a) Đúng.

Mặt đáy của hình chóp \(S.ABC\) là một tam giác đều \(ABC\) có cạnh \(60{\rm{ cm}}{\rm{.}}\) Gọi đường cao của mặt đáy là \(CH\), ta có \(CH\) đồng thời là đường trung tuyến.

\(HA = HB = \frac{{AB}}{2} = 30{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

b) Đúng.

Xét tam giác \(BHC\) vuông tại \(H\). Theo định lý Pythagore ta có: \(C{B^2} = H{B^2} + H{C^2}\) hay \({60^2} = {30^2} + H{C^2}\) suy ra \(C{H^2} = {60^2} - {30^2} = 2{\rm{ }}700\) nên \(CH = \sqrt {2700} = 30\sqrt 3 {\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

c) Sai.

Vì \(G\) là trọng tâm của mặt đáy nên \(GH = \frac{1}{3}HC = \frac{{30\sqrt 3 }}{3} = 10\sqrt 3 {\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Hình chóp \(S.ABC\) có đường cao \(SG\) nên \(SG \bot HC.\)

Xét tam giác \(SHG\) vuông tại \(G\). Theo định lý Pythagore, ta có:

\(S{H^2} = S{G^2} + H{G^2}\)

\(S{H^2} = {90^2} + {30^2} = 9000\)

Suy ra \(SH = \sqrt {9000} = 30\sqrt {10} {\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

d) Đúng.

Vậy diện tích xung quanh của hình chóp là \(S = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 60 \cdot 30\sqrt {10} \approx 8538{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^{\rm{2}}}} \right)\).

a) Đúng.

Chiều cao của hình chóp tứ giác đều là: \(34 - 18 = 16\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Vậy chiều cao của hình chóp tứ giác đều bằng \(16\;\,{\rm{cm}}{\rm{.}}\)

b) Đúng.

Thể tích hình lập phương là: \({18^3} = 5\;\,832\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\) Vậy thể tích đế khối gỗ là \(5\;\,832\;\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}.\)

c) Đúng.

Thể tích hình chóp tứ giác đều là: \(\frac{1}{3} \cdot {18^2} \cdot 16 = 1\;\,728\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right).\)

Vậy thể tích phần trên của khối gỗ là \(1\;\,728\;\;{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}.\)

d) Sai.

Thể tích của khối gỗ là: \(1\;\,728 + 5\;\,832 = 7\;\,560\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^3}} \right) = 7,56\;\,{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}.\)

Vậy thể tích khối gỗ lớn hơn \(7\;\,{\rm{d}}{{\rm{m}}^3}.\)

a) Đúng.

Vì \(O\) là giao điểm của hai đường trung tuyến \(BK\) và \(CD\) của tam giác \(ABC\) nên \(O\) là trọng tâm của tam giác \(ABC.\)

b) Đúng.

Vì \(AO\) cắt \(BC\) tại \(I\) và \(O\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\) nên \(AI\) là trung tuyến của tam giác \(ABC.\) Do đó, \(I\) là trung điểm của \(BC.\)

c) Sai.

Vì \(S.ABC\) là hình chóp tam giác đều nên tam giác \(SBC\) cân tại \(S.\) Do đó, \(SI\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác \(SBC.\) Do đó, \(SI\) là chiều cao của mặt bên hình chóp \(S.ABC.\)

d) Sai.

Ta có: \(SI = \frac{4}{3} \cdot 12 = 16\;\,\left( {{\rm{cm}}} \right).\)

Diện tích xung quanh của hình chóp \(S.ABC\) là: \(3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 16 = 288\;\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right).\)

Vậy diện tích xung quanh của hình chóp \(S.ABC\) bằng \(288\;\,{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}.\)

Đáp án: 25

Gọi chiều cao và độ dài cạnh đáy của hình chóp tứ giác đều ban đầu lần lượt là \({h_1}\) và \({a_1}.\)

Khi tăng độ dài cạnh đáy của hình chóp đó lên 5 lần thì độ dài cạnh đáy của hình chóp mới là \(5{a_1}.\)

Thể tích hình chóp tứ giác ban đầu là: \({V_1} = \frac{1}{3} \cdot a_1^2 \cdot {h_1}.\)

Thể tích hình chóp tứ giác mới là: \({V_2} = \frac{1}{3}{\left( {5{a_1}} \right)^2} \cdot {h_1} = \frac{1}{3} \cdot 25 \cdot a_1^2 \cdot {h_1}.\)

Ta có: \(\frac{{{V_2}}}{{{V_1}}} = \frac{{\frac{1}{3} \cdot 25a_1^2 \cdot {h_1}.}}{{\frac{1}{3} \cdot a_1^2 \cdot {h_1}.}} = 4.\) Vậy \(\frac{{{V_2}}}{{{V_1}}} = 25.\)

Đáp án: 0,5

Gọi diện tích đáy, thể tích và chiều cao của chiếc gàu lần lượt là \(S;\;\,V;\;\,h.\)

Theo đầu bài ta có: \(15V = 15 \cdot \frac{1}{3}S \cdot h = 4Sh.\)

Vì mực nước trong bình tăng lên \(2,5\,{\rm{m}}\) nên \(5Sh = S \cdot 2,5\) nên \(h = 0,5\;\,\left( {\rm{m}} \right).\)

Vậy chiều cao của chiếc gàu là \(0,5\;{\rm{m}}{\rm{.}}\)

Đáp án: 1836

Ta minh họa bảo tàng bằng hình chóp tứ giác sau:

Đường cao của hình chóp \(SO\) vuông góc với mặt đáy \(ABCD\) nên \(SO \bot OH.\)

Dễ thấy \(OH = \frac{1}{2}DC = \frac{1}{2}.34 = 17{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\)

Xét tam giác \(SOH\) vuông tại \(O.\)

Theo định lí Pythagore, ta có: \(S{H^2} = S{O^2} + O{H^2}\)

Suy ra \(S{H^2} = {21^2} + {17^2} = 730\)

Suy ra \(SH = \sqrt {730} \approx 27{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\).

Nửa chu vi mặt đáy là: \(P = \frac{1}{2}\left( {34 + 34 + 34 + 34} \right) = 68{\rm{ }}\left( {\rm{m}} \right)\)

Tổng diện tích các tấm kính để phủ kín bốn mặt bên của bảo tàng hình chóp này là:

\({S_{xq}} = 68.27 = 1836{\rm{ }}\left( {{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Đáp án: 520

Các mặt bên và mặt đáy của hình chóp \(S.ABC\) là những tam giác đều cạnh \(20{\rm{ cm}}{\rm{.}}\)

Xét tam giác đều \(SAB\) có đường cao \(SH\) đồng thời là đường trung tuyến, ta có:

\(AH = BH = \frac{{AB}}{2} = 10{\rm{ cm}}\).

Xét tam giác \(SHB\) vuông tại \(H\). Theo định lí Pythagore, ta có:

\(S{B^2} = S{H^2} + B{H^2}\) hay \({20^2} = S{H^2} + {10^2}\) suy ra \(S{H^2} = S{B^2} - B{H^2} = 300\).

Suy ra \(SH = \sqrt {300} \approx 17,32{\rm{ }}\left( {{\rm{cm}}} \right)\).

Diện tích xung quanh của hình chóp tam giác đều \(S.ABC\) là:

\({S_{xq}} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot 30 \cdot 17,32 = 519,6 \approx 520{\rm{ }}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).