20 câu trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Phương trình lượng giác cơ bản có đáp án
20 câu hỏi
Nghiệm của phương trình \[{\rm{cosx = cos}}\frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{12}}}}\]là
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{x = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{12}}}}{\rm{ + k2\pi }}}\\{{\rm{x = }}\frac{{{\rm{11\pi }}}}{{{\rm{12}}}}{\rm{ + }}l{\rm{2\pi }}}\end{array}} \right.\left( {k,l \in \mathbb{Z}} \right)\)
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{x = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{12}}}}{\rm{ + k2\pi }}}\\{{\rm{x = }} - \frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{12}}}}{\rm{ + k2\pi }}}\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\({\rm{x = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{12}}}}{\rm{ + k2\pi }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\({\rm{x = }}\frac{{{\rm{11\pi }}}}{{{\rm{12}}}}{\rm{ + k2\pi }}\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\[{\rm{cosx = cos}}\frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{12}}}} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{x = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{12}}}}{\rm{ + k2\pi }}}\\{{\rm{x = }} - \frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{12}}}}{\rm{ + k2\pi }}}\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]
Đáp án cần chọn là: B
Giải phương trình \[\sqrt {\rm{3}} {\rm{tan2x}} - {\rm{3 = 0}}\]
\[{\rm{x = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}}{\rm{ + k\pi }}\,\,\left( {{\rm{k}} \in \mathbb{Z}} \right)\]
\[{\rm{x = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}{\rm{ + k}}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}\,\,\left( {{\rm{k}} \in \mathbb{Z}} \right)\]
\[{\rm{x = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}{\rm{ + k\pi }}\,\,\left( {{\rm{k}} \in \mathbb{Z}} \right)\]
\[{\rm{x = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}}{\rm{ + k}}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}\,\,\left( {{\rm{k}} \in \mathbb{Z}} \right)\]
\[\sqrt {\rm{3}} {\rm{tan2x}} - {\rm{3 = 0}} \Leftrightarrow {\rm{tan2x = }}\sqrt {\rm{3}} \Leftrightarrow {\rm{2x = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}{\rm{ + k\pi }} \Leftrightarrow {\rm{x = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}}{\rm{ + k}}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}\left( {{\rm{k}} \in \mathbb{Z}} \right)\]
Đáp án cần chọn là: D
Tìm nghiệm của phương trình \[{\rm{2sinx}} - {\rm{3 = 0}}\]
\[{\rm{x}} \in \emptyset \]
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{x = arcsin}}\left( {\frac{{\rm{3}}}{{\rm{2}}}} \right){\rm{ + k2\pi }}}\\{{\rm{x = \pi }} - {\rm{arcsin}}\left( {\frac{{\rm{3}}}{{\rm{2}}}} \right){\rm{ + k2\pi }}}\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\(\left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{x = arcsin}}\left( {\frac{{\rm{3}}}{{\rm{2}}}} \right){\rm{ + k2\pi }}}\\{{\rm{x = }} - {\rm{arcsin}}\left( {\frac{{\rm{3}}}{{\rm{2}}}} \right){\rm{ + k2\pi }}}\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)
\(x \in \mathbb{R}\)
Ta có:\[{\rm{2sinx}} - {\rm{3 = 0}} \Leftrightarrow {\rm{sinx = }}\frac{{\rm{3}}}{{\rm{2}}} > 1\] nên phương trình vô nghiệm.
