Đề kiểm tra Các quy tắc tính đạo hàm (có lời giải) - Đề 1
22 câu hỏi
Hàm số \(y = {x^n}(n \in {\mathbb{N}^*})\) có đạo hàm \[y'\] trên \[\mathbb{R}\] bằng
\(n{x^{n - 1}}\).
\(n\).
\(n{x^n}\).
\({x^{n - 1}}.\)
Theo bảng đạo hàm trong SGK: \(y' = {\left( {{x^n}} \right)^\prime } = n{x^{n - 1}}.\)
Cho hàm số \[u = u\left( x \right)\], \[v = v\left( x \right)\] có đạo hàm trên khoảng \[\left( {a;b} \right)\] và \[v\left( x \right) \ne 0,\forall x \in \left( {a;b} \right)\]. Mệnh đề nào sau đây đúng?
\[{\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u'v - uv'}}{{{v^2}}}\,\,\].
\[{\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u'v - uv'}}{v}\,\,\].
\[{\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{u'v + uv'}}{{{v^2}}}\,\,\].
\[{\left( {\frac{u}{v}} \right)^\prime } = \frac{{uv' - u'v}}{{{v^2}}}\,\,\].
Theo bảng đạo hàm trong SGK.
Hàm số \(y = \tan x\) với \(x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi ,k \in \mathbb{Z}\) có đạo hàm \[y'\] bằng
\( - \frac{1}{{co{s^2}x}}\).
\(\frac{1}{{co{s^2}x}}\).
\(\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\).
\( - \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\).
Theo bảng đạo hàm trong SGK
Đạo hàm của hàm số \(y = \sqrt {4 - x} \) là
\(\frac{1}{{2\sqrt {4 - x} }}\).
\(\sqrt {4 - x} \).
\(\frac{{ - 1}}{{\sqrt {4 - x} }}\).
\(\frac{{ - 1}}{{2\sqrt {4 - x} }}\).
Ta có \[y' = {\left( {\sqrt {4 - x} } \right)^\prime } = \frac{{(4 - x)'}}{{2\sqrt {4 - x} }} = \frac{{ - 1}}{{2\sqrt {4 - x} }}\].
Tính đạo hàm của hàm số \[f(x) = {x^{2024}}\]
\[f'(x) = 2024{x^{2024}}.\]
\[f'(x) = {x^{2023}}.\]
\[f'(x) = 2024{x^{2023}}.\]
\[f'(x) = 2023{x^{2023}}.\]
\[y' = ({x^{2024}})' = 2024.{x^{2023}}\]
Đạo hàm của hàm số \[y = 2{e^{3x}}\] là
\[y' = 6{e^{3x}}.\]
\[y' = 2{e^{3x - 1}}.\]
\[y' = 6x.{e^{3x - 1}}.\]
\[y' = 6{e^{3x - 1}}.\]
\[y' = (2{e^{3x}})' = 2.3.{e^{3x}} = 6.{e^{3x}}\]
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{2x + 1}}{{x - 2}}\) xác định trên \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\). Đạo hàm của hàm số \(y = f\left( x \right)\) bằng
\[y' = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\].
\[y' = \frac{{ - 4}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\].
\[y' = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\].
\[y' = \frac{{ - 2}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\].
Ta có \(y' = \frac{{{{\left( {2x + 1} \right)}^\prime }\left( {x - 2} \right) - {{\left( {x - 2} \right)}^\prime }\left( {2x + 1} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - 5}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\)
Cho hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - 3x + 2\). Tập nghiệm của bất phương trình \(f'\left( x \right) < 0\) là
\(\left( { - 1;1} \right)\).
\(\left( {1;2} \right)\).
\(\left( { - 1;2} \right)\).
\(\left( { - \infty ;1} \right)\)
Ta có \(f'\left( x \right) = 3\left( {{x^2} - 1} \right)\).
