Giải SGK Toán 11 Cánh Diều Phương trình lượng giác cơ bản có đáp án

Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

• Để vệ tinh cách mặt đất 1 000 km thì \(550 + 450\cos \frac{\pi }{{50}}t = 1\,\,\,000\)

\( \Leftrightarrow 450\cos \frac{\pi }{{50}}t = 450\)

\( \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{{50}}t = 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{50}}t = k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z},\,t \ge 0} \right)\)

\[ \Leftrightarrow t = k2\pi .\frac{{50}}{\pi } = 100k\,\,\left( {k \in \left\{ {0;1;2;3;...} \right\}} \right)\]

Vậy tại các thời điểm t = 100k (với k ∈ ℤ, t ≥ 0) (phút) kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo thì vệ tinh cách mặt đất 1 000 km.

• Để vệ tinh cách mặt đất 250 km thì \(550 + 450\cos \frac{\pi }{{50}}t = 250\)

\( \Leftrightarrow 450\cos \frac{\pi }{{50}}t = - 300\)

\( \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{{50}}t = - \frac{2}{3}\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{{50}}t \approx 2,3 + k2\pi \\\frac{\pi }{{50}}t \approx - 2,3 + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}\,,\,\,t \ge 0} \right)\]

(Dùng máy tính cầm tay (chuyển về chế độ “radian”) bấm liên tiếp  ta được kết quả gần đúng là 2,3)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \approx \frac{{115}}{\pi } + 100k\\t \approx - \frac{{115}}{\pi } + 100k\end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}\,,\,\,t \ge 0} \right)\]

Vậy tại các thời điểm \[t \approx \pm \frac{{115}}{\pi } + 100k\](với k ∈ ℤ, t ≥ 0) (phút) kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo thì vệ tinh cách mặt đất 250 km.

• Để vệ tinh cách mặt đất 100 km thì \(550 + 450\cos \frac{\pi }{{50}}t = 1\,00\)

\( \Leftrightarrow 450\cos \frac{\pi }{{50}}t = - 450\)

\( \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{{50}}t = - 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{50}}t = \pi + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z},\,t \ge 0} \right)\).

\( \Leftrightarrow t = 50 + 100k\,\,\,\left( {k \in \left\{ {0;1;2;3;...} \right\}} \right)\).

Vậy tại các thời điểm t = 50 + 100k (với k ∈ ℤ, t ≥ 0) (phút) kể từ lúc vệ tinh bay vào quỹ đạo thì vệ tinh cách mặt đất 100 km.

Ta có:

x² ‒ 3x + 2 = 0 (1)

Suy ra x = 1 hoặc x = 2.

Vậy phương trình (1) có tập nghiệm S₁ = {1; 2}.

(x – 1)(x – 2) = 0 (2)

Suy ra x = 1 hoặc x = 2.

Vậy phương trình (2) có tập nghiệm S₂ = {1; 2}.

Hai tập S₁, S₂ bằng nhau vì cùng là tập {1; 2}.

Tập nghiệm của phương trình x – 1 = 0 là S₁ = {1}.

Tập nghiệm của phương trình \(\frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} = 0\) là S₂ = {1}.

Vì S₁ = S₂ nên hai phương trình x – 1 = 0 và \(\frac{{{x^2} - 1}}{{x + 1}} = 0\) tương đương.

Phương trình 3x ‒ 6 = 0 có tập nghiệm S₁ = {2}.

Phương trình 3x = 6 có tập nghiệm S₂ = {2}.

Vì S₁ = S₂ nên hai phương trình 3x ‒ 6 = 0 và 3x = 6 tương đương

Khi đó ta viết 3x ‒ 6 = 0 Û 3x = 6.

Vậy khẳng định 3x ‒ 6 = 0 Û 3x = 6 là khẳng định đúng.