Đáp án cần chọn là: A
Tìm số nghiệm thuộc đoạn\[\left[ {{\rm{\pi ; 2\pi }}} \right]\]của phương trình\[{\rm{sin}}\left( {{\rm{x + }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}}} \right){\rm{ = 1}}\]
0
1
2
3
\[{\rm{sin}}\left( {{\rm{x + }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}}} \right){\rm{ = 1}} \Leftrightarrow {\rm{x + }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{ + k2\pi }} \Leftrightarrow {\rm{x = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}}{\rm{ + k2\pi ,}}\,\,{\rm{k}} \in \mathbb{Z}\]
\[{\rm{x}} \in \left[ {{\rm{\pi ; 2\pi }}} \right] \Rightarrow {\rm{\pi }} \le \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}}{\rm{ + k2\pi }} \le {\rm{2\pi }} \Leftrightarrow \frac{{\rm{3}}}{{\rm{8}}} \le {\rm{k}} \le \frac{{\rm{7}}}{{\rm{8}}}\]
Mà\[{\rm{k}} \in \mathbb{Z} \Rightarrow {\rm{k}} \in \emptyset \]phương trình không có nghiệm trên đoạn\[\left[ {{\rm{\pi ; 2\pi }}} \right]\]
Đáp án cần chọn là: A
Gọi nghiệm lớn nhất trên khoảng\[\left( {{\rm{0; \pi }}} \right)\] của phương trình \[{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x + co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{4x = 1}}\]có dạng\[{{\rm{x}}_{\rm{0}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{\pi a}}}}{{\rm{b}}}\]. Tính giá trị biểu thức\[{\rm{P = }}{{\rm{a}}^{\rm{2}}}{\rm{ + }}{{\rm{b}}^{\rm{2}}}\]
29
41
34
13
\[{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x + co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{4x = 1}} \Leftrightarrow {\mathop{\rm c}\nolimits} {\rm{o}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{4x = co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x}} \Leftrightarrow {\mathop{\rm c}\nolimits} {\rm{os8x = cos2x}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\,{\rm{ = }}\,\frac{{k\pi }}{3}}\\{x\,{\rm{ = }}\,\frac{{l\pi }}{5}}\end{array};\left( {k,l \in \mathbb{Z}} \right)} \right.\]
Mà \(x \in \left( {0;\pi } \right) \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < k\frac{\pi }{3} < \pi }\\{0 < k\frac{\pi }{5} < \pi }\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 < k < 3 \Rightarrow k\,{\rm{ = }}1;\,k\,{\rm{ = }}\,2}\\{0 < l < 5 \Rightarrow l = 1;l{\rm{ = }}2;\,l\,{\rm{ = }}\,4}\end{array}} \right.\)
\[ \Rightarrow {\rm{x}} \in \left\{ {\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}{\rm{; }}\frac{{{\rm{2\pi }}}}{{\rm{3}}}{\rm{; }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{5}}}{\rm{; }}\frac{{{\rm{2\pi }}}}{{\rm{5}}}{\rm{; }}\frac{{{\rm{3\pi }}}}{{\rm{5}}}{\rm{; }}\frac{{{\rm{4\pi }}}}{{\rm{5}}}} \right\}\]
Suy ra nghiệm lớn nhất là \[{{\rm{x}}_{\rm{0}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{4\pi }}}}{{\rm{5}}} \Leftrightarrow {\rm{P = 41}}\]Đáp án cần chọn là: B
Tìm tập nghiệm của phương trình \[{\rm{tan3x + tanx = 0}}\]
\[\left\{ {\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}}{\rm{ + }}\frac{{{\rm{k\pi }}}}{{\rm{2}}}} \right\}\]
\[\left\{ {\frac{{{\rm{k\pi }}}}{{\rm{4}}}} \right\}\]
\[\left\{ {{\rm{k\pi ; }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}}{\rm{ + }}\frac{{{\rm{k\pi }}}}{{\rm{2}}}} \right\}\]
\[\left\{ {{\rm{k\pi ; }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}}{\rm{ + k\pi }}} \right\}\]
