10 Bài tập Vận dụng đạo hàm cấp hai để giải quyết một số bài toán thực tiễn (có lời giải)

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $s\text{'}\left(t\right)=\frac{5}{2}\text{t}-2{\text{t}}^3+27{\text{t}}^2;a\left(t\right)\text{\hspace{0.17em}=\hspace{0.17em}}=\frac{5}{2}-6{\text{t}}^2+54\text{t}$.

Gia tốc tức thời tại thời điểm t = 6 là $\text{a(6)}=\frac{5}{2}-{6.6}^2+54.6=110,5$ m/s².

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $=\text{4t}+\frac{\text{π}}{\text{6}}\cos \left(\frac{\text{π}}{\text{6}}\text{t}\right);\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}a(t)}==4-{\left(\frac{\text{π}}{\text{6}}\right)}^2\sin \left(\frac{\text{π}}{\text{6}}\text{t}\right)$.

Gia tốc của viên bi tại thời điểm t = 2 (s) là $\text{a(2)}=4-{\left(\frac{\text{π}}{\text{6}}\right)}^2\sin \left(\frac{\text{π}}{\text{6}}\cdot 2\right)\approx 3,76$ cm/s².

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $=\frac{2}{{\text{(1}-\text{2t)}}^{\text{2}}};\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}a(t)}==-\frac{2{\left[{\left(1-2\text{t}\right)}^2\right]}^{\text{'}}}{{(1-2\text{t})}^4}=\frac{8(1-2\text{t)}}{{(1-2\text{t})}^4}=\frac{8}{{(1-2\text{t})}^3}$.

Tại thời điểm vận tốc bằng 2 cm/s hay v(t) = 2, tức là $\frac{2}{{\text{(1}-\text{2t)}}^{\text{2}}}=2$.

Suy ra (1 – 2t)² = 1.

Suy ra t = 0 hoặc t = 1.

Khi đó, $\text{a(0)}=\frac{8}{{(1-2.0)}^3}=8\text{;\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}a(1)}=\frac{8}{{(1-2.1)}^3}=-8$ cm/s².

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có s'(t) = 12t³ + 21t² – 10t; a(t) = s''(t) = 36t² + 42t – 10.

Tại thời điểm t₀ vật có gia tốc bằng 68 cm/s² nên a(t₀) = 36${\text{t}}_{\text{0}}^{\text{2}}$+ 42t₀ – 10 = 68.

Suy ra 36${\text{t}}_{\text{0}}^{\text{2}}$+ 42t₀ – 78 = 0.

Suy ra t₀ = 1 hoặc t₀ = $\frac{-13}{6}$.

Vì t ≥ 0 nên t₀ = 1 (s).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có v(t) = s'(t) = t² – 4t + 4; a(t) = s''(t) = 2t – 4.

Tại thời điểm vận tốc bị triệt tiêu nghĩa là v(t) = 0, khi đó t² – 4t + 4 = 0.

Suy ra t = 2 (s).

Vậy gia tốc lúc này là a(2) = 2 . 2 – 4 = 0 m/s².

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có v(t) = s'(t) = 12t² – 18t + 12; a(t) = s''(t) = 24t – 18.

Tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu nghĩa là a(t) = 0, tức là 24t – 18 = 0.

Suy ra t = $\frac{3}{4}$ (s).

Vận tốc tại thời điểm gia tốc triệt tiêu là:$\text{v}\left(\frac{3}{4}\right)=12\cdot {\left(\frac{3}{4}\right)}^2-18\cdot \frac{3}{4}+12=\frac{21}{4}$ (cm/s).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Vận tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động là  v(t) = s'(t) = Aωcos(ωt + φ).

Gia tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động là a(t) = v'(t) = s''(t) = – Aω²sin(ωt + φ).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có v(t) = s'(t) = 12t² – 6t + 2; a(t) = s''(t) = 24t – 6.

Vì v(t) = 8 nên 12t² – 6t + 2 = 8 hay 12t² – 6t – 6 = 0.

Suy ra t = 1 (tm) hoặc t = $\frac{-1}{2}$ (loại vì t ≥ 0).

Vậy a(t) = 24 . 1 – 6 = 18 cm/s².