ngồi vào cặp ghế đối diện đã ) Chọn ở bước 1. Bước này có $2^5$ cách.

Suy ra số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 5!.$2^5$.

Vậy xác suất của biến cố A là 

Chọn B

Xếp 9 người vào 9 ghế kê hàng ngang ta có: $\left|\Omega \right|$ =9! cách sắp xếp.

Gọi B là biến cố để “mỗi thầy giáo ngồi giữa 2 học sinh và học sinh A ngồi ở một trong hai đầu hàng.”

Theo đề, học sinh A ngồi ở một trong hai đầu hàng nên có 2 cách sắp xếp.

Xếp 5 học sinh còn lại vào 5 vị trí có 5! cách sắp xếp. Xem mỗi học sinh tạo thành một vách ngăn tạo thành 5 khoảng trống. Xếp 3 thầy vào 5 khoảng trống có $A_5^3$ cách.

 cách.

Chọn C

Ta có số phần tử không gian mẫu: $\left|\Omega \right|$ = 10!.

+) Có 10 cách chọn học sinh cho vị trí số 1. Với mỗi cách chọn vị trí số 1 có 5 cách chọn học sinh cho vị trí số 10 ( Nếu vị trí số 1 là học sinh X thì có 5 cách chọn học sinh ở vị trí 10 là học sinh Y và ngược lại).

+) Có 8 cách chọn học sinh cho vị trí số 2 ( Loại 2 học sinh ở vị trí 10) . Với mỗi cách chọn vị trí số 2 có 4 cách chọn học sinh cho vị trí số 9( Nếu vị trí số 2 là X thì có 4 cách chọn vị trí số 9 là Y, chỉ còn 4 do đã loại 1 em ở lần chọn trước).

+) Hoàn toàn tương tự cho đến hết ta được số phần tử của biến cố cần tính xác suất là: 

Chọn A

 Gọi A là biến cố tồn tại 2 người cạnh nhau có cùng kết quả.

=> $\overline{A}$  là biến cố không tồn tại 2 người cạnh nhau không cùng kết quả.

Các trường hợp của  là  : S-N-S-N hoặc N-S-N-S.

.

Ta có: .

Chọn D

Cách 1:

Số phần tử của không gian mẫu: .

Gọi A là biến cố: “lấy ra 4 viên bi có đủ ba màu”

Ta xét các khả năng của biến cố A: 

TH1: Lấy được 1 bi trắng, 1 bi xanh và 2 bi vàng, trường hợp này có  (cách).

TH2: Lấy được 1 bi trắng, 2 bi xanh và 1 bi vàng, trường hợp này có  (cách).

TH3: Lấy được 2 bi trắng, 1 bi xanh và 1 bi vàng, trường hợp này có  (cách).

Số cách lấy 4 viên bi có đủ cả ba màu là: 

Xác suất cần tìm là 

Cách 2:

Số phần tử của không gian mẫu:

Gọi A là biến cố: “lấy ra 4 viên bi không có đủ ba màu” .

Ta có:

Xác suất của biến cố A là: 

Vậy xác suất cần tìm là: .

Chọn B

Chọn mỗi tổ 2 bạn nên số phần tử của không gian mẫu .

Gọi A là biến cố : “Có đúng 3 bạn nữ trong 4 bạn đi lao động”, khi đó

TH1: Chọn 2 nữ tổ I, 1 nữ tổ II, 1 nam tổ II có .

TH2: Chọn 2 nữ tổ II, 1 nữ tổ I, 1 nam tổ I có .

Suy ra .

Xác suất để chọn 4 bạn đi lao động có đúng 3 bạn nữ là .

Chọn B

Số phần tử của không gian mẫu

Gọi A là biến cố: “chọn được 4 đại biểu để trong đó mỗi nước đều có 1 đại biểu và có cả đại biểu

nam và đại biểu nữ”

Số cách chọn 4 người đủ các nước tức là có một nước có 2 người, hai nước còn lại, mỗi nước 1 người là:.

Số cách chọn 4 người đủ các nước và toàn đại biểu nam là:

Số cách chọn 4 người đủ các nước và toàn đại biểu nữ là:

Số phần tử của A là n(A) = 2499- 12 - 550 = 1937

Xác suất của biến cố A: 

Chọn D

Số cách chọn 6 học sinh từ 15 học sinh là $C_{15}^6$ = 5005(cách)

$\Rightarrow n\left(\Omega \right)$ = 5005

Gọi biến cố A: “Chọn được 6 học sinh đủ 3 khối”

=> $\overline{A}$: “Chọn được 6 học sinh không đủ 3 khối”.