Điều kiện:\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{cos3x \ne 0}\\{cosx \ne 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ne \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3}}\\{x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow x \ne \frac{\pi }{6} + \frac{{k\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}\)
\[{\rm{tan3x + tanx = 0}} \Leftrightarrow {\rm{tan3x = tan}}\left( { - {\rm{x}}} \right) \Leftrightarrow {\rm{3x = }} - {\rm{x + k\pi }} \Leftrightarrow {\rm{x = }}\frac{{l{\rm{\pi }}}}{{\rm{4}}}{\rm{,}}\,\,{\rm{k}} \in \mathbb{Z}\]
So sánh điều kiện suy ra nghiệm của phương trình là\[{\rm{x = k\pi ;}}\,\,{\rm{x = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}}{\rm{ + }}\frac{{{\rm{k\pi }}}}{{\rm{2}}}\]
Đáp án cần chọn là: C
Tính tổng S các nghiệm trên đoạn \[\left[ {{\rm{0; 2\pi }}} \right]\] của phương trình\[\frac{{{\rm{cos2x}}}}{{{\rm{1}} - {\rm{sin2x}}}}{\rm{ = 0}}\]
\[{\rm{S = }}\frac{{{\rm{3\pi }}}}{{\rm{2}}}\]
\[{\rm{S = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}\]
\[{\rm{S = 4\pi }}\]
\[{\rm{S = }}\frac{{{\rm{5\pi }}}}{{\rm{2}}}\]
Điều kiện : \[{\rm{sin2x}} \ne 1 \Leftrightarrow {\rm{x}} \ne \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}}{\rm{ + k\pi ,}}\,\,{\rm{k}} \in \mathbb{Z}\]
\[\frac{{{\rm{cos2x}}}}{{{\rm{1}} - {\rm{sin2x}}}}{\rm{ = 0}} \Leftrightarrow {\rm{cos2x = 0}} \Leftrightarrow {\rm{x = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}}{\rm{ + }}\frac{{{\rm{k\pi }}}}{{\rm{2}}}{\rm{,}}\,\,{\rm{k}} \in \mathbb{Z}\]
So sánh điều kiện\[ \Rightarrow {\rm{x = }} - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}}{\rm{ + k\pi ,}}\,\,{\rm{k}} \in \mathbb{Z}\]
\[{\rm{x}} \in \left[ {{\rm{0; 2\pi }}} \right] \Rightarrow {\rm{x}} \in \left\{ {\frac{{{\rm{3\pi }}}}{{\rm{4}}}{\rm{; }}\frac{{{\rm{7\pi }}}}{{\rm{4}}}} \right\} \Rightarrow {\rm{S = }}\frac{{{\rm{5\pi }}}}{{\rm{2}}}\]
Đáp án cần chọn là: D
Tìm số nghiệm của phương trình \[\sqrt {{\rm{4}} - {{\rm{x}}^{\rm{2}}}} {\rm{sin2x = 0}}\]
4
5
3
6
Điều kiện :\[{\rm{4}} - {{\rm{x}}^{\rm{2}}} \ge 0 \Leftrightarrow {\rm{x}} \in \left[ { - 2;2} \right]\]
\[\sqrt {{\rm{4}} - {{\rm{x}}^{\rm{2}}}} {\rm{sin2x = 0}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{4 - {x^2} = 0}\\{\sin 2x = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \pm 2}\\{x = \frac{{k\pi }}{2},k \in \mathbb{Z}}\end{array}} \right.\]
So sánh điều kiện :\[{\rm{x}} \in \left[ { - 2;2} \right] \Leftrightarrow - 2 \le \frac{{{\rm{k\pi }}}}{{\rm{2}}} \le 2 \Leftrightarrow - \frac{4}{{\rm{\pi }}} \le {\rm{k}} \le \frac{4}{{\rm{\pi }}}\]
Vậy\[{\rm{x}} \in \left\{ { \pm 2;0; \pm \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}} \right\}\]
Đáp án cần chọn là: B
Tất cả các nghiệm của phương trình \[{\mathop{\rm c}\nolimits} {\rm{os}}\left( {\frac{{{\rm{2\pi }}}}{{\rm{3}}}{\rm{sinx}} - \frac{{{\rm{2\pi }}}}{{\rm{3}}}} \right){\rm{ = 1}}\] có dạng
\[{{\rm{x}}_{\rm{0}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{m}}}{\rm{ + kn\pi ;}}\,\,{\rm{k, m, n}} \in \mathbb{Z}\]. Tính tổng\[{\rm{S = m + n}}\]
S = 4
S = 3
\[{\rm{S = }}\frac{{\rm{7}}}{{\rm{3}}}\]
\[{\rm{S = }}\frac{{\rm{8}}}{{\rm{3}}}\]
\[{\rm{cos}}\left( {\frac{{{\rm{2\pi }}}}{{\rm{3}}}{\rm{sinx}} - \frac{{{\rm{2\pi }}}}{{\rm{3}}}} \right){\rm{ = 1}} \Leftrightarrow \frac{{{\rm{2\pi }}}}{{\rm{3}}}{\rm{sinx}} - \frac{{{\rm{2\pi }}}}{{\rm{3}}}{\rm{ = k2\pi }} \Leftrightarrow {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} - {\rm{1 = 3k}}\]
Phương trình có nghiệm khi k = 0.
Khi đó\[\sin {\rm{x = 1}} \Leftrightarrow {\rm{x = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{ + k2\pi ,}}\,\,{\rm{k}} \in \mathbb{Z}\]. Vậy S = 4.
Đáp án cần chọn là: A
Tính tổng S các nghiệm trên đoạn \[\left[ {{\rm{0; \pi }}} \right]\] của phương trình \[\left( {{\rm{1 + cosx}}} \right)\left( {{\rm{2sinx}} - {\rm{cosx}}} \right){\rm{ = si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}\]
\[{\rm{S = }}\frac{{{\rm{2\pi }}}}{{\rm{3}}}\]
\[{\rm{S = \pi }}\]
\[{\rm{S = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}\]
\[{\rm{S = 2\pi }}\]
\[{\rm{pt}} \Leftrightarrow \left( {{\rm{1 + cosx}}} \right)\left( {{\rm{2sinx}} - {\rm{cosx}}} \right){\rm{ = 1}} - {\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}\]
\[{\rm{pt}} \Leftrightarrow \left( {{\rm{1 + cosx}}} \right)\left( {{\rm{2sinx}} - {\rm{cosx}}} \right) - \left( {{\rm{1}} - {\rm{cosx}}} \right)\left( {{\rm{1 + cosx}}} \right){\rm{ = 0}}\]
\[{\rm{pt}} \Leftrightarrow \left( {{\rm{1 + cosx}}} \right)\left( {{\rm{2sinx}} - {\rm{cosx}} - {\rm{1 + cosx}}} \right){\rm{ = 0}}\]
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{1 + cosx = 0}}}\\{{\rm{2sinx = 1}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{c{\rm{osx = }} - 1}\\{sin{\rm{x = }}\frac{1}{2}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{x = \pi + k2\pi }}}\\{{\rm{x = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}}{\rm{ + k2\pi }}}\\{{\rm{x = }}\frac{{{\rm{5\pi }}}}{{\rm{6}}}{\rm{ + k2\pi }}}\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
\[{\rm{x}} \in \left[ {{\rm{0; \pi }}} \right] \Rightarrow {\rm{x}} \in \left\{ {{\rm{\pi ; }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}}{\rm{; }}\frac{{{\rm{5\pi }}}}{{\rm{6}}}} \right\} \Rightarrow {\rm{S = 2\pi }}\]
Đáp án cần chọn là: D
Tìm số nghiệm trên đoạn \[\left[ {{\rm{0; }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}} \right]\]của phương trình\[{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{3}}}{\rm{x + sinxcosx = 1}} - {\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{3}}}{\rm{x}}\]
3
4
2
1
\[{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{3}}}{\rm{x + sinxcosx = 1}} - {\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{3}}}{\rm{x}} \Leftrightarrow {\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{3}}}{\rm{x + co}}{{\rm{s}}^{\rm{3}}}{\rm{x = 1}} - {\rm{sinxcosx}}\]
\[ \Leftrightarrow \left( {{\rm{sinx + cosx}}} \right)\left( {{\rm{1}} - {\rm{sinxcosx}}} \right){\rm{ = 1}} - {\rm{sinxcosx}}\]
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{1 - sinxco{\rm{sx = 0}}}\\{{\rm{sinx + cosx = 1}}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{sin2x = 2(VN)}}}\\{{\rm{sin}}\left( {{\rm{x + }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\sqrt {\rm{2}} }}}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{x = k2\pi }}}\\{{\rm{x = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{ + k2\pi }}}\end{array}} \right.,k \in \mathbb{Z}\)
Vì \[{\rm{x}} \in \left[ {{\rm{0; }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}} \right] \Rightarrow {\rm{x}} \in \left\{ {{\rm{0; }}\frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{ 2}}}}} \right\}\]Đáp án cần chọn là: C
Tìm m để phương trình\[\left( {{\rm{m}} - {\rm{1}}} \right){\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x = m}}\]có nghiệm.
\[{\rm{m}} \le 0\]
\[0 \le {\rm{m}} \le 1\]
\[ - 1 \le {\rm{m}} \le 1\]
\( - 1 < m < 1\)
+ Nếu m = 1 thì PTVN
+ Nếu \[m \ne 1\]thì \[\left( {{\rm{m}} - {\rm{1}}} \right){\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x = m}} \Leftrightarrow {\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x = }}\frac{{\rm{m}}}{{{\rm{m}} - {\rm{1}}}}\]
PT có nghiệm \[ \Leftrightarrow 0 \le \frac{{\rm{m}}}{{{\rm{m}} - {\rm{1}}}} \le 1 \Leftrightarrow {\rm{m}} \le 0\]
Đáp án cần chọn là: A
Tìm m để phương trình\[{\rm{tanx + cotx = 2m}}\] có nghiệm.
\[{\rm{m}} \ge 1\]
\[{\rm{m}} \in \mathbb{R}\bcancel{{}}\left( { - {\rm{1; 1}}} \right)\]
\[0 \le {\rm{m}} \le 1\]
m < 1
Điều kiện:\[{\rm{sin2x}} \ne 0 \Leftrightarrow {\rm{x}} \ne \frac{{{\rm{k\pi }}}}{{\rm{2}}}{\rm{,}}\,{\rm{k}} \in \mathbb{Z}\]
\[{\rm{tanx + cotx = 2m}} \Leftrightarrow \frac{{\rm{2}}}{{{\rm{sin2x}}}}{\rm{ = 2m}} \Leftrightarrow {\rm{sin2x = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{m}}}\]
PT có nghiệm\[ \Leftrightarrow \frac{1}{m} \in \left[ { - 1;1} \right] \Leftrightarrow \left| m \right| \ge 1 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m \ge 1}\\{m \le - 1}\end{array}} \right.\]
Đáp án cần chọn là: B
Nghiệm của phương trình \[{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in3x = cosx}}\]là
\[{\rm{x = k\pi ; x = k}}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}\]
\[{\rm{x = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{8}}}{\rm{ + k}}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{; x = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}}{\rm{ + k\pi }}\]
\[{\rm{x = k2\pi ; x = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{ + k2\pi }}\]
\[{\rm{x = k\pi ; x = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{4}}}{\rm{ + k\pi }}\]
\[{\rm{sin3x = cosx}} \Leftrightarrow {\rm{sin3x = sin}}\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{3x\,\,{\rm{ = }}\frac{\pi }{2} - x + k2\pi }\\{3x\,\,{\rm{ = }}\pi - \frac{\pi }{2} + x + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\,\,{\rm{ = }}\frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}}\\{x\,{\rm{ = }}\frac{\pi }{4} + k\pi }\end{array}} \right.\]
Đáp án cần chọn là: B
Tìm tập nghiệm của bất phương trình\[{\rm{ta}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}\left( {\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}} - {\rm{x}}} \right){\rm{ = }}\frac{{{\rm{1 + sinx}}}}{{{\rm{sinx}}}}\]