Ta có: (x – 1)² = 5x – 11

       Û x² – 2x + 1 – (5x – 11) = 0

       Û x² – 2x + 1 – 5x + 11 = 0

       Û x² – 7x + 12 = 0

       Û x = 3 hoặc x = 4.

Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là S = {3; 4}.\(\)

Với x ∈ [‒π; π] ta thấy \(\sin x = \frac{1}{2}\) tại \(x = \frac{\pi }{6}\) và \(x = \frac{{5\pi }}{6}\).

Do đó đường thẳng \(d:y = \frac{1}{2}\) cắt đồ thị hàm số y = sinx, x ∈ [‒π; π] tại hai giao điểm A₀, B_0­ có hoành độ lần lượt là \({x_{{A_0}}} = \frac{\pi }{6}\) và \({x_{{B_0}}} = \frac{{5\pi }}{6}\).

Với x ∈ [π; 3π] ta thấy \(\sin x = \frac{1}{2}\) tại \(x = \frac{{13\pi }}{6}\) và \(x = \frac{{17\pi }}{6}\).

Do đó đường thẳng \(d:y = \frac{1}{2}\) cắt đồ thị hàm số y = sinx, x ∈ [π; 3π] tại hai giao điểm A₁, B_1­ có hoành độ lần lượt là \({x_{{A_1}}} = \frac{{13\pi }}{6}\) và \({x_{{B_1}}} = \frac{{17\pi }}{6}\).

Do \(\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) nên \(\sin x = \sin \frac{\pi }{3}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \pi - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy phương trình \(\sin x = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) có các nghiệm là \(x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \) và \(x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \) với k ∈ ℤ.

sinx = sin55°

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 55^\circ + k360^\circ \\x = 180^\circ - 55^\circ + k360^\circ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 55^\circ + k360^\circ \\x = 125^\circ + k360^\circ \end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy các góc lượng giác thỏa mãn sinx = sin55° là x = 55° + k360° và x = 125° + k360° với k ∈ ℤ.

Ta có:

\(\sin 2x = \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = x + \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x = \pi - \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\2x = \pi - x - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\3x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \[x = \frac{\pi }{4} + k2\pi \] và \[x = \frac{\pi }{4} + k\frac{{2\pi }}{3}\] với k ∈ ℤ.

Với x ∈ [‒π; π] ta thấy \(cosx = \frac{1}{2}\) tại \(x = - \frac{\pi }{3}\) và \(x = \frac{\pi }{3}\).

Do đó đường thẳng \(d:y = \frac{1}{2}\) cắt đồ thị hàm số y = cosx, x ∈ [‒π; π] tại hai giao điểm C₀, D_0­ có hoành độ lần lượt là \({x_{{C_0}}} = - \frac{\pi }{3}\) và \({x_{{D_0}}} = \frac{\pi }{3}\).

Với x ∈ [π; 3π] ta thấy \(\cos x = \frac{1}{2}\) tại \(x = \frac{{5\pi }}{3}\) và \(x = \frac{{7\pi }}{3}\).

Do đó đường thẳng \(d:y = \frac{1}{2}\) cắt đồ thị hàm số y = cosx, x ∈ [π; 3π] tại hai giao điểm C₁, D_1­ có hoành độ lần lượt là \[{x_{{C_1}}} = \frac{{5\pi }}{3}\] và \({x_{{D_1}}} = \frac{{7\pi }}{3}\).

Do \(\cos \frac{{2\pi }}{3} = - \frac{1}{2}\) nên \(\cos x = \cos \frac{{2\pi }}{3}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \\x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \(x = \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \) và \(x = - \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \) với k ∈ ℤ.

cosx = cos(‒87°)

Û cosx = cos87°

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 87^\circ + k360^\circ \\x = - 87^\circ + k360^\circ \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Vậy các góc lượng giác x cần tìm là x = 87° + k360° và x = ‒87° + k360° với k ∈ ℤ.