Cách 1

+ Trường hợp 1: Chọn 6 học sinh từ 1 khối 1 => Chọn 6 học sinh khối 10 có $C_6^6$ = 1 (cách).

+ Trường hợp 2: 6 học sinh được chọn trong 2 khối.

* Chọn 6 học sinh trong khối 11 và khối 12 có  (cách).

* Chọn 6 học sinh trong khối 10 và khối 12 có (cách)

* Chọn 6 học sinh trong khối 11 và khối 10 có  (cách).

Từ 2 trường hợp suy ra

.0

Cách 2

+ Trường hợp 1: Chọn 6 học sinh từ 1 khối => Chọn 6 học sinh khối 10 có $C_6^6$ = 1 (cách).

+ Trường hợp 2: 6 học sinh được chọn trong 2 khối có 

Từ 2 trường hợp suy ra 

Chọn B

Số phần tử của không gian mẫu là số cách sắp xếp 8 học sinh vào 8 chỗ ngồi khác nhau. Suy ra $n\left(\Omega \right)$ = 8!

Gọi A là biến cố xếp 8 học sinh sao cho mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ và không có hai học sinh cùng giới ngồi cạnh nhau. Ta đánh số các chỗ ngồi từ 1 đến 8 như sau:

Dãy 1:

Dãy 2:

Để sắp xếp các học sinh ngồi vào vị trí thỏa mãn yêu cầu bài toán ta sắp xếp như sau:

Trường hợp 1: 4 học sinh nam ngồi vào các số lẻ, 4 học sinh nữ ngồi vào các số chẵn. Trường hợp này có 4!4! cách.

Trường hợp 2: 4 học sinh nam ngồi vào các số chẵn, 4 học sinh nữ ngồi vào các số lẻ. Trường hợp này có 414! cách.

Do đó n(A) = 2.4!.4!

Vậy xác suất của biến cố A là 

Chọn B

Không gian mẫu $n\left(\Omega \right)$ = $C_7^4$

Gọi biến cố A: “Minh Anh được chọn trong 4 học sinh được chọn đi thi.”

+ Chọn Minh Anh đi thi có 1 cách.

+ Chọn 3 bạn trong 6 bạn còn lại có $C_6^3$ cách.

Suy ra n(A) = 1.$C_6^3$ = 20

Vậy xác suất để Minh Anh được chọn đi thi là: .

Chọn B

Gọi $\Omega$ là không gian mẫu. Ta có: $n\left(\Omega \right)$ = 10!.

Gọi A là biến cố: “Xếp 10 bạn thành một hàng ngang không có bất kì bạn nữ nào đứng cạnh nhau”.

Xếp ngẫu nhiên 5 bạn nam vào 5 vị trí có 5! cách.

Xếp 5 bạn nữ xen vào giữa 4 khoảng trống giữa 5 bạn nam, vị trí đầu và cuối hàng có $A_6^5$ cách.

* Phân tích bài toán

- Bài toán trên dùng phương pháp tạo vách ngăn để giải quyết.

- Nội dung của phương pháp.

Sắp xếp m đối tượng khác nhau thuộc nhóm 1 và n đối tượng khác nhau thuộc nhóm 2 vào m+n (m > n) vị trí khác nhau sao cho thỏa mãn không có hai vật nhóm 2 nào đứng cạnh nhau.

- Cách giải:

+ Bước 1: Sắp xếp m vào m vị trí sẽ tạo ra m+1 vách ngăn.

+ Bước 2: Sắp xếp n đối tượng còn lại theo yêu càu bài toán vào m+1 vách ngăn vừa tạo.

Chọn D

Gọi $\Omega$ là không gian mẫu. Ta có: n($\Omega$) = 18!.

Gọi A là biến cố: “Xếp 18 quyển sách lên giá sách theo một hàng ngang sao cho không có bất kỳ hai quyển sách Hóa đứng cạnh nhau”.

Xếp ngẫu nhiên 10 quyển sách gồm 4 quyển sách Toán và 6 quyển sách Lý vào 10 vị trí có 10! cách.