Ta có \(f'\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow {x^2} - 1 < 0 \Leftrightarrow x \in \left( { - 1;1} \right)\).
Hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số \(y = (x + 2)({x^2} + 1)\) tại điểm có hoành độ \(x = 1\) bằng
\(6\).
\(4\).
\(8\).
\(1\).
Ta có \(f'\left( x \right) = (x + 2)'({x^2} + 1) + (x + 2)({x^2} + 1)' = {x^2} + 1 + 2x(x + 2) = 3{x^2} + 4x + 1\).
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ \(x = 1\) là \(f'\left( 1 \right) = 8\).
Cho hàm số \[y = \frac{1}{3}{x^3}--2m{x^2} + \left( {m + 3} \right)x--5 + m\]. Tìm \(m\)để \(y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R}\)
\(m \ge 1\).
\(m \le - \frac{3}{4}\).
\( - \frac{3}{4} \le m \le 1\).
\( - \frac{3}{4} < m < 1\).
Ta có:
\(\begin{array}{l}y' = {x^2} - 4mx + m + 3\\y' \ge 0,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\Delta ' \le 0\\1 > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 4{m^2} - m - 3 \le 0 \Leftrightarrow \frac{{ - 3}}{4} \le m \le 1\end{array}\)
Một chất điểm chuyển động theo đồ thị quãng đường như hình dưới đây. Trong đó t tính bằng giây \[(s)\]và quãng đường tính bằng mét \[(m).\] Chất điểm đạt vận tốc lớn nhất tại thời điểm nào?
\[1\,(s)\].
\[7\,(s)\]
\[5\,(s)\]
\[2\,(s).\]
Phương trình vận tốc có dạng \[s(t) = a{t^3} + b{t^2} + ct + d\]
Đồ thị qua các điểm \[\left\{ \begin{array}{l}\left( {0;1} \right)\\\left( {1;3} \right)\\\left( {2;5} \right)\\\left( {3;1} \right)\end{array} \right.\,\,\,\,\,{\rm{n\^e n}}\,\left\{ \begin{array}{l}d = 1\\3 = a + b + c + d\\5 = 8a + 4b + 2c + d\\1 = 27a + 9b + 3c + d\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}d = 1\\c = 0\\b = 3\\a = - 1\end{array} \right.\]
Khi đó: \[s(t) = - {t^3} + 3{t^2} + 1\]
Theo bài \[{v_{\max }} \Leftrightarrow {\left( { - 3{t^2} + 6t} \right)_{\max }} \Leftrightarrow t = - \frac{6}{{ - 3}} = 2.\]
Chọn đáp án D
Một doanh nghiệp sản xuất hàng hóa. Biết tổng chi phí sản xuất \(x\) đơn vị sản phẩm là: \(C\left( x \right) = 2{x^3} - 3{x^2} + 400x + 5000\) (nghìn đồng). Tổng số tiền thu được khi bán \(x\) đơn vị sản phẩm đó là: \(R\left( x \right) = 4000x - 33{x^2}\) (nghìn đồng). Sản lượng tối ưu và doanh thu lúc đó của doanh nghiệp tương ứng là
\[30;\;22\] triệu đồng.
\[20;\;39\] triệu đồng.
\[30;\;90,3\] triệu đồng.
\[20;66,8\] triệu đồng.
Điều kiện: \(x > 0,x \in \mathbb{N}\).
Doanh nhiệp thu được lợi nhuận là:
\(P\left( x \right) = R\left( x \right) - C\left( x \right)\)\( = \left( {4000x - 33{x^2}} \right) - \left( {2{x^3} - 3{x^2} + 400x + 5000} \right)\) \( = - 2{x^3} - 30{x^2} + 3600x - 5000\)
Lợi nhuận biên là: \[P'\left( x \right) = - 6{x^2} - 60x + 3600\].
Lợi nhuận tối đa đạt được tại một trong các điểm \({x_0}\) mà \[P'\left( {{x_0}} \right) = 0\].
\[P'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 30\;(loai)\\x = 20\;\;(Thoa\;man)\end{array} \right.\]
Ta có bảng xét dấu của \[P'\left( x \right)\]:
Từ bảng xét dấu của \[P'\left( x \right)\] ta có:
Khi \(x < 20\) thì \[P'\left( x \right) > 0\] nên nếu tiếp tục sản xuất thì lợi nhuận tăng.
Khi \(x > 20\) thì \[P'\left( x \right) > 0\] nên nếu tiếp tục sản xuất thì lợi nhuận giảm.
Vậy mức sản lượng tối ưu là \(20\).
Doanh thu lúc đó là: \(P\left( {20} \right) = 39000\) nghìn đồng hay \(39\) triệu đồng.
Cho hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{2x + 1}}\). Khi đó:
\(y'\left( 0 \right) = 7\)
Đồ thị của hàm số \(y'\) đi qua điểm \(A\left( {1;\frac{7}{3}} \right)\)
\(y'\left( 1 \right) < y'\left( 2 \right)\)
Điểm \(M\) thuộc đồ thị \((C)\)của hàm số \(y = \frac{{x - 3}}{{2x + 1}}\) có hoành độ \({x_0} = 0\). Khi đó, phương trình tiếp tuyến của \((C)\) tại \(M\) song song với đường thẳng \(y = 7x + 2024\)
a) Đúng | b) Sai | c) Sai | d) Đúng |
\({y^\prime } = \frac{{{{(x - 3)}^\prime }(2x + 1) - {{(2x + 1)}^\prime }(x - 3)}}{{{{(2x + 1)}^2}}} = \frac{{2x + 1 - 2(x - 3)}}{{{{(2x + 1)}^2}}} = \frac{7}{{{{(2x + 1)}^2}}}\).
Tính được đạo hàm của các hàm số sau. Khi đó:
\(y = \left( {{x^2} + x} \right){e^x}\) có \({y^\prime } = \left( {{x^2} + 3x + 1} \right){e^x}\)
\(y = \frac{{{x^3}}}{{\ln x}}\) có \({y^\prime } = \frac{{3{x^2}\ln x - {x^2}}}{{{{(\ln x)}^2}}}\)
\(y = \frac{{2{x^2}}}{{{2^x}}}\)có \({y^\prime } = \frac{{4x - 2 \cdot \ln 2 \cdot {x^2}}}{{{2^x}}}\)
\(y = 3x \cdot {\log _3}x\) có \({y^\prime } = 3{\log _3}x + \frac{3}{{\ln 3}}\)
a) Đúng | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
a) \({y^\prime } = {\left( {{x^2} + x} \right)^\prime } \cdot {e^x} + {\left( {{e^x}} \right)^\prime } \cdot \left( {{x^2} + x} \right) = (2x + 1){e^x} + {e^x}\left( {{x^2} + x} \right) = \left( {{x^2} + 3x + 1} \right){e^x}\).
b) \({y^\prime } = \frac{{{{\left( {{x^3}} \right)}^\prime } \cdot \ln x - {{(\ln x)}^\prime } \cdot {x^3}}}{{{{(\ln x)}^2}}} = \frac{{3{x^2}\ln x - \left( {\frac{1}{x}} \right){x^3}}}{{{{(\ln x)}^2}}} = \frac{{3{x^2}\ln x - {x^2}}}{{{{(\ln x)}^2}}}\)
c) \({y^\prime } = \frac{{{{\left( {2{x^2}} \right)}^\prime } \cdot {2^x} - {{\left( {{2^x}} \right)}^\prime } \cdot 2{x^2}}}{{{{\left( {{2^x}} \right)}^2}}} = \frac{{4x \cdot {2^x} - {2^x} \cdot \ln 2 \cdot 2{x^2}}}{{{2^{2x}}}} = \frac{{4x - 2 \cdot \ln 2 \cdot {x^2}}}{{{2^x}}}\).
d) \({y^\prime } = {(3x)^\prime } \cdot {\log _3}x + {\left( {{{\log }_3}x} \right)^\prime } \cdot 3x = 3{\log _3}x + \frac{1}{{x\ln 3}} \cdot 3x = 3{\log _3}x + \frac{3}{{\ln 3}}\)
Xét hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt[3]{{\cos 2x}}\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
\(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - 1\).