• Ta có:

\(550 + 450\cos \frac{\pi }{{50}}t = 1\,\,\,000\)

\( \Leftrightarrow 450\cos \frac{\pi }{{50}}t = 450\)

\( \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{{50}}t = 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{50}}t = k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z},\,t \ge 0} \right)\)

\[ \Leftrightarrow t = k2\pi .\frac{{50}}{\pi } = 100k\,\,\left( {k \in \mathbb{Z},\,t \ge 0} \right)\].

Vậy phương trình này có các nghiệm là t = 100k với k ∈ ℤ, t ≥ 0.

• Ta có:

\(550 + 450\cos \frac{\pi }{{50}}t = 250\)

\( \Leftrightarrow 450\cos \frac{\pi }{{50}}t = - 300\)

\( \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{{50}}t = - \frac{2}{3}\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{{50}}t \approx \,2,3 + k2\pi \\\frac{\pi }{{50}}t \approx - \,2,3 + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}\,,\,\,t \ge 0} \right)\]

(Dùng máy tính cầm tay (chuyển về chế độ “radian”) bấm liên tiếp  ta được kết quả gần đúng là 2,3)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t \approx \frac{{115}}{\pi } + 100k\\t \approx - \frac{{115}}{\pi } + 100k\end{array} \right.\,\,\](với k ∈ ℤ, t ≥ 0)

Vậy phương trình có các nghiệm là \[t \approx \frac{{115}}{\pi } + 100k\] và \[t \approx - \frac{{115}}{\pi } + 100k\] với k ∈ ℤ, t ≥ 0.

• Ta có:

\(550 + 450\cos \frac{\pi }{{50}}t = 1\,00\)

\( \Leftrightarrow 450\cos \frac{\pi }{{50}}t = - 450\)

\( \Leftrightarrow \cos \frac{\pi }{{50}}t = - 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{50}}t = \pi + k2\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z},\,t \ge 0} \right)\).

\( \Leftrightarrow t = 50 + 100k\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z},\,t \ge 0} \right)\).

Vậy phương trình có các nghiệm là t = 50 + 100k với k ∈ ℤ, t ≥ 0.

Với \[x \in \left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\] ta thấy tanx = 1 tại \(x = \frac{\pi }{4}\).

Do đó đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số y = tanx trên khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) tại điểm có hoành độ là \(\frac{\pi }{4}\).

Do hàm số y = tanx tuần hoàn với chu kì là π nên đường thẳng y = 1 cắt đồ thị hàm số y = tanx tại các điểm có hoành độ là \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Phương trình tanx = 1 có các nghiệm là \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

tanx = 0 ⇔ x = kπ (k ∈ ℤ).

Vậy phương trình tanx = 0 có các nghiệm là x = kπ với k ∈ ℤ.

tanx = tan67° Û x = 67° + k180° (k ∈ ℤ).

Vậy các góc lượng giác x cần tìm là x = 67° + k180° với k ∈ ℤ.

Với x ∈ (0; π), ta thấy cotx = ‒1 tại \(x = \frac{{3\pi }}{4}\).

Do đó đường thẳng y = ‒1 cắt đồ thị hàm số y = cotx trên khoảng (0; π) tại điểm có hoành độ là \(\frac{{3\pi }}{4}\).

Do hàm số y = cotx tuần hoàn với chu kì là π nên đường thẳng y = ‒1 cắt đồ thị hàm số y = cotx tại các điểm có hoành độ là \(x = \frac{{3\pi }}{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Phương trình cotx = ‒1 có các nghiệm là \(x = \frac{{3\pi }}{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Do cot\(\frac{\pi }{4}\) = 1 nên cotx = 1 ⇔\(\cot x = \cot \frac{\pi }{4}\)\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy phương trình cotx = 1 có các nghiệm là \(x = \frac{\pi }{4} + k\pi \) với k ∈ ℤ.

cotx = cot(‒83°)

Û x = ‒83° + k180° (k ∈ ℤ).