Xếp 8 quyển sách Hóa vào 9 khoảng trống giữa 10 quyển sách Toán và Lý, vị trí đầu và cuối giá sách có $A_{11}^8$ cách.

=> n(A) = 10!.$A_{11}^8$

Chọn B

Gọi $\Omega$ là không gian mẫu. Ta có: n($\Omega$) = 5!.

Gọi A là biến cố: “Xếp 5 viên bi được đánh số từ 1 đến 5 vào năm chiếc hộp sao cho các viên bi được đánh số chẵn nằm trong các hộp đứng cạnh nhau ”.

Xếp 2 viên bi có đánh số chẵn (viên bi số 2 và viên bi số 4) vào 2 hộp đứng cạnh nhau  có 2! cách.

Ta coi việc xếp 2 viên bi chẵn vào hai chiếc hộp đứng cạnh nhau là xếp chúng vào một chiếc hộp lớn.

Xếp 3 viên bi có đánh số lẻ (viên bi số 1, viên bi số 3 và viên bi số 5) vào 3 chiếc hộp và 2 viên bi đánh số chẵn (viên bi số 2 và viên bi số 4) vào 1 chiếc hộp lớn nên ta có 4 chiếc hộp để sắp xếp, vậy có 4! cách.

Vậy n(A) = 2!.4! 

Chọn C

Số cách xếp ngẫu nhiên là 10! cách.

Ta tìm số cách xếp thoả mãn:

* Trước tiên xếp 2 học sinh lớp A có 2! cách.

Vì giữa hai học sinh lớp A không có học sinh lớp B nên chỉ có thể xếp học sinh lớp C vào giữa hai học sinh lớp A vừa xếp:

* Vậy chọn  học sinh lớp C rồi xếp vào giữa hai học sinh lớp A có $A_5^k$ cách, ta được một nhóm X.

* Xếp  học sinh còn lại với nhóm X có (9-k)! cách.

Vậy tất cả có  cách xếp thỏa mãn.

Xác suất cần tính bằng 

Chọn D

Giá có 3 ngăn như vậy có 2 vách ngăn, coi 2 vách ngăn này là 2 quyển sách giống nhau. Khi đó

bài toán trở thành xếp 14 quyển sách (2 quyển “VÁCH NGĂN” giống nhau) vào 14 vị trí. Đầu

tiên chọn 2 vị trị trí xếp vách ngăn là $C_{14}^2$, 12 vị trí còn lại xếp 12 quyển sách là 12!. Vậy không gian mẫu là $C_{14}^2$.12!.

Gọi A là biến cố “không có bất kì hai quyển sách toán nào đứng cạnh nhau”. Ta tìm số cách xếp thỏa mãn A

Đầu tiên ta xếp 11 quyển sách gồm 4 quyển lí, 5 quyển hóa và 2 quyển “VÁCH NGĂN”. Cũng

như trên, ta chọn 2 vị trí xếp 2 quyển “VÁCH NGĂN” trước là $C_{11}^2$sau đó xếp 9 quyển còn lại là 9!. Vậy số cách xếp 11 quyển này là $C_{11}^2$.9!. Sau khi xếp xong 11 quyển này thì sẽ có sẽ có 12 khe. Ta chọn 3 khe để xếp 3 quyển toán còn lại, là $A_{12}^3$.

Vậy số cách thỏa mãn biến cố A là .$C_{11}^2$.9!.$A_{12}^3$

Vậy .

Chọn C

Số các số tự nhiên có hai chữ số phân biệt là 9.9 = 81 số.

Số phần tử của không gian mẫu là

Gọi A là biến cố “Hai chữ số được viết ra có ít nhất một chữ số chung”

Khi đó ta có biến cố $\overline{A}$ là “Hai chữ số được viết ra không có chữ số chung”

Gọi hai chữ số mà Công và Thành viết ra lần lượt là $\overline{ab} và \overline{cd}$

-  TH1: b = 0, khi đó a có 9 cách, c có 8 cách và d có 7 cách. Vậy có 9.8.7 = 504 cách viết.

- TH2: b $\ne$0, khi đó a có 9 cách, b có 8 cách, c có 7 cách và d có 7 cách. Vậy có 9.8.7.7 = 3528 cách viết.

cách viết.