\[\left\{ {\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}}{\rm{ + }}\frac{{{\rm{k2\pi }}}}{{\rm{3}}}{\rm{;}} - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{ + k2\pi ,}}\,\,{\rm{k}} \in \mathbb{Z}} \right\}\]
\[\left\{ { - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{ + k2\pi ,}}\,\,{\rm{k}} \in \mathbb{Z}} \right\}\]
\[\left\{ {\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}}{\rm{ + }}\frac{{{\rm{k2\pi }}}}{{\rm{3}}}{\rm{, }}\,{\rm{k}} \in \mathbb{Z}} \right\}\]
\[\left\{ {\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}}{\rm{ + k\pi , }}\,{\rm{k}} \in \mathbb{Z}} \right\}\]
Điều kiện :\[{\rm{sinx}} \ne 0 \Leftrightarrow {\rm{x}} \ne {\rm{k\pi ,}}\,\,{\rm{k}} \in \mathbb{Z}\]
\[{\rm{ta}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}\left( {\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}} - {\rm{x}}} \right){\rm{ = }}\frac{{{\rm{1 + sinx}}}}{{{\rm{sinx}}}} \Leftrightarrow {\rm{co}}{{\rm{t}}^{\rm{2}}}{\rm{x = }}\frac{{{\rm{1 + sinx}}}}{{{\rm{sinx}}}} \Leftrightarrow \frac{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}}}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}}}{\rm{ = }}\frac{{{\rm{1 + sinx}}}}{{{\rm{sinx}}}}\]
\[ \Leftrightarrow {\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x = }}\left( {{\rm{1 + sinx}}} \right){\rm{sinx}} \Leftrightarrow {\rm{co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x}} - {\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x = sinx}} \Leftrightarrow {\rm{cos2x = sinx}}\]
\( \Leftrightarrow cos2x = cos\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x\,\,{\rm{ = }}\frac{\pi }{2} - x + k2\pi }\\{2x\,\,{\rm{ = }}x - \frac{\pi }{2} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\,\,{\rm{ = }}\frac{\pi }{6} + \frac{{k2\pi }}{3}}\\{x\,\,{\rm{ = }} - \frac{\pi }{2} + k2\pi }\end{array} \Leftrightarrow {\rm{x = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}}{\rm{ + }}\frac{{{\rm{k2\pi }}}}{{\rm{3}}}{\rm{, k}} \in \mathbb{Z}} \right.\)Đáp án cần chọn là: C
Nhiệt độ ngoài trời ờ một thành phố vào các thời điểm khác nhau trong ngày có thể được mô phỏng bởi công thức \[{\rm{h(t) = 29 + 3sin}}\frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{12}}}}{\rm{(t}} - {\rm{9)}}\] với h tính bằng độ C và t là thời gian trong ngày tính bằng giờ. Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là bao nhiêu độ C và vào lúc mấy giờ?
(Theo https://www.sciencedirect.com/science/ article/abs/pii/0168192385900139)
32∘C, lúc 15 giờ.
29∘C, lúc 9 giờ.
26∘C, lúc 3 giờ.
26∘C, lúc 0 giờ.
\[{\rm{h(t) = 29 + 3sin}}\frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{12}}}}{\rm{(t}} - {\rm{9)}}\]nhỏ nhất khi và chỉ khi
\[{\rm{sin}}\frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{12}}}}{\rm{(t}} - {\rm{9) = 1}} \Leftrightarrow \frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{12}}}}{\rm{(t}} - {\rm{9) = }} - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{ + k2\pi }} \Leftrightarrow {\rm{t = 3 + 24k, k}} \in \mathbb{Z}\]
Vì\[0 \le {\rm{t}} \le 24 \Rightarrow - \frac{1}{8} \le {\rm{k}} \le \frac{7}{8} \Rightarrow {\rm{k}} = 0 \Rightarrow {\rm{t}} = 3\]
\[{\rm{t = }}3 \Rightarrow {\rm{h(t) = }}29 + 3.\left( { - 1} \right){\rm{ = }}26\]
Đáp án cần chọn là: C
Nghiệm âm lớn nhất của phương trình\[{\rm{cos}}\left( {{\rm{4x}} - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}}} \right){\rm{ + si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x = co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}\]
\[ - \frac{{35}}{{36}}{\rm{\pi }}\]
\[ - \frac{{11}}{{36}}{\rm{\pi }}\]
\[ - \frac{{{\rm{11\pi }}}}{{{\rm{12}}}}\]
\[ - \frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{12}}}}\]
\[{\mathop{\rm co}\nolimits} {\rm{s}}\left( {{\rm{4x}} - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}}} \right){\rm{ + si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x = co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x}} \Leftrightarrow {\mathop{\rm c}\nolimits} {\rm{os}}\left( {{\rm{4x}} - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}}} \right){\rm{ = co}}{{\rm{s}}^{\rm{2}}}{\rm{x}} - {\rm{si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x}}\]
\[ \Leftrightarrow {\mathop{\rm c}\nolimits} {\rm{os}}\left( {{\rm{4x}} - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}}} \right){\rm{ = cos}}2x\]
\[ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{4x}} - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}}{\rm{ = }}2x + k2\pi }\\{{\rm{4x}} - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}}{\rm{ = }} - 2x + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x\,{\rm{ = }}\,\,\frac{\pi }{{12}} + k\pi }\\{x\,{\rm{ = }}\,\,\frac{\pi }{{36}} + k\frac{\pi }{3}}\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]
Ta có mỗi họ nghiệm lần lượt có các nghiệm âm lớn nhất là: \[{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{12}}}} - {\rm{\pi = }} - \frac{{{\rm{11\pi }}}}{{{\rm{12}}}}{\rm{;}}\,\,{{\rm{x}}_{\rm{2}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{{\rm{36}}}} - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{3}}}{\rm{ = }} - \frac{{{\rm{11\pi }}}}{{{\rm{36}}}}\]
Vậy nghiệm âm lớn nhất của phương trình là \[{\rm{x = }} - \frac{{11}}{{36}}{\rm{\pi }}\]
Đáp án cần chọn là: B
Giả sử một vật dao động điều hoà xung quanh vị trí cân bằng theo phương trình \[{\rm{x = 2cos}}\left( {{\rm{5t}} - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}}} \right){\rm{.}}\].Ở đây, thời gian t tính bằng giây và quãng đường x tính bằng centimét. Hãy cho biết trong khoảng thời gian từ 0 đến 6 giây, vật đi qua vị trí cân bằng bao nhiêu lần?
27.
26.
25.
28.
Vật ở vị trí cân bằng\[ \Leftrightarrow {\rm{x = 0}} \Leftrightarrow {\rm{2cos}}\left( {{\rm{5t}} - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}}} \right){\rm{ = 0}} \Leftrightarrow {\rm{5t}} - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}}{\rm{ = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{ + k\pi }} \Leftrightarrow {\rm{t = }}\frac{{{\rm{2\pi }}}}{{{\rm{15}}}}{\rm{ + k}}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{5}}}{\rm{, k}} \in \mathbb{Z}\]
\[0 \le {\rm{t}} \le 6 \Rightarrow 0 \le \frac{{{\rm{2\pi }}}}{{{\rm{15}}}}{\rm{ + k}}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{5}}} \le 6 \Rightarrow - \frac{2}{3} \le {\rm{k}} \le 27,9\]
Vật đi qua vị trí cân bằng 28 lần.
Đáp án cần chọn là: D
Tìm số nghiệm của phương trình sinx = cos2x thuộc đoạn\[\left[ {{\rm{0; 20\pi }}} \right]\].
20.
40.
30.
60.