Vậy các góc lượng giác x cần tìm là x = ‒83° + k180° với k ∈ ℤ.

Sau khi chuyển máy tính sang chế độ “radian”.

a) Bấm liên tiếp

Ta được kết quả gần đúng là 0,201.

Vậy phương trình sinx = 0,2 có các nghiệm là:

     x ≈ 0,201 + k2π, k ∈ ℤ

và x ≈ π – 0,201 + k2π, k ∈ ℤ.

b) Bấm liên tiếp

Ta được kết quả gần đúng là 1,772.

Vậy phương trình \(\cos x = - \frac{1}{5}\)có các nghiệm là: x ≈ ± 1,772 + k2π, k ∈ ℤ.

c) Bấm liên tiếp

Ta được kết quả gần đúng là 0,955.

Vậy phương trình \(\tan x = \sqrt 2 \)có các nghiệm là: x ≈ 0,955 + kπ, k ∈ ℤ.

\(\sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{3}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - \frac{\pi }{3} = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x - \frac{\pi }{3} = \pi - \left( { - \frac{\pi }{3}} \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = - \frac{\pi }{3} + \frac{\pi }{3} + k2\pi \\2x = \pi + \frac{\pi }{3} + \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = k2\pi \\2x = \frac{{5\pi }}{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = k\pi \\x = \frac{{5\pi }}{6} + k\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \(x = k\pi \) và \(x = \frac{{5\pi }}{6} + k\pi \) với k ∈ ℤ.

\(\sin \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = - \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \sin \left( {3x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\3x + \frac{\pi }{4} = \pi - \left( { - \frac{\pi }{6}} \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = - \frac{\pi }{6} - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\3x = \pi + \frac{\pi }{6} - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \\3x = \frac{{11\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{{5\pi }}{{36}} + k\frac{{2\pi }}{3}\\x = \frac{{11\pi }}{{36}} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \[x = - \frac{{5\pi }}{{36}} + k\frac{{2\pi }}{3}\] và \[x = \frac{{11\pi }}{{36}} + k\frac{{2\pi }}{3}\] với k ∈ ℤ.

\(\cos \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\)

\( \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4}} \right) = \cos \frac{\pi }{6}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \\\frac{x}{2} + \frac{\pi }{4} = - \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{2} = \frac{\pi }{6} - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\\frac{x}{2} = - \frac{\pi }{6} - \frac{\pi }{4} + k2\pi \end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{2} = - \frac{\pi }{{12}} + k2\pi \\\frac{x}{2} = - \frac{{5\pi }}{{12}} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{6} + k4\pi \\x = - \frac{{5\pi }}{6} + k4\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \(x = - \frac{\pi }{6} + k4\pi \) và \(x = - \frac{{5\pi }}{6} + k4\pi \) với k ∈ ℤ.

2cos3x + 5 = 3

Û cos3x = ‒1

Û 3x = π + k2π (k ∈ ℤ)

\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \(x = \frac{\pi }{3} + k\frac{{2\pi }}{3}\)với k ∈ ℤ.

\(3\tan x = - \sqrt 3 \)

\( \Leftrightarrow \tan x = - \frac{{\sqrt 3 }}{3}\)

\( \Leftrightarrow \tan x = \tan \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\)

\[ \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \[x = - \frac{\pi }{6} + k\pi \]với k ∈ ℤ.

\[\cot x - 3 = \sqrt 3 \left( {1 - \cot x} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \cot x - 3 = \sqrt 3 - \sqrt 3 \cot x\]

\[ \Leftrightarrow \left( {1 + \sqrt 3 } \right)\cot x = \sqrt 3 + 3\]

\[ \Leftrightarrow \cot x = \frac{{\sqrt 3 \left( {1 + \sqrt 3 } \right)}}{{1 + \sqrt 3 }}\]

\[ \Leftrightarrow \cot x = \sqrt 3 \]

\[ \Leftrightarrow \cot x = \cot \frac{\pi }{6}\]

\[ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{6} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \[x = \frac{\pi }{6} + k\pi \]với k ∈ ℤ.