Vậy xác suất của biến cố A là: 

Nhận xét: Đây là một bài toán xác suất chọn số. Đối với bài toán này, ta sẽ đi theo hướng tính gián tiếp thông qua phần bù. Khi đó cách làm sẽ ngắn hơn và tránh nhầm lẫn không đáng có.

Chọn A

Ta có không gian mẫu là 

Gọi A là biến cố “3 số được chọn lập thành một cấp số cộng”

Giả sử 3 số được chọn là a,b,c theo thứ tự lập thành cấp số cộng => a + c = 2b. Do đó a + c là một số chẵn nên a và c cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

Chia S thành 2 tập 

Ứng với mỗi cách chọn a và c thì chỉ có một cách chọn b tương ứng.

Vậy xác suất của biến cố A là

Chọn B

Bước 1: ta xếp các số lẻ: có các số lẻ là 1,1,3,5 vậy có $\frac{5!}{3!}$ cách xếp.

Bước 2: ta xếp 3 số chẵn 2, 4, 6 xen kẽ 5 số lẻ trên có 6 vị trí để xếp 3 số vậy có $A_6^3$ cách xếp.

Vậy có $\frac{5!}{3!}$$A_6^3$ = 2400 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D

Số phần tử của không gian mẫu là: .

Gọi A là biến cố “chọn được 4 đại biểu sao cho mỗi Quốc gia đều có ít nhất 1 đại biểu và có cả đại biểu nam và nữ.”

Trường hợp 1: có 2  đại biểu Việt Nam, 1 đại biểu Mỹ, 1 đại biểu Anh.

Số cách chọn ra 4 đại biểu có cả đại biểu nam và đại biểu nữ thỏa mãn trường hợp 1 là: cách chọn.

Trường hợp 2: Có 1  đại biểu Việt Nam, 2 đại biểu Mỹ,1  đại biểu Anh.

Số cách chọn ra 4 đại biểu có cả đại biểu nam và đại biểu nữ thỏa mãn trường hợp 2 là:

Trường hợp 3: Có 1 đại biểu Việt Nam, 1 đại biểu Mỹ, 2 đại biểu Anh.

Số cách chọn ra 4 đại biểu có cả đại biểu nam và đại biểu nữ thỏa mãn trường hợp 3 là: .

Nên tổng số cách chọn thỏa mãn yêu cầu là: 581 + 678 + 678 = 1937.

Vậy xác suất của biến cố A là: .

Chọn D

Xếp ngẫu nhiên tám học sinh thành hàng ngang, có 8! cách. Suy ra $n\left(\Omega \right)$ = 8! = 40320

Gọi A là biến cố cần tính xác suất.

Ta coi Hoàng, Lan, Nam ( Lan ở giữa) là một nhóm. Khi đó vì hai bên nhóm này bắt buộc là nữ nên coi nhóm này là một nam. Vậy có thể coi ta có ba nam và ba nữ.

Khi đó có hai trường hợp xảy ra.

Trường hợp 1: Nam ngồi vị trí lẻ.

Xếp ba nam vào vị trí lẻ có 3! cách.

Xếp ba nữ vào vị trí chẵn có 3! cách.

Hoán vị hai học sinh nam trong nhóm ( Hoàng- Lan- Nam) có 2! cách.

Vậy số cách sắp xếp trong trường hợp này là 3!.3!.2! = 72 cách.

Trường hợp 2: Nam ngồi vị trí chẵn.

Tương tự trường hợp này có 3!.3!.2! = 72 cách.

Suy ra n(A) = 72 + 72 = 144 cách.

Vậy 

Chọn B

Số phần tử của không gian mẫu là: .

Gọi A: “ Biến cố lấy đồng thời ngẫu nhiên hai quả cầu sao cho tích của các số trên hai quả cầu chia hết cho 10”.

TH1: Hai quả cầu bốc được có chữ số tận cùng là 0 có $C_6^2$ (cách).

TH2: Hai quả cầu bốc được có 1 quả cầu có chữ số tận cùng là 0 có  (cách).

TH3: Hai quả cầu bốc được có 1 quả cầu có chữ số tận cùng là 5 và 1 quả cầu có chữ số tận cùng là 2,3,6,8 có 

Khi đó số phần tử của biến cố A là .

Vậy xác suất của biến cố A là: