Đáp án đúng là: B

\(\cos 3x = \cos 12^\circ \)\( \Leftrightarrow \cos 3x = \cos \frac{\pi }{{15}}\)

\( \Leftrightarrow 3x =  \pm \frac{\pi }{{15}} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow x =  \pm \frac{\pi }{{45}} + \frac{{k2\pi }}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án đúng là: D

\(2\cos \frac{x}{2} + \sqrt 3  = 0 \Leftrightarrow \cos \frac{x}{2} =  - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \frac{x}{2} =  \pm \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi  \Leftrightarrow x =  \pm \frac{{5\pi }}{3} + k4\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Đáp án đúng là: A

Áp dụng điều kiện có nghiệm của phương trình \[\cos x = a\].

- Phương trình có nghiệm khi \[\left| a \right| \le 1\].

- Phương trình vô nghiệm khi \[\left| a \right| > 1\].

Phương trình \[\cos x - m = 0 \Leftrightarrow \cos x = m\].

Do đó, phương trình \[\cos x = m\] vô nghiệm \[ \Leftrightarrow \left| m \right| > 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m <  - 1\\m > 1\end{array} \right.\].

Đáp án đúng là: C

Đặt \(x + \frac{\pi }{4} = \alpha \). Khi đó ta có phương trình \({\rm{sin}}\alpha  = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\).

Xét đường thẳng \({\rm{y}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) và đồ thị hàm số \(y = \sin a\) trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right]\):

Từ đồ thị hàm số trên ta thấy đường thẳng \(y = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\) cắt đồ thị số \(y = \sin a\) trên đoạn \(\left[ {0;\,\,\pi } \right]\) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là \({\alpha _1} = \frac{\pi }{4}\) và \({\alpha _2} = \frac{{3\pi }}{4}\).

Mà \(x + \frac{\pi }{4} = \alpha \), khi đó ta sẽ tìm được 2 giá trị \(x\) là \({x_1} = 0\) và \({x_2} = \frac{\pi }{2}\).

Đáp án đúng là: A  

Ta có: \(\cos 2x + \sin x + m = 0 \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x - \sin x - m - 1 = 0\)

Đặt \(t = \sin x\), điều kiện \(t \in \left[ { - \frac{1}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]\)

PT trở thành \(2{t^2} - t - m - 1 = 0\left( 1 \right)\)

YCBT \( \Leftrightarrow {\rm{PT}}\left( 1 \right)\) có nghiệm thuộc \(\left[ { - \frac{1}{2};\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right]\).

Số nghiệm của PT (1) là số giao điểm của parabol \(\left( P \right):y = 2{t^2} - t - 1\) và đường thẳng \(d:y = m\) (song song hoặc trùng \(Ox\))

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên \( - \frac{9}{8} \le m \le 0\). Vì \(m \in \mathbb{Z}\) nên \(m \in \left\{ { - 1;0} \right\}\).

Ta có \(\sqrt 2 \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) - 1 = 0 \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \cos \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{4}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{4} + k2\pi }\\{2x + \frac{\pi }{4} =  - \frac{\pi }{4} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = k\pi }\\{x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

+ Xét nghiệm  \(x = k\pi \): Do \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) nên \(0 < k\pi  < \pi  \Leftrightarrow 0 < k < 1\) loại do \(\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

+ Xét nghiệm \(x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \): Do \(x \in \left( {0;\pi } \right)\) nên \(0 <  - \frac{\pi }{4} + k\pi  < \pi  \Leftrightarrow \frac{1}{4} < k < \frac{5}{4}\), do đó \(k = 1 \Rightarrow x = \frac{{3\pi }}{4}.\)

Vậy trên khoảng \(\left( {0;\pi } \right)\) phương trình \(\left( 1 \right)\) có tập nghiệm là \(S = \left\{ {\frac{{3\pi }}{4}} \right\}.\)

+ Xét nghiệm  \(x = k\pi \):

Do \(x \in \left( { - 3\pi ;3\pi } \right)\) nên \( - 3\pi  < k\pi  < 3\pi  \Leftrightarrow  - 3 < k < 3\)  do \(k \in \mathbb{Z}\) nên \(k \in \left\{ { \pm 1; \pm 2;0} \right\}\).

Vây trên khoảng \(\left( { - 3\pi ;3\pi } \right)\) phương trình có các nghiệm là \( \pm 2\pi ; \pm \pi ;0\). Tổng các nghiệm này là \({S_1} = 0\).

+ Xét nghiệm  \(x =  - \frac{\pi }{4} + k\pi \):

Do \(x \in \left( { - 3\pi ;3\pi } \right)\) nên \( - 3\pi  <  - \frac{\pi }{4} + k\pi  < 3\pi  \Leftrightarrow  - \frac{{11}}{4} < k < \frac{{13}}{4}\)  do \(k \in \mathbb{Z}\) nên\(k \in \left\{ { - 2; - 1;0;1;2;3} \right\}\).

Vây trên khoảng \(\left( { - 3\pi ;3\pi } \right)\) phương trình có các nghiệm là

\(x =  - \frac{{9\pi }}{4};x =  - \frac{{5\pi }}{4};x =  - \frac{\pi }{4};x = \frac{{3\pi }}{4};x = \frac{{7\pi }}{4};x = \frac{{11\pi }}{4}\).

Tổng các nghiệm này là \({S_2} = \frac{{3\pi }}{2}\).

Vậy tổng các nghiệm của phương trình \(\left( 1 \right)\) trong khoảng \(\left( { - 3\pi ;3\pi } \right)\) là  \(S = {S_1} + {S_2} = \frac{{3\pi }}{2}.\)

Đáp án:           a) Đúng,          b) Sai,             c) Đúng,          d) Sai.

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số:

\[\begin{array}{l}\sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) \Leftrightarrow \sin \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right) = \sin x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - \frac{\pi }{4} = x + k2\pi }\\{x - \frac{\pi }{4} = \pi  - x + k2\pi }\end{array}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\\ \Leftrightarrow 2x = \frac{{5\pi }}{4} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Leftrightarrow x = \frac{{5\pi }}{8} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}\]

Vì \[x \in \left[ {0\,;2\pi } \right] \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{{5\pi }}{8};\frac{{13\pi }}{8}} \right\}\].

Với \[x = \frac{{5\pi }}{8} \Rightarrow y = \sin \frac{{5\pi }}{8} \Rightarrow A\left( {\frac{{5\pi }}{8};\sin \frac{{5\pi }}{8}} \right)\],

với \[x = \frac{{13\pi }}{8} \Rightarrow y = \sin \frac{{13\pi }}{8} \Rightarrow B\left( {\frac{{13\pi }}{8};\sin \frac{{13\pi }}{8}} \right)\],

với \[x = \frac{{21\pi }}{8} \Rightarrow y = \sin \frac{{21\pi }}{8} \Rightarrow C\left( {\frac{{21\pi }}{8};\sin \frac{{21\pi }}{8}} \right)\].

 Vì \[I\]là trung điểm của \[AC\]

\[ \Rightarrow I\left( {\frac{{13\pi }}{{16}};\frac{{\sin \left( {\frac{{5\pi }}{8}} \right) + \sin \left( {\frac{{21\pi }}{8}} \right)}}{2}} \right) = \left( {\frac{{13\pi }}{{16}};\frac{{2.\sin \left( {\frac{{13\pi }}{4}} \right).\cos \left( { - 2\pi } \right)}}{2}} \right) = \left( {\frac{{13\pi }}{{16}};\sin \left( {\frac{{13\pi }}{4}} \right)} \right)\].

Đáp án:           a) Đúng,          b) Sai,             c) Đúng,          d) Đúng.

Hạ bậc hai vế, ta được phương trình \(\frac{{1 - \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right)}}{2} = \frac{{1 + \cos \left( {2x + \pi } \right)}}{2}\).

Ta có\(\cos \left( {2x + \pi } \right) = - \cos 2x\) (Áp dụng giá trị lượng giác của 2 cung hơn kém \(\pi \)).

\(\frac{{1 - \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right)}}{2} = \frac{{1 + \cos \left( {2x + \pi } \right)}}{2} \Leftrightarrow - \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos \left( {2x + \pi } \right) \Leftrightarrow - \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right) = - \cos \left( {2x} \right)\).

\[ \Leftrightarrow \cos \left( {4x + \frac{\pi }{2}} \right) = \cos 2x \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x + \frac{\pi }{2} = 2x + k2\pi \\4x + \frac{\pi }{2} = - 2x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{{12}} + k\frac{\pi }{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Đáp án:           a) Sai,             b) Đúng,         c) Đúng,          d) Sai.

Ta có \(\tan \left( {2x - 15^\circ } \right) = 1 \Leftrightarrow 2x - 15^\circ = 45^\circ + k90^\circ \Leftrightarrow x = 30^\circ + k90^\circ \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Với \(k = - 1\), ta có \(x = - 60^\circ \) là nghiệm âm lớn nhất của phương trình (*).

\( - 180^\circ < x < 90^\circ \Rightarrow - 180^\circ < 30^\circ + k90^\circ < 90^\circ \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right) \Rightarrow k \in \left\{ { - 2; - 1;0} \right\}\)\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 150^\circ }\\{x = - 60^\circ }\\{x = 30^\circ }\end{array}} \right.\).

Đáp án:           a) Đúng,          b) Sai,             c) Sai,              d) Sai.

Vì \[ - 1 \le \sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1\]\[ \Rightarrow 11 \le h \le 17\].

Do đó \[\max h = 17\]\[ \Leftrightarrow \sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3}} \right) = 1\]\[ \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \]\[ \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{4} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \]\[ \Leftrightarrow t = \frac{2}{3} + 6k,\,k \in \mathbb{Z}\].

Thời gian ngắn nhất để mực nước của kênh cao nhất \[t = \frac{2}{3}\left( h \right)\].

Vậy \[a.b = 2.3 = 6\]

Đáp án: 6.

Ta có \( - 1 \le \sin \left( {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right) \le 1\)\( \Leftrightarrow 9,17 \le 12 + 2,83\sin \left( {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right) \le 14,83\).

Như vậy có thể thấy số giờ có ánh sáng mặt trời nhiều nhất là \(14,83\) (giờ) và xảy ra khi

\(\sin \left( {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right) = 1\)\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi ,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)\( \Leftrightarrow t - 80 = 91 + 366k\)\( \Leftrightarrow t = 171 + 366k\)

Vì \(0 < t \le 366\) nên \(0 < 171 + 366k \le 366\)\( \Leftrightarrow - \frac{{171}}{{366}} < k \le \frac{{195}}{{366}}\)\( \Rightarrow k = 0\) vì \(k \in \mathbb{Z}\).

Với \(k = 0\)\( \Rightarrow t = 171\).

Có thể thấy năm 2024 là năm nhuận, nên với \(t = 171\) thì ngày có số giờ ánh sáng mặt trời nhiều nhất là ngày 19 tháng 6.

Đáp án: \(19\).

Khi vật đi qua vị trí cân bằng thì \(x = 0\), ta có:

\(2\cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow \cos \left( {5t - \frac{\pi }{6}} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 5t - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{2} + k\pi \), \(k \in \mathbb{Z}\)

\( \Leftrightarrow 5t = \frac{{2\pi }}{3} + k\pi \) , \(k \in \mathbb{Z}\)\( \Leftrightarrow t = \frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{{k\pi }}{5}\),\(k \in \mathbb{Z}\).

Trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, ta có: \(0 \le \frac{{2\pi }}{{15}} + \frac{{k\pi }}{5} \le 6\)\( \Leftrightarrow \frac{{ - 2}}{3} \le k \le \frac{{90 - 2\pi }}{{3\pi }}\).

Vì $k\in \mathbb{Z}\Rightarrow k\in \left\{0;1;2;3;4;5;6;7;8\right\}$

Vậy trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng 9 lần.

Đáp án: \(9\).

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:

\[AD = 3 \Leftrightarrow 2\cos \frac{x}{2} + 2 = 3 \Leftrightarrow \cos \frac{x}{2} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{3} + k4\pi \\x = \frac{{ - 2\pi }}{3} + k4\pi \end{array} \right.(k \in \mathbb{Z})\]

Chọn \[A\left( {\frac{{ - 2\pi }}{3};3} \right);B\left( {\frac{{2\pi }}{3};3} \right);C\left( {\frac{{2\pi }}{3};0} \right);D\left( {\frac{{ - 2\pi }}{3};0} \right)\].

Khi đó, \[AB = \frac{{4\pi }}{3};AD = 3 \Rightarrow {S_{ABCD}} = 4\pi \,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}} \approx {\rm{12,6}}\,\,{\rm{(}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}{\rm{)}}\].

Đáp án: \(12,6\).

Khi \(s = 4,3\) thì \(8,6\cos \left( {8t + \frac{\pi }{2}} \right) = 4,3 \Rightarrow \cos \left( {8t + \frac{\pi }{2}} \right) = \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{8t + \frac{\pi }{2} = \frac{\pi }{3} + k2\pi }\\{8t + \frac{\pi }{2} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi }\end{array}(k \in \mathbb{Z}) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{t = - \frac{\pi }{{48}} + k\frac{\pi }{4}}\\{t = - \frac{{5\pi }}{{48}} + k\frac{\pi }{4}}\end{array}(k \in \mathbb{Z}).} \right.} \right.\)

Vì \(t \in \left( {0\,;2} \right)\) nên có \(4\) giá trị \(t\) thoả mãn là: \({t_1} \approx 0,72\;s;{t_2} \approx 1,51\;s;{t_3} \approx 0,46\;s;\,{t_4} \approx 0,1,24\;s\).

Vậy tại 4 thời điểm trong khoảng 2 giây đầu tiên thì \(s = 4,3\;\) cm.

Đáp án: 4.