\(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{4}} \right) = \sin x\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + \frac{\pi }{4} = x + k2\pi \\2x + \frac{\pi }{4} = \pi - x + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\3x = \frac{{3\pi }}{4} + k2\pi \end{array} \right.\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \\x = \frac{\pi }{4} + k\frac{{2\pi }}{3}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \[x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi \] và \[x = \frac{\pi }{4} + k\frac{{2\pi }}{3}\] với k ∈ ℤ.

sin2x = cos3x

\[ \Leftrightarrow \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) = cos3x\]

\[ \Leftrightarrow cos3x = \cos \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = \frac{\pi }{2} - 2x + k2\pi \\3x = - \left( {\frac{\pi }{2} - 2x} \right) + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}5x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \\3x = - \frac{\pi }{2} + 2x + k2\pi \end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{{10}} + k\frac{{2\pi }}{5}\\x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\].

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \[x = \frac{\pi }{{10}} + k\frac{{2\pi }}{5}\] và \[x = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \] với k ∈ ℤ.

\({\cos ^2}2x = {\cos ^2}\left( {x + \frac{\pi }{6}} \right)\)

\[ \Leftrightarrow \frac{{1 + \cos 4x}}{2} = \frac{{1 + \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)}}{2}\]

\[ \Leftrightarrow \cos 4x = \cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}4x = 2x + \frac{\pi }{3} + k2\pi \\4x = - 2x - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\6x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{6} + k\pi \\x = - \frac{\pi }{{18}} + k\frac{\pi }{3}\end{array} \right.\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Vậy phương trình đã cho có các nghiệm là \[x = \frac{\pi }{6} + k\pi \] và \[x = - \frac{\pi }{{18}} + k\frac{\pi }{3}\] với k ∈ ℤ.

Ta có: 3sinx + 2 = 0

             \( \Leftrightarrow \sin x = - \frac{2}{3}\).

Đường thẳng \(y = - \frac{2}{3}\) và đồ thị hàm số y = sinx trên khoảng \(\left( { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right)\) được vẽ như sau:

Từ đồ thị, ta thấy đường thẳng \(y = - \frac{2}{3}\) cắt đồ thị hàm số y = sinx trên khoảng \(\left( { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right)\) tại 5 điểm A, B, C, D, E.

Vậy phương trình 3sinx + 2 = 0 có 5 nghiệm trên khoảng \(\left( { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right)\).

Đường thẳng y = 0 (trục Ox) và đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn \(\left[ { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) được vẽ như sau:

Từ đồ thị, ta thấy đường thẳng y = 0 cắt đồ thị hàm số y = cosx trên đoạn \(\left[ { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\) tại 6 điểm M, N, P, Q, I, K.

Vậy phương trình cosx = 0 có 6 nghiệm trên đoạn \(\left[ { - \frac{{5\pi }}{2};\frac{{5\pi }}{2}} \right]\).

Để thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời thì:

\(3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12 = 12\)

\( \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right) = k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow t - 80 = 182k\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow t = 80 + 182k\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Do t ∈ ℤ và 0 < t ≤ 365 nên ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\0 < 80 + 182k \le 365\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\ - 80 < 182k \le 285\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\ - \frac{{40}}{{91}} < k \le \frac{{285}}{{182}}\end{array} \right. \Leftrightarrow k \in \left\{ {0;1} \right\}\]

Với k = 0 thì t = 80 + 182.0 = 80;

Với k = 1 thì t = 80 + 182.1 = 262.

Vậy thành phố A có đúng 12 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 80 và ngày thứ 262 trong năm.