\(f'\left( x \right) = \frac{{ - 2\sin 2x}}{{3.\sqrt[3]{{{{\cos }^2}2x}}}}\).
\(f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 1\).
\(3.{y^2}.y' + 2\sin 2x = 0\).
a) Đúng | b) Đúng | c) Sai | d) Đúng |
\(f\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = \sqrt[3]{{\cos 2.\frac{\pi }{2}}} = - 1\).
\[y = \sqrt[3]{{\cos 2x}} \Rightarrow {y^3} = \cos 2x \Rightarrow y'3{y^2} = - 2\sin 2x \Rightarrow y' = \frac{{ - 2\sin 2x}}{{3{{\left( {\sqrt[3]{{\cos 2x}}} \right)}^2}}}\].
\(f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = 0\) .
\(3.{\left( {\sqrt[3]{{\cos 2x}}} \right)^2}.\frac{{ - 2\sin 2x}}{{3{{\left( {\sqrt[3]{{\cos 2x}}} \right)}^2}}} + 2\sin 2x = - 2\sin 2x + 2\sin 2x = 0\).
Cho hàm số \(y = {e^{\sin x}}\). Các mệnh đề sau đúng hay sai?
\[y'.\cos x - y.\sin x - y'' = 1\].
\[2y'\sin x = \sin 2x.{e^{\sin x}}\].
\[y' = \cos x.{e^{\sin x}}\].
\[y'.\cos x - y.\sin x - y'' = 0\].
a) Sai | b) Đúng | c) Đúng | d) Đúng |
Ta có:
\(y' = \cos x.{e^{\sin x}}\)
\[2y'\sin x = 2\cos x.{e^{\sin x}}.\sin x\]\[ = \sin 2x.{e^{\sin x}}\]
\(y'' = - \sin x.{e^{\sin x}} + {\cos ^2}x.{e^{\sin x}}\)
\[D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1;2} \right\}\] \( = {\cos ^2}x.{e^{\sin x}} - \sin x.{e^{\sin x}} - \left( { - \sin x.{e^{\sin x}} + {{\cos }^2}x.{e^{\sin x}}} \right)\)\( = 0\)
Tính đạo hàm của hàm số sau: \(y = \tan \left( {2{x^2} + \frac{\pi }{3}} \right)\).
\({y^\prime } = {\left( {\tan \left( {2{x^2} + \frac{\pi }{3}} \right)} \right)^\prime } = \frac{{{{\left( {2{x^2} + \frac{\pi }{3}} \right)}^\prime }}}{{{{\cos }^2}\left( {2{x^2} + \frac{\pi }{3}} \right)}} = \frac{{4x}}{{{{\cos }^2}\left( {2{x^2} + \frac{\pi }{3}} \right)}}\)
Tính đạo hàm cấp hai của hàm số sau: \(y = x \cdot {2^{2x}}\)
Ta có: \({y^\prime } = {\left( {x \cdot {2^{2x}}} \right)^\prime } = {\left( {x \cdot {4^x}} \right)^\prime } = {x^\prime } \cdot {4^x} + {\left( {{4^x}} \right)^\prime } \cdot x = {4^x} + {4^x} \cdot \ln 4 \cdot x\);
\({y^{\prime \prime }} = {\left( {{4^x} + {4^x} \cdot \ln 4 \cdot x} \right)^\prime } = {\left( {{4^x}} \right)^\prime } + \ln 4 \cdot {\left( {x \cdot {4^x}} \right)^\prime }\) (\({\left( {x \cdot {4^x}} \right)^\prime }\)làm giống bước trên)
\( = {4^x}\ln 4 + \ln 4 \cdot \left( {{4^x} + {4^x} \cdot \ln 4 \cdot x} \right) = 2 \cdot {4^x}\ln 4 + {\ln ^2}4 \cdot {4^x} \cdot x = {4^x} \cdot \ln 4(2 + x\ln 4).\)
Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số sau:
\(y = {x^3} - x - 3\) tại điểm có hoành độ \({x_0} = 2\);
Theo giả thiết, ta có: \({x_0} = 2 \Rightarrow {y_0} = 3\), gọi điểm \(M(2;3)\) là toạ độ tiếp điểm.