Ta có\[{\rm{sinx = cos2x}} \Leftrightarrow {\rm{sinx = 1}} - {\rm{2si}}{{\rm{n}}^{\rm{2}}}{\rm{x}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{sinx = }}\frac{1}{2}}\\{si{\rm{nx = }} - 1}\end{array}} \right.\]
\[{\rm{sinx = }}\frac{1}{2} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{x = }}\frac{\pi }{6} + k2\pi }\\{{\rm{x = }}\frac{{6\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]
\[\sin {\rm{x = }} - 1 \Leftrightarrow {\rm{x = }} - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{ + k2\pi }}\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]
Xét\[{\rm{x}} \in \left[ {{\rm{0; 20\pi }}} \right]\]
Với \[{\rm{x = }}\frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}}{\rm{ + k2\pi }}\], ta có \[0 \le \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{6}}}{\rm{ + k2\pi }} \le {\rm{20\pi }} \Leftrightarrow - \frac{1}{{12}} \le {\rm{k}} \le \frac{{119}}{{12}}\], do \[{\rm{k}} \in \mathbb{Z}\] nên có 10 số nguyên k thỏa mãn.
Với \[{\rm{x = }}\frac{{{\rm{5\pi }}}}{{\rm{6}}}{\rm{ + k2\pi }}\], ta có \[0 \le \frac{{{\rm{5\pi }}}}{{\rm{6}}}{\rm{ + k2\pi }} \le 2{\rm{0\pi }} \Leftrightarrow - \frac{5}{{12}} \le {\rm{k}} \le \frac{{115}}{{12}}\], do \[{\rm{k}} \in \mathbb{Z}\] nên có 10 số nguyên k thỏa mãn.
Với \[{\rm{x = }} - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{ + k2\pi }}\], ta có \[0 \le - \frac{{\rm{\pi }}}{{\rm{2}}}{\rm{ + k2\pi }} \le 20{\rm{\pi }} \Leftrightarrow \frac{1}{4} \le {\rm{k}} \le \frac{{41}}{4}\], do \[{\rm{k}} \in \mathbb{Z}\] nên có 10 số nguyên k thỏa mãn.
Vậy phương trình đã cho có 3030 nghiệm thuộc đoạn \[\left[ {{\rm{0; 20\pi }}} \right]\]
Đáp án cần chọn là: C
Cho hàm số\[{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{ = a}}{{\rm{x}}^{\rm{3}}}{\rm{ + b}}{{\rm{x}}^{\rm{2}}}{\rm{ + bx + c}}\]có đồ thị như hình vẽ:
Số nghiệm nằm trong\[\left( {\frac{{ - {\rm{\pi }}}}{2};{\rm{3\pi }}} \right)\]của phương trình\[{\rm{f}}\left( {{\rm{cosx + 1}}} \right){\rm{ = cosx + 1}}\]là
2
3
5
4
Từ đồ thị ta có\[f(x)\,{\rm{ = }}x \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{x = a}} \in \left( { - \infty ;0} \right)}\\{{\rm{x = b}} \in \left( {0;1} \right)}\\{{\rm{x = 2}}}\end{array}} \right.\]
Do đó\[{\rm{f(cosx + 1) = cosx + 1}} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{{\rm{cosx + 1 = a}} \in \left( { - \infty ;0} \right)}\\{{\rm{cosx + 1 = b}} \in \left( {0;1} \right)}\\{c{\rm{osx + 1 = 2}}}\end{array}} \right.\]
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{co{\rm{sx = a}} - {\rm{1 = }}{{\rm{t}}_{\rm{1}}} \in ( - \infty ; - 1)\,\,(VN)}\\{{\rm{cosx = b}} - {\rm{1 = }}{{\rm{t}}_{\rm{2}}} \in ( - 1;0)\,\,(1)}\\{{\rm{cosx = 1 }}(2)}\end{array}} \right.\)
Dựa vào đường tròn lượng giác, phương trình có 3 nghiệm nằm trong\[\left( {\frac{{ - {\rm{\pi }}}}{2};3{\rm{\pi }}} \right)\]
Phương trình có 2 nghiệm nằm trong\[\left( {\frac{{ - {\rm{\pi }}}}{2};3{\rm{\pi }}} \right)\]
Vậy phương trình ban đầu có tất cả 5 nghiệm nằm trong \[\left( {\frac{{ - {\rm{\pi }}}}{2};3{\rm{\pi }}} \right)\]
Đáp án cần chọn là: C