Để thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời thì:

\(3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12 = 9\)

\( \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = - 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right) = - \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow t - 80 = - 91 + 364k\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow t = - 11 + 364k\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Do t ∈ ℤ và 0 < t ≤ 365 nên ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\0 < - 11 + 364k \le 365\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\11 < 364k \le 376\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\\frac{{11}}{{364}} < k \le \frac{{94}}{{91}}\end{array} \right. \Leftrightarrow k = 1\]

Với k = 1 thì t = ‒11 + 364.1 = 353.

Vậy thành phố A có đúng 9 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 353 trong năm.

Để thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời thì:

\(3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] + 12 = 15\)

\( \Leftrightarrow \sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right)} \right] = 1\)

\( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}\left( {t - 80} \right) = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow t - 80 = 91 + 364k\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow t = 171 + 364k\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

Do t ∈ ℤ và 0 < t ≤ 365 nên ta có:

\[\left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\0 < 171 + 364k \le 365\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\ - 171 < 364k \le 194\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}k \in \mathbb{Z}\\ - \frac{{171}}{{364}} < k \le \frac{{97}}{{182}}\end{array} \right. \Leftrightarrow k = 0\]

Với k = 0 thì t = 171 + 364.0 = 171.

Vậy thành phố A có đúng 15 giờ có ánh sáng mặt trời vào ngày thứ 171 trong năm.

• Để khoảng cách h(m) từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng là 3 m thì:

\(\left| {3\cos \left[ {\frac{\pi }{3}\left( {2t - 1} \right)} \right]} \right| = 3\)

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3\cos \left[ {\frac{\pi }{3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = 3\\3\cos \left[ {\frac{\pi }{3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos \left[ {\frac{\pi }{3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = 1\\\cos \left[ {\frac{\pi }{3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = - 1\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{\pi }{3}\left( {2t - 1} \right) = k2\pi \\\frac{\pi }{3}\left( {2t - 1} \right) = \pi + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2t - 1 = 6k\\2t - 1 = 3 + 6k\end{array} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2t = 6k + 1\\2t = 6k + 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3k + \frac{1}{2}\\t = 3k + 2\end{array} \right.\,\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\]

Do t ≥ 0, k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; …}

Khi đó \[\left[ \begin{array}{l}t \in \left\{ {\frac{1}{2};\frac{7}{2};\frac{{13}}{2};...} \right\}\\t \in \left\{ {2;5;8;...} \right\}\end{array} \right. \Leftrightarrow t \in \left\{ {\frac{1}{2};2;\frac{7}{2};5;\frac{{13}}{2};8;...} \right\}\].

Vậy \[t \in \left\{ {\frac{1}{2};2;\frac{7}{2};5;\frac{{13}}{2};8;...} \right\}\] (giây) thì khoảng cách h là 3 m.

• Để khoảng cách h(m) từ vị trí người chơi đu đến vị trí cân bằng là 0 m thì:

\(\left| {3\cos \left[ {\frac{\pi }{3}\left( {2t - 1} \right)} \right]} \right| = 0 \Leftrightarrow 3\cos \left[ {\frac{\pi }{3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = 0\)

\( \Leftrightarrow \cos \left[ {\frac{\pi }{3}\left( {2t - 1} \right)} \right] = 0 \Leftrightarrow \frac{\pi }{3}\left( {2t - 1} \right) = \frac{\pi }{2} + k\pi \)

\( \Leftrightarrow 2t - 1 = \frac{3}{2} + 3k\)

\( \Leftrightarrow 2t = \frac{5}{2} + 3k \Leftrightarrow t = \frac{5}{4} + \frac{3}{2}k\).

Do t ≥ 0, k ∈ ℤ nên k ∈ {0; 1; 2; …}, khi đó \(t \in \left\{ {\frac{5}{4};\frac{{11}}{4};\frac{{17}}{4};...} \right\}\).

Vậy \(t \in \left\{ {\frac{5}{4};\frac{{11}}{4};\frac{{17}}{4};...} \right\}\) (giây) thì khoảng cách h là 0 m.