Giải SGK Toán 11 CTST Bài 2. Các quy tắc tính đạo hàm có đáp án

Để tính đạo hàm của các hàm số là tổng, hiệu, tích hoặc thương của f(x) và g(x) tại x₀ thì ta tìm giới hạn của tổng, hiệu, tích hoặc thương của f(x) và g(x) tại x₀.

a) Ta có   y'(x0)=limx→x0fx−fx0x−x0=limx→x0x−x0x−x0=1.

Vậy y'(x₀) = 1.

b) Có (x²)' = 2x; (x³)' = 3x²;

Dự đoán (xⁿ)' = nx^{n – 1}.

Ta có y' = (x¹⁰)' = 10x⁹.

Khi đó y'(−1) = 10×(−1)⁹ = −10;

 y'23=10⋅239=10⋅2139=80.

Ta có  y'x0=limx→x0fx−fx0x−x0=limx→x0x−x0x−x0

=limx→x0x−x0x−x0x+x0=limx→x01x+x0=12x0.

Vậy  y'x0=12x0.

Ta có  y'=x'=12x.

Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số  y=x tại điểm có hoành độ bằng 4 là:

 k=y'4=124=14.

Với x = 4 thì  y=4=2.

Khi đó phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số  y=x tại điểm có hoành độ bằng 4 là  y=14x−4+2 hay  y=14x+1.

Vậy y=14x+1  là tiếp tuyến cần tìm.

a) Ta có  y'=x4'=14⋅x−34=14⋅1x34.

Khi đó  y'1=14⋅1134=14.

b) Ta có  y'=1x'=−1x2.

Khi đó  y'−14=−1−142=−16.

Có  y'x0=limx→x0fx−fx0x−x0 =limx→x0sinx−sinx0x−x0

 =limx→x02cosx+x02sinx−x02x−x0

=limx→x02cosx+x02⋅limx→x012⋅sinx−x02x−x02

 =2cos2x02⋅12=cosx0 (do  limx→x0sinx−x02x−x02=1).

Vậy y' = (sinx)' = cosx.

Ta có y' = (tanx)' =  1cos2x.

Vậy y'3π4=1cos23π4=2  .

a) Có  y'x0=limx→x0fx−fx0x−x0 =limx→x0ex−ex0x−x0

 =limx→x0ex0ex−x0−1x−x0=ex0 (do  limx→x0ex−x0−1x−x0=1).

Vì y'(x₀) =  ex0 nên y' = (e^x)' = e^x.

b) Ta có  y'x0=limx→x0fx−fx0x−x0 =limx→x0lnx−lnx0x−x0

=limx→x01x0⋅lnxx0xx0−1=limx→x01x0⋅limx→x0ln1+xx0−1xx0−1=1x0

(do  limx→x0ln1+xx0−1xx0−1=1).

Do y'(x₀) =  1x0 nên y' = (lnx)' =  1x.

a) Ta có y' = (9^x)' = 9^x×ln9.

Khi đó y'(1) = 9¹×ln9 = 9ln9.

b) Ta có y' = (lnx)' =  1x.

Khi đó  y'13=113=3.

Ta có  limx→x0fx−fx0x−x0=f'x0 và  limx→x0gx−gx0x−x0=g'x0 nên h'(x₀) = f'(x₀) + g'(x₀).

Do đó  hx=limx→x0hx−hx0x−x0

 =limx→x0fx−fx0x−x0+limx→x0gx−gx0x−x0=f'x0+g'x0.

a) y' = (xlog₂x)' = (x)'log₂x + x(log₂x)'

=   log2x+x⋅1xln2=log2x+1ln2.

b) y' = (x³e^x)' = (x³)'e^x + x³(e^x)' = 3x²e^x + x³e^x.

a) Ta có y = u² = (sinx)² = sin²x.

b) Ta có y'_x = (sin²x)' = (sinx×sinx)' = (sinx)'×sinx + sinx×(sinx)'

= cosx×sinx + sinx×cosx = 2sinxcosx = sin2x. (1)

y'_u = (u²)' = 2u = 2sinx.

u'_x = (sinx)' = cosx.

Có y'_u×u'_x = 2sinxcosx = sin2x. (2)

Từ (1) và (2), ta có: y'_x = y'_u×u'_x.

a) y' = [(2x³ + 3)²]' = 2(2x³ + 3)(2x³ + 3)' = 12x²(2x³ + 3).

b) y' = (cos3x)' = −sin3x×(3x)' = −3sin3x.

c) y' = [log₂(x² + 2)]' =   x2+2'x2+2ln2=2xx2+2ln2.

a) Vận tốc tức thời v(t) tại thời điểm t là v(t) = s'(t) = (2t³ + 4t + 1)' = 6t² + 4.

b) a(t) = v'(t) = (6t² + 4)' = 12t.

Gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2 là a(2) = 12×2 = 24 (m/s²).

a) Có y' = (x² – x)' = 2x – 1.

Có y" = (2x – 1)' = 2. Vậy y" = 2.

b) Có y' = (cosx)' = −sinx.

y" = (−sinx)' = −cosx. Vậy y" = −cosx.

Vận tốc của hòn sỏi tại thời điểm t là v(t) = s'(t) = (4,9t²)' = 9,8t.

Gia tốc của hòn sỏi tại thời điểm t là a(t) = v'(t) = (9,8t)' = 9,8.

Gia tốc rơi của hòn sỏi lúc t = 3 là a(3) = 9,8 m/s².

Vậy gia tốc rơi của hòn sỏi lúc t = 3 là 9,8 m/s².

a)  y'=2x3−x22+4x−13'

  =2x3'−x22'+4x'−13'=6x2−x+4.

b)   y'=−2x+3x−4'=−2x+3'x−4−−2x+3x−4'x−42

   =−2x−4−−2x+3x−42=−2x+8+2x−3x−42=5x−42.

c)   y=x2−2x+3x−1=x2−2x+3'x−1−x2−2x+3x−1'x−12

  =2x−2x−1−x2−2x+3x−12=2x2−4x+2−x2+2x−3x−12

 =x2−2x−1x−12.                                         

d)     y'=5x'=5x'25x=525x.

a) y' = (sin3x)' = cos3x×(3x)' = 3cos3x.

b) y' = (cos³2x)' = 3cos²2x(cos2x)' = −6cos²2xsin2x.

c) y' = (tan²x)' = 2tanx×(tanx)'

=  2tanx1cos2x = 2tanx(1 + tan²x).

d) y' = [cot(4 – x²)]' =   −4−x2'sin24−x2=2xsin24−x2.

a) y' = [(x² – x)×2^x]' = (x² – x)'×2^x + (x² – x)×(2^x)'

= (2x – 1)×2^x + (x² – x)×2^x×ln2

= 2^x(x²ln2 + 2x – 1 – xln2).

b) y' = (x²log₃x)' = (x²)'log₃x + x²(log₃x)'

= 2xlog₃x +  x2xln3=  2xlog3x+xln3.

c) y' = (e^{3x + 1})' = e^{3x + 1}×(3x + 1)' = 3e^{3x + 1}.

a) y' = (2x⁴ – 5x² + 3)' = 8x³ – 10x.

y" = (8x³ – 10x)' = 24x² – 10.

Vậy y" = 24x² – 10.

b) y' = (xe^x)' = x'e^x + x×(e^x)' = e^x + xe^x.

y" = (e^x + xe^x)' = e^x + e^x + xe^x = 2e^x + xe^x.

Vậy y" = 2e^x + xe^x.

Tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái đó tại thời điểm t là:

w'(t) = (0,000758t³ – 0,0596t² + 1,82t + 8,15)' = 0,002274t² – 0,1192t + 1,82.

Tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái đó tại thời điểm 10 tháng tuổi là:

w'(10) = 0,002274×(10)² – 0,1192×10 + 1,82. = 0,8554 (pound/tháng).

Vậy tốc độ thay đổi cân nặng của bé gái đó tại thời điểm 10 tháng tuổi là 0,8554 pound/tháng.

Ta có  C'(x)=5x2+60'   =5x2+60'25x2+60=10x25x2+60=5x5x2+60.

Có x'(t) = (20t + 40)' = 20; x(4) = 120.

Khi đó, tốc độ tăng chi phí của công ty sau t tháng là: C'(x(t)) = C'(x)×x'(t).

Tốc độ tăng chi phí của công ty sau 4 tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch đó là:

C'(x(4)) = C'(120)×x'(4)  =5⋅1205⋅1202+60⋅20≈44,7(nghìn đô-la/tháng).

Tốc độ tăng chi phí của công ty sau 4 tháng kể từ khi công ty thực hiện kế hoạch đó khoảng 44,7 nghìn đô/tháng.

a) Quãng đường vật đã rơi tại thời điểm t = 2 là: s(2) = 0,81×2² = 3,24 (m).

Vậy sau 2 giây vật đã rơi được 3,24 m.

b) Có v(t) = s'(t) = (0,81t²)' = 1,62t.

a(t) = v'(t) = (1,62t)' = 1,62.

Vậy gia tốc của vật tại thời điểm t = 2 là 1,62 m/s².