Ta có: \({y^\prime } = {\left( {{x^3} - x - 3} \right)^\prime } = 3{x^2} - 1\) nên tiếp tuyến của đồ thị tại điểm \(M\) có hệ số góc là \({y^\prime }(2) = 11\).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho tại điểm \(M\) là:
\(y - 3 = 11(x - 2) \Leftrightarrow y = 11x - 19.\)
Một chất điểm chuyển động theo phương trình \(s(t) = 3\sin 2t + 2\cos 2t\), trong đó \(t\) là thời gian tính bằng giây và \(s\) là quãng đường chuyển động được của chất điểm trong \(t\) giây tính bằng mét. Tính gia tốc của chất điểm đó khi \(t = \frac{\pi }{4}\).
Ta có: \({s^\prime }(t) = 3{(\sin 2t)^\prime } + 2{(\cos 2t)^\prime } = 6\cos 2t - 4\sin 2t\).
Và \({s^{\prime \prime }}(t) = 6{(\cos 2t)^\prime } - 4{(\sin 2t)^\prime } = - 12\sin 2t - 8\cos 2t\).
Gia tốc của chất điểm tại thời điểm \(t = \frac{\pi }{4}\) là:
\(a\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = {s^{\prime \prime }}\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = - 12\left[ {\sin \left( {2 \cdot \frac{\pi }{4}} \right)} \right] - 8\left[ {\cos \left( {2 \cdot \frac{\pi }{4}} \right)} \right] = - 12\)
Dân số (tính theo nghìn người) của một thành phố được cho bởi công thức \(f(t) = \frac{{26t + 10}}{{t + 5}}\), trong đó \(t\) (được tính bằng năm) là khoảng thời gian kể từ năm 2015. Tìm tốc độ tăng dân số trong năm 2025 của thành phố đó.
Đạo hàm của hàm số \(f\) biểu thị tốc độ tăng dân số của thành phố đó (tính bằng nghìn người/ năm), ta có: \({f^\prime }(t) = \frac{{120}}{{{{(t + 5)}^2}}}\).
Từ năm 2015 đến năm 2025 nghĩa là \(t = 10\).
Vậy tốc độ tăng dân số tại thời điểm \(t = 10\) là:
\({f^\prime }(10) = \frac{{120}}{{{{(10 + 5)}^2}}} = \frac{8}{{15}} \approx 0,533{\rm{ }}\)(nghìn người/năm)
Nhiệt độ cơ thể của một người trong thời gian bị bệnh được cho bởi công thức \(T(t) = - 0,1{t^2} + 1,2t + 98,6\), trong đó \(T\) là nhiệt độ (tính theo đơn vị đo Fahrenheit) tại thời điểm \(t\) (tính theo ngày). Tìm tốc độ thay đổi nhiệt độ ở thời điểm \(t = 2\).
Đạo hàm của hàm số \(T\) biểu thị tốc độ thay đổi của nhiệt độ.
Ta có: \({T^\prime }(t) = - 0,2t + 1,2\).
Vậy tốc độ thay đổi nhiệt độ tại thời điểm \(t = 2\) là:
T'(2)=−0,2.2+1,2=0,8°F/ngày.
